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鞍山市第五十一中学
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ）
A.-3 B.3 C. D.以上都不对
3.已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A.5 B.4 C.-5 D.-1
4.用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
6.已知等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则三角形周长为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.8或10
7.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
8.如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“+”变为“-”或“-”变为“+”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.以上选项均不成立
9.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置.过点作于点，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10.关于抛物线，下列说法正确的有（ ）
①与抛物线顶点相同，开口方向相反；
②当时，随的增大而减小；
③当时，；
④若，是该抛物线上两点，则.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.设a，b是方程的两个实数根，则的值为_____.
12.如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是_____.
13.有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有144人患了红眼病，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____人.
14.如图，在中，，，中线，则的面积为_____.
15.如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为-1，则点的横坐标为_____.
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16.（10分）解方程：（每题5分，共10分）
（1）（用公式法解）（2）
17.（8分）据统计2019年底时某款APP用户数约为2000万，到了2021年底达到4500万.
（1）求出这款APP的年平均增长率。
（2）假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，通过计算说明这款APP用户数首次突破一亿的年份是哪一年
18.（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数的值.
19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题：
（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）画出绕原点顺时针旋转的.
20.（8分）学习数学的目的是应用数学，达到学以致用，请根据以下素材，利用所学数学知识帮助某数学兴趣小组完成相关任务.
解决某科普读物的市场销售的价格确定相关问题
素材1 为了解某科普读物的市场销售情况，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，通过对学校周边的向上书店进行调查，具体情况记录如下： 1.进价为每本16元； 2.若按每本30元销售，平均每月能卖出200本； 3.经市场调研发现，在不亏本的情况下，为尽快减少库存，发现若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本.
素材2 为确定销售情况，兴趣小组决定用方程解决问题 设每本科普读物的售价降低元.
问题解决
任务1 （1）小组成员嘉嘉说；“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：.” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
任务2 （2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，小组成员聪聪说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标.”而另一位成员明明说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标.” ①判断聪聪、明明二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适.
21.（8分）如图，在中，，，，求的长.
22.（12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质.
【初步感知】（1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____；
【特例探究】
（2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，
求证：四边形是平行四边形；
【拓展延伸】
（3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点，①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是AD的中点……
请你选择一个同学发现的结论进行证明；
②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长.
23.（13分）数学学习的两大知识体系，它们是有很大联系的，很多问题都是靠数形结合来解决的，请同学们解决下面问题：
对于我们刚刚学完的二次函数我们做出这样定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线.例如：如图1，的三个顶点，，经过代入验证都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线.
问题：
（1）验证以点，，为顶点的三角形_____（填“是”或“不是”）抛物线的内接三角形；
（2）已知点，，则的外接抛物线的解析式为_____；
（3）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标；
（4）如图3，已知点坐标为，是抛物线的内接三角形，其中边始终过点P，求当面积为3时直线的解析式.

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