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内蒙古包头市苏蒙高级中学2026届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数在区间为单调递增函数的是( )
A. B. C. D.
4.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为
A. B. C. D.
5.已知，命题，则( )
A. 是假命题， B. 是假命题，
C. 是真命题， D. 是真命题，
6.函数的图象大致为 ．
A. B. C. D.
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如：，，已知函数，则函数的值域为
A. B. C. D.
8.设函数，则使成立的的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 则
10.下列说法正确的是( )
A. “三角形的内角和为”是全称命题
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 若命题对于任意为真命题，则
D. 若命题，则
11.设函数，则下列结论正确的是( )
A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
13.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知函数
作出函数的大致图像；
写出函数的单调区间；
当时，由图像写出的最小值．
17.本小题分
在中，角所对的边分别为，设向量，，，．
求函数的最大值；
若，，，求的面积．
18.本小题分
已知函数．
若函数是上的奇函数，求的值；
若函数的定义域是一切实数，求的取值范围；
若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求函数的解析式；
若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由，则；
，可得，则，
，可得，
所以或．

16.【详解】函数，如图所示
由可得函数的单调减区间为，
单调增区间为．
当时，，所以的图像的对称轴为．
由知，的单调减区间为，单调增区间为．
由，可得当时，
当，即时，所以在上单调递减，
所以．
当，即时，所以在上单调递减，在上单调递增，
．
综上所述，

17.【详解】
．
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
因为，所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理，所以，，
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．

18.【详解】若函数是上的奇函数，
则，解得．
当时，是上的奇函数，
所以为所求．
若函数的定义域是一切实数，则恒成立，即恒成立，由于，
故只要即可．
由已知，得函数是减函数，故在区间上的最大值是，
最小值是．
由题设，得，解得．

19.【详解】求导，根据建立关于，的方程，求解即可．
本题实质是对于区间上任意两个自变量的值，都有
，然后利用导数求的最值即可．
因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则因为，所以切线的斜率为则，
即从而转化为方程有三个不同的实数解，
构造函数，证明它有三个不同的零点即可．
解：．
根据题意，得即解得
所以．
令，即得．
极大值 极小值
因为，，
所以当时，，．
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．
所以的最小值为．
因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则．
因为，所以切线的斜率为．
则，
即．
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
所以函数有三个不同的零点．
则令，则或．
极大值 极小值
则，即，解得．
注：此题其它解法正确也给分

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