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黑龙江省牡丹江市第二高级中学2026届高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.抽样统计某位学生次的数学成绩分别为，则该学生这次成绩的分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：
； 当时，；
函数的单调递减区间为，；
将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是( )
A. B. C. D.
6.已知在上单调递增，若为偶函数，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在内恰有个最值点和个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数若，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图，则( )
A. B.
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增
10.要得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
11.已知函数，则( )
A. 的极小值为
B. 有两个零点
C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根
D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有辆车停放在个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法．
13.已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 ．
14.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，
求和的值；
求的值．
16.本小题分
为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数
不是每天都整理数学错题人数
合计
完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的值域；
求函数在区间上的所有零点之和．
18.本小题分
已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且．
求
若，为的中点，求中线的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
若，证明：，；
若在上有两个极值点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，可得，即，
所以，又，所以，所以，
所以．
因为，所以，又，
所以，所以，
又，所以，，
所以，
又，又，所以，所以，
所以．

16.完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数
不是每天都整理数学错题人数
合计
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为．
由得，
所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”．
不是每天都整理数学错题的学生有人，其中数学成绩总评优秀人数为，
的所有可能值为，，，，
，
，
所以的分布列为：
期望．

17.易知
因为，所以，
由正弦函数单调性可得，
则的值域为
因为，所以，
由得
所以，解得，
所以函数在区间上的所有零点之和为．

18.因为是锐角三角形的三个内角，所以，，
根据正弦定理可得，即，
所以，则，
整理得，即，
又，所以，即．
因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，所以，
所以中线的取值范围是．

19.【因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即的取值范围为．
证明：若，则．
设，则，，则在上单调递减，在上单调递增，
则，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以，不等式得证．
．
当时，，则在上单调递减，无极值点．
当时，由知在上单调递增，无极值点．
当时，令，
令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
，，
由知，则，
所以恰有两个零点，，
令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点．
综上，的取值范围是．

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