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湖南省岳阳市汨罗市第一中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,1,2,4}, = | 1| ≤ 1 ，则 ∩ =( )
A. { 1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. { 1,4}
2.若复数 满足 1 + i = 3 2i，则 的虚部为( )
A. 5 5 1 52 B. 2 i C. 2 D. 2
3.若命题“ ∈ [1,4]时， 2 4 ≠ 0”是假命题，则 的取值范围是( )
A. 4 ≤ ≤ 3 B. < 4
C. ≥ 4 D. 4 ≤ ≤ 0
4 sin cos .已知角 的终边经过点 (2, 1)，则sin +cos = ( )．
A. 3 B. 1 13 C. 3 D. 3
5
2
.已知函数 ( ) = 1 + ( > 0 且 ≠ 1)是奇函数，则 (1) =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6.在 中， 是边 上一点，且 = 2 , 是 的中点，记 = , = ，则 =( )
A. 53 3 B.
7
2 3 C.
7
2 3 D.
5
2 3

7 2 + 2, ≤ 1.若函数 ( ) = log2( 1), > 1
在( ∞, ]上的最大值为 4，则 的取值范围为( )
A. [0,17] B. ( ∞,17] C. [1,17] D. [1, + ∞)
28
2
.已知双曲线 : 2
2
2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 2(2,0)，若圆 : ( + 2) + ( 6)
2 = 4 上存在点 使
得 2的中点在 的渐近线上，则 的离心率的取值范围为( )
A. [2, + ∞) B. [3, + ∞) C. (1,2] D. (1,3]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.若 < < 0，则 2 > > 2 B.若 < < 0，则 2 < 2
C.若 0 < < < > ，则 D.

若 0 < < ，则 2 + 2 > 2
10.已知函数 ( ) = 2sin π2 3 ，则下列说法正确的有( )
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A. = π3为函数 ( )图象的一条对称轴 B. ( )在区间 π, 2π 上单调递增
C. ( )在区间 π, π 上的值域为[ 2,1] D. ( )在区间 0,4π 上有 3 个零点
11.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数， ( + 1)是偶函数，当 ∈ [0,1], ( ) = 2 + ，则下列说法中正确
的有( )
A.函数 ( )关于直线 = 1 对称 B. 4 是函数 ( )的周期
C. (2022) + (2023) = 0 D.方程 ( ) = ln 恰有 4 不同的根
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知正实数 , 满足 + = 4 1，则 +
4
的最小值为 ．
13.已知 cos π 1 5π4 + = 3，则 sin 4 = ．
14.已知直线 = + 是曲线 = ln(1 + )与 = 2 + ln 的公切线，则 + = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 = + 2 cos ．
(1)求 ；
(2) 3 3若 的周长为 9，面积为 4 ，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知抛物线 : 2 = 2 的焦点 到准线的距离为 2，过 的直线 与 交于 ， 两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线 的倾斜角为 45°，求| |．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， = 2， = 4， 为正三角形， 为 的中点，∠ = ∠ = 90°．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 为 的中点，求平面 与平面 的夹角．
18.(本小题 17 分)
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2 2
: + = 1( > > 0) , 1, 3已知椭圆 的左 右焦点分别为 1 2，且过点 ,
9
2 2 2 1 2 = 4，过点 (0, 1)
的一条直线与椭圆 相交于 , 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 = 2 ，试求直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
已知等差数列 满足 1 + 2 = 4， 2 + 3 = 8．
(1)求 ；
(2) ( 1) + 求数列 +1 的前 2 项和 2 ． +1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.94
13. 13
14.3 ln2
15.(1)在 中，由 2 = + 2 cos 及正弦定理得 2sin = sin + 2sin cos ，
则 sin + 2sin cos = 2sin( + ) = 2sin cos + 2cos sin ，
1
因此 2cos sin = sin ，而 sin > 0，则 cos = 2，又 ∈ (0, π)，
π
所以 = 3．
(2)由(1) 1 3及已知得 = 2 sin = 4 =
3 3
4 ，解得 = 3，
由 + + = 9，得 + = 9 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ，则 2 = (9 )2 9，
所以 = 4．
16.1)由抛物线的性质， = 2，故抛物线 : 2 = 4 ．
(2)由直线 的倾斜角为 45°，则斜率为 1，直线方程为 = 1，
设 1, 1 , 2, 2 ，
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2 = 4
联立 2 = 1 6 + 1 = 0, = 36 4 > 0,
1 + 2 = 6，
故| | = 1 + 2 + 2 = 8．
17.(1)因为∠ = ∠ = 90°，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(2)连接 ， ，因为 为正三角形， 为 中点，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 为 的中点，所以 // ， ⊥ ，
如图以 为原点建立空间直角坐标系，
则 0,0, 3 ， ( 1,0,0)， ( 1,4,0)，
所以 = 1,0, 3 ， = (0,4,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 = 0
则 ，令 = 1，可得 = 3, 0, 1 ，
= 4 = 0
又平面 的一个法向量可取 = (1,0,0)，
设平面 与平面 夹角为 ，
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则 cos = cos , = 3 3 = 2×1 = 2 ，
又 ∈ 0, π2 ，所以 =
π π
6，即平面 与平面 夹角为6．
18.(1)根据题意作图如下：
2 2
设 1( , 0), 2( , 0)

，椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3
过点 1, 2 ，
1
所以有 + 9 = 1， 2 4 2 1 = 1,
3 , 22 = 1,
3
2 ，
又 1· 2 =
9 3
4，则 1, 2 · 1,
3
2 = 1
2 + 94 =
9
4，
1 9
所以 = 1，则 2 2 = 1，所以 2+1+ 4 2 = 1，
整理得 4 2 + 3 2 3 = 0，因为 2 > 0，
所以解得 2 = 3, 2 = 4，
2 2
故椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)根据题意作图如下：
若 = 2 ，则| | = 2| |．
当直线 与 轴垂直时，其方程为 = 0，
则| | = 3 + 1, | | = 3 1，| | ≠ 2| |，不满足题意．
2 2
设直线 的方程为 = 1 ( 1)，代入椭圆方程得 4 + 3 = 1，
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整理得 3 2 + 4( 1)2 = 12，即 3 + 4 2 2 8 8 = 0．
设 1,
8 8
1 , 2, 2 ，则 1 + 2 = 3+4 2①， 1 2 = 3+4 2②.
因为| | = 2| |， 在直线 上，且 , 在 的两侧，
所以 = 2 ，则 0 1 = 2 2 0 ，所以 1 + 2 2 = 0③.
由①③解得 = 16 8 1 3+4 2 , 2 = 3+4 2，代入②，
16
得3+4 2
8
3+4 2 =
8 1
3+4 2 ,解得 =± 2，
所以直线 的方程为 =± 12 1，即 2 2 = 0 或 + 2 + 2 = 0，
综上，直线 的方程是 2 2 = 0 或 + 2 + 2 = 0．
19.(1)设等差数列 的公差为 ，则 = 1 + ( 1) ，
因为 1 + 2 = 4， 2 + 3 = 8，
所以 1 + 1 + = 4， 1 + + 1 + 2 = 8，
所以 2 1 + = 4，2 1 + 3 = 8，
所以 1 = 1， = 2，
所以 = 2 1，
(2) (1)( 1) + 由 +1 = ( 1)
1
+
1 1 1 1
= ( 1) 2 1+ 2 +1 = ( 1) 2 1 ( 1)
+1 1 ，
+1 +1 2 +1
所以数列 ( 1) + +1 2 1 1 1 1 1 1 1 的前 项和 2 = 1 3 + 3 + 5 + 5 7 + 7+ 9 + +
1
+1 4 3

1 1 1
4 1 + 4 1+ 4 +1 ，
= 1+ 1所以 2 4 +1 =
4
4 +1，
( 1) + 所以数列 +1 4 的前 2 项和 2 = ． +1 4 +1
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