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海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ 0,2 , 2 2 ≥ 1”的否定是( )
A. 0,2 , 2 2 ≥ 1 B. ∈ 0,2 , 2 2 < 1
C. ∈ 0,2 , 2 2 < 1 D. 0,2 , 2 2 ≥ 1
2.已知全集为 ，集合 = { | = 3 , 1 ≤ < 2}， = { | ≤ 7}，则 ∩ ( ) =( )
A. (3,7) B. [3,7] C. (7,9) D. (7, + ∞)
3.不等式 ln ln( 2) > 1 的解集为( )
A. (2, 2 ) B. ( 1 1 2 , 2) C. (2, + ∞) D.
4.已知函数 = ′ 0 ，则 ′ 0 的值为( )
A. B. C. 1 D. 12 2
5.已知函数 = 2 1 22 2 +1 ，则“ = 1”是“ 为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 > 0, > 0，且2 + 2 = 8，则 的最大值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.若 3 2 53 = 1,2 = 336，则3 =( )
A. 75 B. 75 C. 125 625216 36 36 D. 36
1
8.已知 = 5 ln5 2ln2 , = 5, = 109，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数 , 满足 5 > 5，则下列不等式一定成立的有( )
A. > 1 B. + 1 > +
1 C. 1 > 1 D. +1 +1 >
10.已知 , ∈ ，函数 = 1 1 + + ，则下列结论中正确的是( )
A.存在 , ∈ ，使得 无零点
B.对任意 , ∈ , 至少有一个零点
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C.存在 , ∈ ，使得 有两个零点
D.存在 , ∈ ，使得 的图象关于 1,1 对称
11.已知函数 = 2 + 2 存在极大值点 1和极小值点 2，则下列说法正确的是( )
A. < 11 2 4
B. 1 + 2 =
1
2
C.若 1 < 0, 2 < 0，则 0 < 1 2 <
1
4 2
D.若 2 = 0，且 = (其中 > > 1)，则 + < 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知定义在 上的函数 = 满足 = + 4 ，且 2 = 2，则 10 = ．
13.随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，
4 2+
设他进货总费用 (百元)与进货量 (单位：百斤)之间的关系为 = +1 , 0 < < 1 ( 为常数)，若
4 + 3, ≥ 1
满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则 的取值范围为 ．
14.已知不等式 + 1 + 2 > ln 2 在区间 2,3 上恒成立，则实数 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 = 1 3 2 103 2 + 3 + 3．
(1)求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 1,4 上的最值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = ln , ∈ ．
(1)当 = 1 时，求函数 的极值；
(2)当 = 0 时，关于 的不等式 ≥ 1 在 0, + ∞ 上恒成立，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 1 ln , ≥ 0．
(1)若函数 单调递增，求实数 的取值范围；
(2) = 1 1 1 1 1 1当 2时，利用题干信息证明：1 + 3 + 4+ 5 + + +

2 +1 > ln + 1 ， ∈ ．
18.(本小题 17 分)
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已知函数 = + 2 , ∈ ，且 = + 1 的图象关于直线 = 1 对称．
(1)求实数 的值；
(2)求函数 在 1,1 上的值域；
(3)若 ∈ 1,1 ，不等式 2 + ≥ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
定义：若存在 0使得 ′ 0 = ′ 0 成立，则称 0为函数 和 的 平衡点，其中 ′ , ′
分别为 , 的导函数．已知函数 = ln , = 2ln + 1 ．
(1)若函数 ′ 和 ′ 存在 平衡点，求实数 的最大值；
(2)若函数 和 存在 3 个不同的 平衡点 1, 2, 3，且 1 < 2 < 3．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： 3 1 1 + 3 + 2 < 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13. 4,6
14.
2+2
2
15.解：(1)对函数 = 1 33 2
2 + 3 + 103求导得 ′ =
2 4 + 3．
因为 ′ 1 = 1 + 4 + 3 = 8, 1 = 13 2 3 +
10
3 = 2．
所以曲线在点 1, 1 处的切线方程为 + 2 = 8 + 1 ，即 8 + 6 = 0．
(2)因为 ′ = 2 4 + 3 = 3 1 ，
当 ′ > 0 时， > 3 或 < 1；当 ′ < 0 时，1 < < 3．
所以在区间 1,4 上，函数 在 1,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，在 3,4 上单调递增，
1 = 1 2+ 3 + 10 = 14 , 4 = 64 32 + 12 + 10 = 14 1 = 1 2 3 + 10又 3 3 3 3 3 3， 3 3 = 2, 3 = 9
18 + 9 + 103 =
10
3．
所以函数 在区间 1,4 14上的最大值为 3，最小值为 2．
16.解：
(1) 1当 = 1 时， = 1 ln , > 0，则 ′ = ln + 1 ，
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记 = ln + 1 1 , > 0
1 1
，则 ′ = + 2 > 0，
所以 在 0, + ∞ 上单调递增，又 1 = 0，
所以当 ∈ 0,1 时， = ′ < 0，当 ∈ 1, + ∞ 时， = ′ > 0，
所以 在 0,1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增，
所以 在 = 1 处取得极小值 1 = 0，无极大值．
(2)当 = 0 时， = ln , > 0，
记函数 = 1 = ln 1 , > 0，
依题意， > 0， ( ) ≥ 0 恒成立，而 (1) = 0，因此函数 ( )最小值为 0，
求导得 ′ = ln + 1 ，由 ′ = 0，得 = 1，
当 ∈ 0, 1 时， ′ < 0，当 ∈ 1, + ∞ 时， ′ > 0，
函数 在 0, 1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增，
因此 1 1 1min = = ( 1) 1 = 1，则 1 = 0，
又 1是函数 ( )的唯一最小值点，且函数 ( )在 = 1 处取得最小值，
于是 1 = 1， = 1，满足 1 = 0，
所以实数 的值为 1．
17.解：(1)由题意可知：函数 的定义域为 0, + ∞ ，且 ′ = 1 + 1 1 2 ，
若函数 单调递增，则 ′ ≥ 0 在 0, + ∞ 内恒成立，

可得 ≥ 2+1在 0, + ∞ 内恒成立，
1 1 1 1
因为 2+1 = 1 ≤ = 2，当且仅当 = ，即 = 1 时，等号成立， + 2 1
可得 ≥ 12，且 ≥ 0，
1
所以实数 的取值范围为 2 , + ∞ ．
(2)若 = 12，则 =
1 1
2 ln ，
由(1)可知函数 在 0, + ∞ 内单调递增，
1 1
当 > 1 时， > 1 = 0，则2 > ln ，
令 = 1 + 1 = +1 1 1 +1 , ∈ ，则2 1 + +1 > ln ，
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1 1 1
整理可得2 + +1 > ln + 1 ln ，
1 1
即2 1 + 2 > ln2 ln1 = ln2
1 1 1
，2 2+ 3 > ln3 ln2，
1 1 1
，2 + +1 > ln + 1 ln ，
1 1 + 2 1 1 1 1相加可得2 2 + 3 + + + +1 > ln + 1 ，
整理可得 1 + 13 +
1 1 1 1
4+ 5 + + + 2 +1 > ln + 1 ， ∈
，证毕．
18.解：(1)由题意知 = + 1 的图象关于直线 = 1 对称，

则 = 的图象关于 + 轴对称，即 = 2 , ∈ 为偶函数，

= , ∴ + = +

故 ，即 = 2 2 ，
设 = , ∈ ，则 = = ，
即 为奇函数，而 ′ = + > 0，即 在 上单调递增，
则由 = ，可得 = ，则 = ，
则 = , ∴ + 1 = 0，由于 ∈ ，故 + 1 = 0, ∴ = 1；

(2)由(1)可知 = + 2 ，则 ′ =

2 ，
当 1 ≤ < 0 时， < ，则 ′ < 0，则 在 1,0 上单调递减，
当 0 < ≤ 1 时， > ，则 ′ > 0，则 在 0,1 上单调递增，
1 = +
1 1
而 2 , 1 =
+
2 , 0 = 1，
1,1 1, +
1
故 在 上的值域为 2 ；
2 2
(3) ∈ 1,1 ，不等式 2 + ≥ 0 + 恒成立，即 2 +
+
2 ≥ 0 恒成立，
即 ∈ 1,1 ， + 2 2 + + ≥ 0 恒成立，
令 = + ，由于 ∈ 1,1 ，结合(2)可知 ∈ 2, + 1 ，
则 + 2 2 + + ≥ 0 即为 2 + 2 ≥ 0，
即得 ≥ 2 对于 ∈ 2, +
1 恒成立，
2 2 2
而函数 = 在 2, + 1 上单调递减，故 = 2 = 1，max 2
故 ≥ 1．
19.解：(1)函数 = ln 的定义域为 0, + ∞ ， ′ = ln , > 0．
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2
函数 = 2ln + 1 的定义域为 1, + ∞ ， ′ = 1 +1 , > 1
令 = ′ , = 1′ ，则 ′ = , > 0； ′ =
2
+1 2 , > 1.所以 ′ > 0, ′ > 0．
由函数 ′ 和 ′ 存在 平衡点，知 和 存在 平衡点，所以存在实数 0使得 ′ 0 =
′ 0 成立，即存在实数 0使得 =
′ 0 成立．
′ 0
′ 2 1 1 1 1
令 = =
′ 2+2 +1
= 1 ≤ 2，当且仅当2 = 2 = 2，即 = 1 时，等号成立．
2+2 +1
所以当 = 1 1时， 取得最大值，最大值为2．
实数 1的最大值为2．
(2)若函数 和 存在 3 个不同的 平衡点 1, 2, 3，且 1 < 2 < 3，则 ′ = ′ 有 3 个不同
的解．
当 ′ = 0,即 ln = 0, = 1 时， ′ = ′ 1 = 0，所以 = 1 是 ′ = ′ 的一个解，此时 ∈
．
所以当 ≠ 1 时， ′ = ′ ′ ，即 = 有 2 个不同的解．
′
2
′ 1 1
令 = ，则由(1)得： = +1ln = ′ +1 ln , > 0,且 ≠ 1．
+1 ln 1 ln + +1 2ln +
1
′ = +1 2 2 = +1 2 2 , > 0，且 ≠ 1．
2
令 = 2ln + 1 , > 0 =
2
，则 ′ 1
1 = 1 2 2 ≤ 0，所以 = 2ln +
1
, > 0 单调
递减．
因为 1 = 0，所以当 0 < < 1 时， > 0， ′ > 0， 单调递增；
当 > 1 时， < 0， ′ < 0， 单调递减．
当 → 0 时， → 0；当 < 1,且 → 1 时， 1 < 0, ln < 0， 1 → ln 1 1，所以 +1 ln → 2；
> 1, 1 1当 且 → 1 时， 1 > 0, ln > 0, 1 → ln ，所以 +1 ln → 2；
当 →+∞时， 1 →+∞, + 1 →+∞, ln →+∞ 1 1，所以 +1 ln > 0, +1 ln → 0；
因此， 的简图如下：
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所以当 0 < < 12时， = 有两个不同的解．
1
①所以实数 的取值范围是 0, 2 ．
1
= 1 , > 0, ≠ 1 1 =
1 1
②若 +1 ln 且 ，则 1+1 ln1 +1 ln
=

1
如图可知：0 < 1 < 2 = 1 < 3，且 = 1 = 3 ，所以 1 = ．3
要证 3 1 1 + 3 + 2 < 2，只需证 3 1 + 3 + 2 < 2 + 1 + 3 + 2 ，
1
即证 3 + 3 + 2 <
1
+ 3 + 4，即证 3 3 + 1
2 23 + 4 3 + 1 < 0，
3 3
3 1 3 23 1
即证 3 2 2 2 +1 ln × 3 + 1 3 + 4 3 + 1 = ln 3 + 4 3 + 1 < 0，3 3 3
即证 3 23 1 23 + 4 3 + 1 ln 3 < 0．
2
令 = 3 2 1 2 + 4 + 1 ln , > 1 = 6 2 + 4 ln +4 +1，则 ′ = 5
1
2 +
4 ln 4, > 1，
令 = 5 1 2 + 4 ln 4, > 1，则 ′ = 5 +
1
2 2ln
2 +4
= 3 +
1 4
2 2ln , > 1
1 4 2 4 2 2 1 2
令 = 3 + 2 2ln , > 1，则 ′ = 3 + 2 = 3 , > 1．
所以当 > 1 时， ′ < 0， 单调递减，所以 < 0，即 ′ < 0．
所以 单调递减，且 < 0，即 ′ < 0.所以 单调递减，所以 < 0．
即当 > 1 时，3 2 1 2 + 4 + 1 ln < 0．
因此，3 23 1 23 + 4 3 + 1 ln 3 < 0．
故 3 1 1 + 3 + 2 < 2 得证．
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