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海南省定安县定安中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 : ∈ R, | | ≥ 0，则 :( )
A. R, | | ≥ 0 B. ∈ R, | | < 0 C. R, | | < 0 D. ∈ R, | | < 0
2.函数 ( ) = + 4 + 2 1的定义域是( )
A. ≥ 4 B. ≠ 1 C. ≥ 4且 ≠ 1 D. > 4且 ≠ 1
3.已知集合 = 1 < < 3 ，集合 = 2 4 < 0 ，则下列关系式不正确的是( )
A. ∩ = 1 < < 2 B. ∪ = ≤ 3
C. ∪ = > 1 D. ∩ = 2 ≤ < 3
4.已知 > > > ，则下列不等式中一定成立的是( )
A. 1 <
1 2 2
B. > C. + > + D. >
5.下列函数中，在区间(0, + ∞)上单调递减的是( )
A. = 3 B. = 5
2 C. = 3 D. = | |
6.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. ( ) = 1 1 0 2 1与 ( ) = +1 B. ( ) = 与 ( ) = 1
3
C. ( ) = 1 ( ) = 1| |与 2 D. ( ) = ， ( ) =
3

7 ( ) = + 1, ≤ 2.已知函数 2 ( 1), > 2，则 (3) =( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8.设函数 ( ) = e e + 3，则使得 (2 3) + ( ) > 0 成立的 的取值范围是( )
A. (3, + ∞) B. ( ∞,3) C. (1, + ∞) D. ( ∞,1)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题中，是真命题的是( )
A. ∈ ， 2 + 1 > 0
B.“ > 2”是“2 < < 4”的充分不必要条件
C.“ = π4”是“tan = 1”的必要不充分条件
D.“| | > | |”是“ > ”的既不充分也不必要条件
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10.下列叙述中正确的是( )
A.已知关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为( ∞, 2) ∪ (3, + ∞)，则 > 0
B. 3不等式 +1 ≤ 0 的解集是[ 1,3]
C. 1不等式 2 2 5 3 < 0 的解集是 2 , 3
D.不等式| 1| ≥ 1 的解集是( ∞,0] ∪ [2, + ∞)
11.已知正数 , 满足 + 2 = 2 ，则下列说法一定正确的是( )
A. + ≥ 4 B. + 2 ≥ 4 C. ≥ 3 D. 2 + 4 2 ≥ 8
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( )为偶函数，且当 > 0 时， ( ) = 2 1，则 ( 2) = ．
13.函数 ( ) = 32 +6在区间[ 2,4]上的值域为 ．
14 > 1 4.已知 3，则 3 + 3 1的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 = 2 + 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 4, △ 3的面积为 2 ，求 的值；
16.(本小题 15 分)
已知数列 , 分别是等差、等比数列，且 1 = 1, 2 = 1 = 1, 2 = 3．
(1)求 , 的通项公式；
(2)求数列 + 2 的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2，∠ = 90°， ， 分别为 1 ， 的中点．
(1)求证： 1 ⊥ 1 ；
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(2)求直线 1 与平面 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 6 ．
(1)求曲线 = ( )在点 2, (2) 处的切线方程；
(2)当 ∈ (0, + ∞)时，求证： ( ) ≥ 3 2．
19.(本小题 17 分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 3 = 1 > 3 的离心率为2．
(1)求 的方程；
(2)过 的右焦点 的直线 交 于 , 两点，若 ( 4 3为坐标原点)的面积为 5 ，求 的方程．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 314 ,
3
2
14.5
15.解：(1)由 2 = 2 + 2 可得 = 2 + 2 2，
2+ 2 2cos = = 1故 2 2 = 2，
π
由于 ∈ 0, π ，故 = 3，
(2) 1 1 3 3由 = 2 sin = 2 × 2 = 2 ，故 = 2，
又 = 2 + 2 2得 = ( + )2 2 2，故 2 = ( + )2 3 = 16 6，
故 = 10，
16.解：(1)设 的公差为 ， 的公比为 ，
则 = 2 1 = 2，所以 = 1 + 2( 1) = 2 3；
所以 3 = 3，则 =
2 = 3 = 3，所以 = 1
1 = 3 1．
1 1
(2)由(1)可知 + 2 1 = 2 3 + 2 3 ，
= 1+

+ 2 × 1 1 = ( 1+2 3) 则 2 1 2 + 3
1 = 3 + 2 2 1．
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17.解：(1)证明：连接 1，
因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，所以 1 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ 1，
又 ⊥ , ∩ 1 = ， ， 1 平面 1，所以 ⊥平面 1，
又 1 平面 1，则 1 ⊥ ，
因为在直三棱柱 1 1 1中， = 1，所以四边形 1 1为正方形，
所以 1 ⊥ 1，
因为 ∩ 1 = ， 、 1 平面 1，所以 1 ⊥平面 1，
又 1 平面 1，则 1 ⊥ 1 ．
(2)因为直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°，
所以 ， ， 1两两垂直，
所以以 为原点，分别以 ， ， 1所在的直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， 1(0,0,2)， (2,0,0)， (0,2,1)， (1,1,0)，
所以 1 = (2,0, 2)， = (0,2,1)， = (1,1,0)．

设平面 的一个法向量为 = ( , , )，则 = 2 + = 0 ,
= + = 0
令 = 1 可得 = (1, 1,2)．
设 1 与平面 所成角为 ，

1
所以 sin = cos , 1 =
2
= =
3
，
1 4+4× 1+1+4 6
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即 31 与平面 成角的正弦值为 6 ，
33所以 1 与平面 成角的余弦值为 6 ．
18.解：(1)由题 (2) = 4， ′( ) = 3 2 6，所以切线斜率为 = ′(2) = 6．
因为切点为(2, 4)，
所以切线方程为 + 4 = 6( 2)，即 6 16 = 0．
(2)证明：令 ( ) = ( ) + 3 + 2 = 3 3 + 2, > 0，则 ′( ) = 3 2 3 = 3( 1)( + 1)，
当 ∈ (0,1)时 ′( ) < 0，所以 ( )在(0,1)上单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时 ′( ) > 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以当 = 1 时， ( )有最小值为 (1) = 0，
所以当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≥ 0，即当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≥ 3 2．
2 2
19.解：(1) 1由题意知，椭圆 : 2 + 3 = 1 > 3 的离心率为2，
2 3 1
可得 = = = ，解得 2 2 = 4，
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
2 2
(2)由(1) 知，椭圆 : 2 24 + 3 = 1，可得 = = 1，所以右焦点 (1,0)，
由题意知，直线 的斜率不为零，设 的方程为 = + 1，
= + 1
联立方程组 2 2 ，整理得到 3 2 + 4 2 + 6 9 = 0，
4 + 3 = 1
可得 = (6 )2 4(3 2 + 4) × ( 9) > 0，
设 1,
6 9
1 , 2, 2 ，则 1 + 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4，
2
| | = 1 + 2 + 2 4 = 1 + 2 36 + 36 = 12 1+
2
所以 1 2 1 2
3 2+4 2 3 2+4 3 2+4
，
= | 1| 1又由点 到 的距离 = ，
1+( )2 1+ 2
2 2
所以 1的面积 = 2 | | =
1
2 ×
12 1+
3 2+4 ×
1 = 6 1+ = 4 33 2+4 5 ，1+ 2
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解得 2 = 13或
2 = 1112 (舍)
3
，所以 =± 3 ，
所以 的方程为 = 3 33 + 1 或 = 3 + 1，
即直线 的方程为 3 3 = 0 或 3 + 3 = 0．
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