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河北省辛集中学 2026 届高三上学期第一次阶段测试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 9 + 20 ≤ 0}, = { | 2( 3) < 1}，则 ∩ =( )
A. ( ∞,5) B. [4,5) C. ( ∞,5] D. (3,5]
2.已知指数函数 = ( > 0 且 ≠ 1)是减函数，若 = 2， = 2 ， = 2，则 ， ， 的大小关系
是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
3 3. 1 > 1 成立的一个必要不充分条件是( )
A. 1 < < 4 B. < 4 C. 2 < < 3 D. < 1
4.已知正实数 , 满足 + + 2 = 6，则 + 2 的最小值是( )
A. 2 2 + 2 B. 4 C. 5 D. 2 3
5.当 = = 6 2 时， 2 + 2sin

2 cos 2 3 取得最大值，则 tan =( )
A. 3 B. 3 C. 13 D.
1
3
6.已知函数 ( ) = sin + cos ，则下列说法正确的是( )
A. ( )的最小值为 0 B. ( )的最大值为 2
C. ( 2 ) = ( ) D. ( ) =
1 0, 2在 2 上有解
7
2 + 2, ≤ 0
.函数 = 1 + ln , > 0 ，则函数 = 的零点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.已知 > 0， > 0，且 = 2 + ln ，则( )
A. > 2 B. 2 > +2 C. 2 < ln D.
2 < 2 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. sin2cos3 < 0
B. 3 若圆心角为3的扇形的面积为 2，则扇形的弧长为
C. 终边落在直线 + = 0 上的角的集合是{ | =± 4 + , ∈ }
D.函数 = tan(2 6 )的定义域为{ | ≠ 3 + 2 , ∈ }
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10.已知 0 < < < 2，且2 < + < ，若 cos cos =
2
5 ，tan + tan =
7
2，则( )
A. sin( + ) = 7 210 B. sin sin =
2
10
C. = 16 D. tan = 2
11.已知定义域为 的函数 ( )，对任意实数 , 都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (2) = 1，则以
下结论一定正确的有( )
A. (0) = 1 B. ( )是奇函数
C. ( )关于(1,0)中心对称 D. (1) + (2) + + (2025) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 1( 2 3 + 2)的单调递增区间为 ．
2
13 4 3.如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 , 在圆 上，且点 位于第一象限，点 的坐标为 5 , 5 ，
∠ = .若 = 1，则 3 2 2 sin

2 cos

2
3的值为 ．
2
14.已知函数 = ln 的最小值为 1，则实数 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

设函数 = sin 6 + sin

2 ，其中 0 < < 3.

已知 6 = 0．
(1)求 的值；
(2) 将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位长
度，得到函数 的图象，求 的单调递增区间．
16.(本小题 15 分)
已知在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且 2 = 2 cos + 3 ．
(1)求角 ；
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(2)若 + = 1 + 2 3, 3的面积为 2 ，求 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = ln + 1 ．
(1)求曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值．
18.(本小题 17 分)
已知 为偶函数， 为奇函数，且满足 + = 2 × 4 ．
(1)求 ， 的解析式；
2
(2)若方程 = + 2 + 9 有解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = ln ( , , ∈ ).
(1)当 = = 1, = 2 时，求函数 的最小值；
(2)设 , 为函数 的极值点，且 < ，若 , , 是一个三角形的三边长，求 + 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∞,1
13.35##0.6
14. 1
15.解：(1)由 = sin 6 + sin

2 = sin cos

6 cos sin 6 cos
= 32 sin
1
2 cos cos = 3
1
2 sin
3
2 cos = 3sin

3 ，

且 6 = 0，则 3sin
= 0 6 3 ，解得6 3 = ∈ ，即 = 2 + 6 ∈ ，
由 0 < < 3，则 = 2．
(2) 函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，可得函数 = 3sin 3 的图象；

再将得到的图象向左平移4个单位长度，得到函数 = 3sin 12 的图象，
+ 2 ≤ ≤ + 2 ∈ 5 + 2 ≤ ≤ 7 令 2 12 2 ，解得 12 12 + 2 ∈ ，
5 7
所以函数 的单调递增区间为 12 + 2 , 12 + 2 ∈ ．
16.解：(1)因为 2 = 2 cos + 3 ，由正弦定理可得 2sin = 2cos sin + 3sin ，
所以， 3sin = 2sin + 2cos sin = 2sin cos + 2cos sin 2cos sin
= 2sin cos ，
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因为 、 ∈ 0, ，则 sin > 0 cos = 3 ，可得 2 ，故 = 6．
(2)因为 1 1 1 1 3△ = 2 sin = 2 × 2 = 4 = 2 ，可得 = 2 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 2 × 32 = +
2 2 + 3
= 13 + 4 3 2 3 × 2 + 3 = 7，
因此， = 7．
17. 1解：(1)因为 = ln + 1 ，则 ′ = +1，
可得 0 = 1， ′ 0 = 0，即切点坐标为 0,1 ，斜率 = 0，
所以切线方程为 1 = 0 × 0 0，即 = 1．
(2)因为函数 的定义域为 1, + ∞ ，
由(1)可知： ′ = 1 +1，
当 > 0 时， > 1, 1 +1 < 1，所以 ′ > 0，
则函数 在 0, + ∞ 上单调递增，
当 1 < < 0 时， < 1, 1 +1 > 1，所以 ′ < 0，
则函数 在 1,0 上单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 1,0 ，单调递增区间为 0, + ∞ ，
且函数 的极小值为 0 = 1，无极大值．
18.解：(1)因为 为偶函数， 为奇函数，
且满足 + = 2 × 4 ①，
所以 = ， = ．
所以 + = 2 × 4 ，即 = 2 × 4 ②.
由①②解得 = 4 + 4 ， = 4 4 ．
2
(2)方程 = + 2 + 9 有解，即 4 + 4 = 4 4 2 + 2 + 9 = 4 + 4 2 + 2 + 5．
令 = 4 + 4 ≥ 2，当且仅当 = 0 时取等号，
所以 = 2 + 2 + 5 在 2, + ∞ 上有解，即 2 = 2 + 5.当 = 2 时，不成立．
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2 > 2 = +5 2
2+4 2 +9
当 时， 2 = 2 = 2 +
9 + 4 ≥ 2 2 9 2 2 + 4 = 6 + 4 = 10，
当且仅当 = 5 时取等号，
故实数 的取值范围是 10, + ∞ ．
19. 2解：(1)当 = = 1, = 2 时， = + ln 且 > 0，
2 1 2
则 ′ = 1 2 =
2 = +1 2 2 2 ，
当 0 < < 2 时， ′ < 0，当 > 2 时， ′ > 0，
所以 在 0,2 上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增，
所以 min = 2 = 3 ln2；
2
(2)由题意得 ′ = + 2
+
= 2 且 > 0，
因为 , 为函数 的极值点，且 < ，
则 2 + = ( )( ) = 2 + + ，
2
+ = 2 = 1 =
所以 1
2
，即 2 ，显然 ≠ 1，则 , = = 4 = 1
<
2 2 1 1
由 ，则1 > > 0，故1 1 = 1 > 0，所以2 < < 1，易知 > ，
4 2
由 , , 是一个三角形的三边长，则 + > ，即1 + > 1 ，
所以 3 2 + 1 > 0，
令 = 3 2 + 1 1且2 < < 1，则 ′ = 3
2 2，
1
当2 < <
6 6
3 时， ′ < 0，当 3 < < 1 时， ′ > 0，
1 , 6 6所以 在 2 3 上单调递减，在 3 , 1 上单调递增，
5 1 = 5 1
3
2 2 2 ×
5 1
2 + 1 = 0， 1 = 1
3 2 × 1 + 1 = 0，
1 < 5 1 6 1 5 1又2 2 < 3 ，故2 < < 2 时， =
3 2 + 1 > 0，
1 5 1 2 4
综上2 < < 2 ，而 + = +
3 2
1 1 = + + ，
由 = 3 + 2 + 1 5 1在 2 , 2 上单调递增，
1 1 3 1 2 1 7
当 = 2，则
3 + 2 + = 2 + 2 + 2 = 8，
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= 5 1当 时， 32 = 2 1，
3 + 2 + = 2 + 3 1 = 5 1
2
则 2 + 3 ×
5 1
2 1 = 5 1，
故 ∈ 78 , 5 1 ，即 +
7
的范围为 8 , 5 1 ．
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