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河北省冀州中学 2026届高三上学期 9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 1,0,1,2 ， = | 2 < 1 < 1 ，则 ∩ =( )
A. 0,1 B. 1,0 C. 1,0,1 D. 0,1,2
2.函数 = + 4 + 2 1的定义域是( )
A. ≥ 4 B. ≠ 1
C. ≥ 4且 ≠ 1 D. > 4且 ≠ 1
3.在 1 3中，“cos = 2”是“sin = 2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.设 , ∈ 0, + ∞ ，且 + 4 = 1 1，则 +
1
的最小值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.函数 = ln 2 2 的单调递减区间是( )
A. ∞,1 B. 1, + ∞ C. ∞,0 D. 2, + ∞
6.如果 1, 2是两个不相等的实数，且满足 21 2 21 = 1, 2 2 2 = 1，那么 1 2的值是( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
7.已知 是定义在 2,2 上的奇函数，当 ∈ 0,2 时， = 2 1，函数 = 4 2 +1 + ，如果对
于任意 1 ∈ 2,2 ，存在 2 ∈ 2,2 ，使得 2 = 1 ，则实数 的取值范围是( )
A. 5, 2 B. ( ∞, 3] C. 3, 2 D. 5, 3
8.已知函数 的图象关于直线 = 1 对称，当 2 > 1 > 1 时， 2 1 2 1 < 0 恒成立．设 =
12 , = 2 , = 3 ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 6 + ，则( )
A. = 7 + 5 B. 2 = 5 2
C. + 7 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.下列说法正确的是( )
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A.若定义在 上函数 恒有 + = + ，则 是奇函数；
B.函数 1 的定义域为 1,2 ，则函数 2 + 的定义域为 3,0 ；
C.若 > > 0, > 0 + ，则 + < ；
2
D.函数 = +3 +3 +1 ≥ 1
7
的最小值为2．
11.已知函数 对任意 ∈ 都有 + 2 = ，若函数 = 1 的图象关于 = 1 对称，若 2 =
0，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 2022 = 0
C. 的图象关于点 1,0 对称 D. 2 > 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.命题“ 0 ∈ , 1 < 0 ≤ 2”的否定是 ．
13 + 3 3 , < 0.函数 ( ) = , ≥ 0 ( > 0 且 ≠ 1)是 ∞, + ∞ 上的单调递减函数，则 的取值范围
是 ．
14.若函数 = 2 2 在区间 2, 内不单调，则实数 的取值范围为____ ____．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)设 是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0 时， = 2 2 + ，求 的解析式．
(2)已知函数 = 2 1, = 2 + 3 + 2，函数 =
①解不等式 ≤ 0；

②解不等式 2 > 0．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = 2 3sin cos 2 2 + 1．
(1)求函数 的周期和其图像的对称轴方程；
(2) ∈ 0, 5 当 12 时，求 的值域．
17.(本小题 15 分)
设函数 = 2 + + , ∈ ．
(1)当 = 1 5时，若关于 的不等式 4 ≤ ≤ 5 在区间 2, 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数 在区间 0,2 的最大值为 + 2，求函数 的解析式．
18.(本小题 17 分)
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3
在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，已知 = cos + 3 sin ．
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且边 = 2 3，求 面积的取值范围
19.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 sin2 ．
(1)证明 关于 2 , 0 成中心对称；
(2)讨论 在区间 0, 的单调性；
(3)证明： ≤ 3 38 ；

(4)设 ∈ ，证明： 2 22 24 22 ≤ 34 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∈ , ≤ 1 或 > 2
13.(0, 23 ]
14. 1,3
15.解：(1)当 < 0 时， > 0，则 = 2 2 ，
又 是定义在 上的奇函数，则 = = 2 2 = 2 2 + ， 0 = 0，
2 2 + , ≥ 0
故 = ；
2 2 + , < 0
(2)①令 = 2 + 3 + 2 = + 1 + 2 ≤ 0，解得 2 ≤ ≤ 1，
则当 2 ≤ ≤ 1 时， = ≤ 0，
2 ≤ 2 1 ≤ 1 1令 ，解得 2 ≤ ≤ 0，
故 ≤ 0 1的解集为 2 , 0 ；

②由 2 > 0，则 2 > 0，
则当 > 2 时， > 0；当 < 2 时， < 0，
若 > 0 且 > 2，
令 = 2 + 3 + 2 = + 1 + 2 > 0，解得 < 2 或 > 1，
则当 < 2 或 > 1 时， = > 0，
1
令 2 1 < 2，解得 < 2，令 2 1 > 1，解得 > 0，
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故 > 0 1的解集为 ∞, 2 ∪ 0, + ∞ ，又 > 2，
故 > 0 且 > 2 的解集为 2, + ∞ ；
若 < 0 且 < 2，
令 = 2 + 3 + 2 = + 1 + 2 < 0，解得 2 < < 1，
则当 2 < < 1 时， = < 0，
令 2 < 2 1 < 1 1，解得 2 < < 0，
< 0 1故 的解集为 2 , 0 ，又 < 2，
1
故 < 0 且 < 2 的解集为 2 , 0 ；
1
综上所述： 2 > 0 的解集为 2 , 0 ∪ 2, + ∞ ．
16.解：(1) = 3sin2 cos2 = 2 32 sin2
1
2 cos2 = 2sin 2

6 ，
2
所以 = 2 = ；
2 = 令 6 2 + ∈

，解得 = 3 + 2 ∈ ．
(2)因为 0 ≤ ≤ 5 2 12，所以 6 ≤ 2 6 ≤ 3
从而可知 sin 6 ≤ sin 2 6 ≤ sin 2，
因此 1 ≤ ≤ 2，故所求值域为 1,2 ．
17.解：(1)当 = 1 时，函数 ( ) = 2 1，
5由不等式 24 ≤ 1 ≤ 5，解得 2 ≤ ≤ 3，
依题意， 2, 2,3 ，则 2 < ≤ 3，
所以实数 的取值范围为 2,3 ．
(2) 由题意知，函数图象的对称轴 = 2．

①当 2 ≤ 1，即 ≥ 2 时， ( )max = 2 = 4 + 3 = + 2，解得 = 1；

②当 2 > 1，即 < 2 时， ( )max = (0) = = + 2，无解；
故函数的解析式是 ( ) = 2 1．
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18.解：(1)由正弦定理得 sin = sin cos + 33 sin sin ，
因为 + + = ，所以 sin = sin + = sin cos + sin cos ，
所以 sin cos + sin cos = sin cos + 33 sin sin , sin cos =
3
3 sin sin ，
因为 sin ≠ 0 3，所以 cos = 3 sin ，tan = 3，

因为 0 < < ，所以 = 3；
(2)方法一：因为 是锐角三角形，又 = 3，
= 23 ∈ 0,

所以 2

，解得 ∈ 6 , ∈ 0, 2
，
2
1 1 sin sin
2
2 3

= 2 sin = 2 sin = 3 3 = 3 3 sin = 3 3 sin
3
2 cos +
1
2sin = 3 3 9 3 3sin = 2tan + 2 ，
∈ , 3因为 6 2 ，∴ tan ∈ 3 , + ∞
1
，则tan ∈ 0, 3 ，
3 3
从而 ∈ 2 , 6 3 ．
方法二：
若 为锐角三角形，
所以 ′ < < ′′，
因为 = 3， = 2 3，所以 ′ = 3, ′′ = 4 3，
所以 3 < < 4 3，
1 1 3 3 3 3
又因为 = 2 sin = 2 2 3 2 = 2 ∈ 2 , 6 3 ，
所以 3 3 ∈ 2 , 6 3 ．
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19.解：(1)函数 = 2 sin2 ，定义域为 ，

有 2 + =
2
2 + sin2

2 + =
2 sin2 = 2 sin2 ，
2 =
2 2
2 sin2 2 = sin2 ，

可得 2 + + 2 =
2 sin2 + 2 sin2 = 0

所以 关于 2 , 0 成中心对称．
(2)由函数的解析式可得： = 2 sin2 = 2 3 cos ，
则 ′ = 2 2 2cos + 1 2cos 1 ，
其在 ∈ (0, ) = 上的根为： 1 3 , =
2
2 3，
∈ 0, ( ) > 0 ∈ 2 当 3 时， ′ ；当 3 , 3 时， ′( ) < 0
2
；当 ∈ 3 , 时， ′( ) > 0，
2 2
所以 在 0, 3 和 3 , 上单调递增，在 3 , 3 上单调递减；
(3)证明：注意到 + = 2 + sin 2 + = 2 sin2 = ，
故函数 是周期为 的函数，
3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3
计算可得 0 = = 0， 3 = 2 × 2 = 8 ， 3 = 2 × 2 = 8 ，
3 3 3 3
结合(2)中 在区间 0, 的单调性，可得 max = 8 ， min = 8 ，
≤ 3 3即 8 ；
(4)证明：结合(3)的结论有：
2
2 22 24 22 = 3 32 34 32 3
2
= sin 2 sin2 22 sin4 22 1 sin2 22 3
2 2
≤ sin 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
8 8 8 8
22 ≤ 3 38 =
3
4 ．
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