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广西南宁市第二中学 2026届高三上学期 9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 i = 2 i，则| | =( )
A. 5 B. 5 C. 3 D. 1
2.下面四个条件中，使 > 成立的必要而不充分的条件是( )
A. > + 1 B. > 1 C. 2 > 2 D. 3 > 3
→ → →
3.一物体在力 的作用下，由点 (5,0)移动到点 (2,4).若 = ( 2,3)，则 对该物体所做的功为( )
A. 18 B. 2 C. 2 D. 18
4.将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有( )
A. 34种 B. 43种 C. 18 种 D. 36 种
( + )
5.若函数 ( ) = 13 在区间(0,2)单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,4] B. [4, + ∞) C. [ 4, + ∞) D. ( ∞, 4]
6.设 1， 2是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且∠ 1 2 = 60°，若双曲线的离心率为 2，
则椭圆的离心率为( )
A. 2 10 2 15 B. 5 C. 2 D. 2
7.已知函数 ( ) = sin + cos2 2 ( > 0)的图象经过点 0,2 3 ，若 ( )在 0, π 上没有零点，则 的取值
范围为( )
A. (0,1) B. (0,1] C. 0, 23 D. 0,
2
3
8.已知函数 ( ) = 1 3 + 1 2 + + ( ≠ 0), ′(2) = 3 2 3，则 ( )在区间( )上一定存在极值点．
A. 12 , 2 B. 2,
7 C. 1, 5 D. 72 2 4 , 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定的异面直线 、 ，以下判断正确的是( )
A.存在平面 ，使得 ⊥ ， ⊥
B.存在直线 ，使得 同时与 、 垂直且相交
C.存在平面 、 ，使得 ， ，且 //
D.对于任意点 ，总存在过 且与 、 都相交的直线
10.已知 ， ， ， 四点均在双曲线 : 2 2 = 1 上，则四边形 可能为( )
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A.等腰梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
11.已知函数 ( ) = 2sin | |的最大值为 0，则 的值可能为( )
A. 3 5π B. 3 4π 2π π3 3 C. 3 3 D. 3 + 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.过三点 (0,0), (1,1), (4,2)的圆的方程为 ．

13.已知非零向量 ， 满足 = 2 ，则 = ．
14.已知数列 满足： 1 = 1， 2 = 2， 3 = 3， 4 = 4， 5 = 5，且当 ≥ 5 时， +1 = 1 2 1，
若数列 满足对任意 ∈ ，有 = 1 2 22 1 2 2 ，则 5 = ；当 ≥ 5 时， = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 21在 中，sin = 3 ，∠ = 60°．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 的面积．
sin = 5 3条件①： 14 ；
条件②： = 58 ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16.(本小题 15 分)
如图所示，已知四棱锥 中， 是直角梯形，∠ = ∠ = 90°， ⊥平面 ， = =
= 2 = 6．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的正切值．
17.(本小题 15 分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)仅经过 1(2,2 2), 2(3, 6), 3(3, 6)中的一点．
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(1)求 的方程；
(2)过 的焦点 作两条互相垂直的直线，分别交 于点 , 和点 , ，设线段 , 的中点分别为 , ，求证：
直线 过定点．
18.(本小题 17 分)
在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲
学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级
数》( )一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步
骤如下：设 是函数 = ( )的一个零点，任意选取 0作为 的初始近似值，曲线 = ( )在点 0, 0 处
的切线为 1，设 1与 轴交点的横坐标为 1，并称 1为 的 1 次近似值；曲线 = ( )在点 1, 1 处的切线
为 2，设 2与 轴交点的横坐标为 2，称 2为 的 2 次近似值．一直继续下去，得到 1， 2， 3，…， .一般
地，作点 , 处曲线 = ( )的切线 +1，记 +1与 轴交点的横坐标为 +1，并称 +1为 的 + 1 次
近似值，称数列 为牛顿数列．
(1)已知函数 ( ) = 3 2 + 2 5 的零点为 ， 0 = 1，求 的 2 次近似值．
(2)函数 ( ) = 2 + + ( , ∈ )的两个零点分别为 ， ( < )，数列 为函数 ( )的牛顿数列，若
数列 满足 = ln ∈ ， = 2025， > ． 1
(ⅰ)证明： 1 < 2 =1 2025；
(ⅱ)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在 3 项 ，
， ，(其中 , , 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的
概率都是 (0 < < 1)，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．
(1) = 12，若两人共进行 5 局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为 ，求 的分布列和数学期望；
(2) = 23时，若两人共进行 2 + 1( ∈
且 ≥ 2)局比赛，记事件 表示“在前 2 1 局比赛中甲赢了
( = 0,1,2, , 2 1)局”.事件 表示“甲最终获胜”.请写出 2 =0 ， 1 ， ，
2 1 = +1 的值(直接写出结果即可)；
(3) 1若两人共进行了 2 1 ∈ 局比赛，甲获胜的概率记为 .证明：2 < < 1 时， +2 +1 < +1
．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 4)2 + ( + 3)2 = 25
13.12/0.5
14.65
；70
15.解：(1) 2 21因为在 中，sin = 3 ，

由正弦定理sin = sin ，
= 2 21sin 3 ，
2 21
因为∠ = 60 ，所以 = 3 sin60° =
2 21 33 2 = 7；
(2) 5 3若选择条件①：sin = 14 ，
sin = 5 3因为在 中， 14 < sin60
，所以 < ，
所以由正弦定理得 < 60 ，
所以 cos = 1 sin2 = 1114，
故
sin = sin + = sin 60° + = sin60°cos + cos60°sin = 3 11 + 1 5 3 4 32 14 2 14 = 7 ，
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7 5 3 5 7
又由正弦定理得 = sin sin = 3 × 14 = 7 ，
2
所以三角形 的面积为：
= 1 sin = 1 × 7 × 5 7 4 3 10 32 2 7 × 7 = 7 ；
= 5若选择条件②： 8 ，
将 = 7， = 58 代入余弦定理
2 = 2 + 2 2 cos ，
7 = 2564
2 + 2 5 28 =
49 2
64 ，
8 7
解得： = 7 ，
5 8 5
进而得 = 8 × 7 7 = 7 7，
所以三角形 的面积为：
= 12 sin =
1 5 7
2 × 7 ×
8 7 3 10 3
7 × 2 = 7 ．
16.解：(1) ∵ ⊥平面 , , 平面 ,
∴ ⊥ , ⊥ ，
又∠ = ∠ = 90 , , , 两两互相垂直，
则以点 为坐标原点， , , 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ = = = 2 = 6
∴ (0,0,0), (0,0,6), (6,0,0), (3,6,0), (0,6,0)，
∴ = (0,0,6), = (3,6, 6), = (6,0, 6),
设平面 的一个法向量 = ( , , )
∴ = 0 3 + 6 6 = 0 + 2 2 = 0 即 = 0 6 6 = 0 = 0
令 = 1，可得 = 1, = 12，
∴ = 1, 12 , 1 ，
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记点 到平面 的距离为 ，
0×1+0×1+6×1
则 = =
2 = 4
，
1 212+ 2 +1
2
所以点 到平面 的距离为 4．
(2)由( 1 )可知平面 ,的一个法向量为 = = (0,0,6),
平面 的一个法向量为 = 1, 12 , 1 ，
设二面角 的平面角为 ，
由图可知 ∈ 0, π2 ，
0×1+0×1+6×1
cos = cos = 2 = =
2
3，
6× 12+ 1
2
+122
由图知，二面角 为锐二面角，
2 4
所以二面角 的余弦值为3，正弦值为 1 9 =
5
3 ，
∴ 5二面角 的正切值为 2 ．
17.解：(1)抛物线 : 2 = 2 关于 轴对称，而点 2(3, 6), 3(3, 6)关于 轴对称，
若点 2, 3之一在抛物线 上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，
因此点 1(2,2 2)必在抛物线 上，(2 2)2 = 2 2，解得 = 2，
所以抛物线 的方程为 2 = 4 ．
(2)由(1)知，抛物线 的焦点 (1,0)，显然直线 , 都不垂直坐标轴，
设直线 的方程为 = + 1 1，则直线 的方程为 = + 1，
= + 1
由 2 = 4 消去 得
2 4 4 = 0，设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
则 1 + 2 = 4 ，线段 的中点 (2 2 + 1,2 )，
2 +2
同理得线段 的中点 ( 2 2 2 + 1, )，当
2 ≠ 1 时，直线 斜率 =
2 2 2
=
2 1
，
2

直线 方程为 2 = 2 1 ( 2
2 1) ，整理得 = 2 1 ( 3)，直线 过定点(3,0)，
当 2 = 1 时， (3,2), (3, 2)或 (3, 2), (3,2)，直线 : = 3 过定点(3,0)，
所以直线 过定点．
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18.解：(1)函数 ( ) = 3 2 + 2 5，求导得 ′( ) = 3 2 2 + 2，
则 ′(1) = 3，而 (1) = 3，
= ( )在 = 1 处的切线 1方程为 ( 3) = 3( 1)，即 3 6 = 0．
令 = 0，得 = 2，则 (2) = 3, ′(2) = 10，
= ( )在 = 2 处的切线 2为 3 = 10( 2)
17
，令 = 0，得 = 2 = 10，
2 17所以 的 次近似值为10．
(2)( )因为 ( ) = 2 + + ( , ∈ )，则 ′( ) = 2 + ，
可得 = 2 + ′ + , = 2 + ，
过点 , 作曲线 = ( )的切线 +1: = ′ ，
2+ + 2
令 = 0，得 +1 = ′
=


2 +
= 2 ， +
2 2
则 = ln +1 = ln 2 + = ln 2 +1 +1 2 2 2
，
2 +
+ =
又因为 , 是函数 ( ) = 2 + + 的两个零点，则 = ,
且 < < ，则 > 0，
2
可得 = ln
2 2 2= ln 2 +
2
+1 2 2 2 2 + 2
= ln = 2ln = 2 ，
故数列 为等比数列；则 = 2025 2 1，
1
1 1
所以 =1 =
1 1 1 1 1 1 2 2 1 2
2025 20
+ 21 + 22 + + 2 1 = 2025 · 1 =1 2025
· 1 2 < 2025；
2
( )由( )知 = 2025 2 1, +1 = 2025 2 ，所以 +1 = + ( + 2 1) ，
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= +1 = 2025 2
1
所以 +1 +1 ．
假设数列 中存在 3 项 , , (其中 , , 成等差数列)成等比数列，
1 2 1 1 2
则 2 =
2 2 2 2 2 2
，所以 +1 = +1 +1，即 +1 = +1 +1，
22 2 +
即( +1)2 = ( +1)( +1)，
又因为 , , 成等差数列，
所以 2 = + ，
所以( + 1)2 = ( + 1)( + 1)，
化简得 2 + 2 = + + ，
所以 2 = ，
又 2 = + ，即 4 2 = 2 + 2 + 2
所以 2 + 2 2 = 0，
可得： = = 与已知矛盾．
所以在数列 中不存在 3 项 , , 成等比数列．
1 2 1 3 1 419.解：(1) 的可能取值为 1，3，5， ( = 1) = C2 55 × 2 × 2 × 2 = 8， ( = 3) = C
1 × 1 15 2 × 2 × 2 =
5 5
16， ( = 5) =
1
2 × 2 =
1
16，
的分布列为：

1 3 5
5 5 1
8 16 16
( ) = 1 × 58+ 3 ×
5 1 15
16 + 5 × 16 = 8；
(2)当 0 ≤ ≤ 2 时， < + 1 < + 2 ≤ < 2 +12 ，
故乙最终获胜，则 2 =0 = 0，
当 = 1 时， < + 1 = < 2 +12 ， + 2 = + 1 >
2 +1
2 ，
2 2 4
故只有最后两场甲全赢才能最终获胜，故 1 = 3 = 9，
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当 = 2 +1 2 +1时， = < 2 ， + 2 > + 1 = + 1 > 2 ，
= C1 × 2 1 2
2 8
最后两场甲至少赢一场才能最终获胜，故 2 3 × 3 + 3 = 9，
当 + 1 ≤ ≤ 2 1 + 2 > + 1 > ≥ + 1 > 2 +1时， 2 ，
故甲最终获胜，故 2 1 = +1 = 1；
(3)证明：结合(2)，由全概率公式得：
= C 1 +1 2 1 1(1 ) 2 + C 2 1 (1 ) 1 1 (1 )2 + C 2 1 (1 ) 1
= 1 1 + C2 1 (1 ) 2 C 2 1 (1 ) 1 (1 )2
= +1 + C2 1 (1 ) C 2 1 (1 ) +1 = + C 2 1 (1 ) (2 1)，
所以 +1 = C2 1 (1 ) (2 1)，
1
当2 < < 1 时， +1 > 0，
+1 +1
(2 +1)!
+2 +1 C2 +1 (1 ) +1(2 1) C
+1
2 +1 (1 )= ( +1)! !
(1 )
又 C +1 2 1 (1 ) (2 1)
= C = (2 1)!2 1 !( 1)!
= 4 +2
2
+1 (1 ) < 4 (1 ) ≤ 4
+(1 )
2 = 1，
因为 +1 > 0，所以 +2 +1 < +1 ，即 + +2 < 2 +1．
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