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福建省龙岩市第四中学 2026 届高三上学期第一次阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2 8 + 12 ≤ 0 ， = ∈ N 3 ≤ ≤ 7 ，则 ∩ =( )
A. [2,7] B. [3,6] C. 3,4,5,6 D. 2,3,4,5,6
2.若函数 ( )的定义域是区间[ , ]，则“ ( ) ( ) < 0”是“函数 ( )在区间( , )内存在零点”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3 + .设函数 = ( )在点 ′ 0 00处可导，且 0 = 2，则lim →0 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
4.若 , , ∈ R, > > 0，则下列不等式正确的是( )
A. 1 1 > B.
2 + 1 > 2 + 1
C. < 2 D. + < +
5.函数 ( ) = log 12 的零点所在区间为( )．
A. 0, 12 B.
1
2 , 1 C. (1,2) D. (2,3)
26.函数 ( ) = 12 2 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
(2 + 3) 2 + 2, < 1
7.已知函数 ( ) = 2 ，满足：对任意 , ∈ ≠
( ) ( )
1 2 ，当 1 2时，都有
1 2
> 0 + 3, ≥ 1 1 2
成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,2] B. ( 32 , 2] C. (
3
2 , 1] D. [ 1,2]
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8.已知定义在 上的偶函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，且在 ∈ [ 2,0]上为增函数， = 3 72 ， = 2 ，
= ( 3)，则下列不等式成立的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 = ( )，其导函数 = ′( )的图象如图所示，则关于 = ( )的论述错误的是( )
A.在( ∞,0)上为减函数 B.在 = 0 处取极小值
C.在(1,2)上为减函数 D.在 = 2 处取极大值
10.已知 > 0， > 0，且 + = 2，则( )
A. 2 + 2 > 2 2 B. 1 1 + ≥ 2
C. log2 + log2 ≤ 1 D. 2 + 2 ≥ 2
11.设函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = log2 .则下
列结论正确的是( )
A. (1) = 1 B. (8) = 1 C. 206 =1 ( ) = 1 D.
100
=1 ( ) = 50
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若正实数 、 满足log2 + log2 = 1，则 + 2 的最小值为 ．
13.设 = 0.52.5, = 12 log
2.1
25, = 2 ,则 , , 的大小关系为
14.设实数 > 0，若对 ∈ (0, + ∞)，不等式 e ln ≥ 0 恒成立，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
函数 ( ) = ln 2
(1)求 = ( )在点(1, (1))处的切线方程．
(2)求 ( )的单调区间．
16.(本小题 15 分)
已知幂函数 ( ) = 2 2 + 3 + 1 2 2( ∈ )为偶函数．
(1)求实数 的值，并写出 ( )的单调区间(不必证明)；
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(2)若 (2 1) > ( )，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 3 23 + 1．
(1)求函数 ( )在[ 2,2]上的最值；
(2)设 ( ) = ( ) 在[ 2,2]上有两个零点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = 1 3 +1．
(1)求函数 ( )的定义域，判断并证明 ( )的奇偶性；
(2)用单调性定义证明函数 ( )在其定义域上是增函数；
(3)解不等式 (3 + 1) + (2 3) < 0．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ( ∈ )．
(1)若 = 1，求 ( )的最小值；
(2)若函数 ( )恰有两个不同的零点 1, 2．
( )求 的取值范围；
( ) 1求证： 1 2 < e．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. > >
14. 1e , + ∞
15. 1 1 2 【详解】(1)因 ′( ) = 2 = ，
则 = ′切 (1) = 1，又 (1) = 2，即切点为(1, 2)，
故 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 + 2 = ( 1)，即 + + 1 = 0．
(2)因 ( ) = ln 2 1 2 的定义域为(0, + ∞)， ′( ) =
′( ) > 0 0 < < 1 ′( ) < 0 > 1令 得 2 ，令 得 2，
1 1
故得 ( )的单调递增区间是(0, 2 )，单调递减区间是( 2 , + ∞)．
16.【详解】(1)因为 ( ) = 2 2 + 3 + 1 2 2( ∈ )是幂函数，
故 2 2 + 3 + 1 = 1 3，解得 = 0 或 = 2；
当 = 0 时， ( ) = 2，定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，满足 ( ) = ( )，函数为偶函数，
3 7
当 = 2时， ( ) = 4，定义域为[0, + ∞)，函数非奇非偶函数，不符题意；
故 = 0， ( ) = 2，其单调增区间为( ∞,0)，单调减区间为(0, + ∞)．
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(2)由(1)知 ( ) = 2为偶函数，单调增区间为( ∞,0)，单调减区间为(0, + ∞)．
由于 (2 1) > ( )，故 0 < |2 1| < | |，
1 1 1 1
即 3 2 4 + 1 < 0 且 ≠ 2 , ≠ 0，解得3 < < 2或2 < < 1，
即 1 1 1的取值范围为 3 , 2 ∪ 2 , 1 ，
17.【详解】(1)函数 ( ) = 1 33
2 + 1，求导得 ′( ) = 2 2 = ( 2)，
当 ∈ ( 2,0)时， ′( ) > 0，当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0，
函数 ( )在[ 2,0]上的单调递增，在[0,2]上的单调递减，
( ) 8 17 8 1则 max = (0) = 1，而 ( 2) = 3 4+ 1 = 3， (2) = 3 4 + 1 = 3，
所以 ( )min = ( 2) =
17
3．
(2)函数 ( ) = ( ) 在[ 2,2]上有两个零点，即方程 ( ) = 在[ 2,2]上有两个不等根，
亦即直线 = 与函数 ( )在[ 2,2] 1上的图象有两个交点，由(2)知 3 ≤ < 1，
1
所以 的取值范围是[ 3 , 1)．

18.【详解】(1)因为3 > 0，3 + 1 ≠ 0，函数 ( )的定义域为 ， ( ) = 1 2 3 +1 2 3 13 +1 = 3 +1 = 3 +1，

所以 ( ) = 3 1 1 33 +1 = 1+3 = ( )．
所以 ( )是定义在 上的奇函数．
(2)任取 1, 2 ∈ ，且 1 < 2，
1 2 1 2
则 1 2 = 1
2
3 1+1 1
2
3 2+1 =
2 23 2+1 3 1+1 =
2 3 +1 2 3 +1 2 3 3
3 1+1 3 2+1 = 3 1+1 3 2+1 ，
因为 1 < 2，所以3 1 3 2 < 0，又3 1 + 1 > 0, 3 2 + 1 > 0，
所以 1 2 < 0，即 1 < 2 ，所以函数 ( )在其定义域上是增函数．
(3)由 (3 + 1) + (2 3) < 0，得 (3 + 1) < (2 3)，
因为函数 ( )为奇函数，所以 (2 3) = (3 2 )，
所以 (3 + 1) < (3 2 )．
由(2)已证得函数 ( )在 上是增函数，
所以 (3 + 1) < (3 2 ) 3 + 1 < 3 2 ，
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< 2所以 5．
所以不等式 (3 + 1) + (2 3) < 0 的解集为 < 25 ．
19.【详解】(1) = 1， ( ) = ln + 1 ( > 0)，
′( ) = 1 + ln 1 2，
1
又因为 = ln , = 2在(0, + ∞)单调递增，且
′(1) = 1 + ln1 1 = 0，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
即 ( )min = (1) = 1，
故 ( )的最小值为 1．
(2)( ) ( ) = ln = 0，则 = 2 ln ( > 0)，
令 ln = ∈ R ，即 = e2 ∈ R ，
令 ( ) = e2 ∈ R ， ′( ) = e2 + 2 e2 = (1 + 2 )e2 = 0 = 12，
1
所以当 < ′2时， ( ) < 0， ( )单调递减，
1
当 > ′2时， ( ) > 0， ( )单调递增，
则 ( )min =
1
2 =
1
2e，又 < 0 时， ( ) < 0， > 0 时， ( ) > 0，
所以 ( )的函数图像如下：
又 = ln 单调递增，函数 ( )恰有两个不同的零点，
所以 = e2 恰有两个不同的解，
则 1的取值范围为 2e , 0 ．
( )证明：由( )设 = e2 恰有两个不同的解为 1, 2，
则 = e2 1 1 = 2 2e 2，即 1 = 2 ，不妨取 1 = ln 1, 2 = ln
1
2， 1 < 2 < 2 < 0，
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令 ( ) = ( ) ( 1 ) = e2 ( 1 )e 2 2 , ∈ 12 , 0 ，
4 +2
′( ) = ′( ) ′( 1 ) = (1 + 2 )e2 (1 + 2 )e 2 2 = (1 + 2 ) e 1e2+2 ，
4 +2
∵ ∈ 1 4 +2 ′ e 12 , 0 , ∴ 1 + 2 > 0,4 + 2 > 0, e > 1，即 ( ) = (1 + 2 ) e2+2 > 0，
所以 ( ) 1 1在 2 , 0 单调递增，即 ( ) > 2 =
1 1
2 2 = 0，
故 2 1 2 > 0，又 1 = 2 ，
所以 1 = 2 > 1 2 ，
又 2, 1 2 ∈ ∞,
1
2 ， ( )在 ∞,
1
2 单调递减，
所以 1 < 1 2 1 + 2 < 1，即 ln 1 + ln 2 = ln 1 2 < 1，
1
所以 1 2 < e．
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