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福建省莆田市莆田第一中学 2026 届高三上学期月考(二)
数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.命题：“ > 0，e > 1”的否定是( )
A. > 0，e ≤ 1 B. ≤ 0，e ≤ 1 C. > 0，e ≤ 1 D. ≤ 0，e ≤ 1
2.已知集合 = ∣ = sin , = ∣0 ≤ ≤ 2π ，则 ∩ =( )
A. B. [ 1,1] C. [0,1] D. [1,2]
3 = 2 2 sin π , π.函数 在区间 2 2 上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，一船向正北方向航行，当航行到 点时，看见正西方向有两个相距 10 海里的灯塔 和 恰好与
船在一条直线上，继续航行 1 小时到达 点后，看见灯塔 在船的南偏西60 方向上，灯塔 在船的南偏西75
方向上，则这艘船的速度是( )
A. 5 海里/时 B. 5 3海里/时 C. 10 海里/时 D. 10 3海里/时
5.若函数 ( ) = 在(1, + ∞)上存在最值，则实数 的取值范围为
A. ( , + ∞) B. ( ∞, ] C. (2 , + ∞) D. ( ∞, 2 ]
6 3.已知 sin( + ) = 5，tan = 2tan ，则 sin( ) =( )
A. 15 B.
1 2 3
5 C. 5 D. 5
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7.已知函数 ( ) = cos( + ) > 0,0 ≤ ≤ π 是奇函数， = π4是 = ( )图象的一条对称轴，且 ( )
π
在区间 0, 12 上单调，则 的可能取值有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 6 个 D.无数个
8 1 1 .定义在 上的函数 ( )的图象关于点 2 , 2 对称，且有 ( ) = 2 3 ，当 0 ≤ 1 < 2 ≤ 1 时，恒有 1 ≤
12 ，则 675 =( )
A. 1 B. 1128 64 C.
1 1
32 D. 16
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.设 1, 2为复数，则下列说法一定正确的是( )
A. 1 + 1 ∈ B. 21 = 21
C. 1 + 2 =

1 + 2 D.若 1, 2均为纯虚数，则 1 为实数2
10.设函数 ( ) = ( 1)2( 4)，则( )
A. = 1 是 ( )的极小值点
B. (2 + ) + (2 ) = 4
C.不等式 4 < (2 1) < 0 的解集为 |1 < < 2
D.当 0 < < π2时， sin > sin
2
11.在 中，已知 4cos + 3sin + 4sin( ) = 9, = 6，则( )
A. > B. >
C. = 2 D. 的面积为 12
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12 9 1.若 > 0, > 0，且 + = 1，则 + 的最小值为 ．
13.写出与曲线 = e 1 和 = ln + 1 都相切直线的方程： ， . (写出两条直线的方程)
14.关于 的方程e + = 2( > 0 且 ≠ 1)有唯一实数解，其中 e 为自然对数的底数，则实数 的取值范围
是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.江苏城市足球联赛(俗称“苏超”)火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观
1
看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖 3 次，每次抽中纪念品的概率均为2 .若前 2 次未抽中纪
念品，则第 3 次无论抽中与否均获得纪念品．
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(1)求某球迷恰好获得 1 个纪念品的概率；
(2)记 为某球迷获得第 1 个纪念品时的抽奖次数，求 的数学期望 ( )．
16.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + ( + 2 )cos = 0．
(1)求 ；
(2)若点 在边 上， = 2 ， = 2， = 2 ，求 的面积．
17.已知函数 ( ) = ln 1( ∈ )．
(1)讨论 ( )在区间(1, + ∞)内极值点的个数；
(2)若 ( )在区间(1, + ∞)内有零点 ，求证： < 2．
18.在平面四边形 中， ⊥ ，∠ = 4∠ = 120 ， = 2， 的面积为 3 3，将
沿 翻折至 ，其中 为动点．
(1)证明：三棱锥 外接球的体积为定值；
(2) 2 6当点 到平面 的距离为 3 ，求直线 与直线 所成角的余弦值．
19 π.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < 2 )，满足 (
π
4 ) = (
π
2 ) = (
3π π 3π
4 )且 ( )在区间( 2 , 4 )上无极
值点．
(1)求 ( )的单调递减区间；
(2)当 1, 2 ∈ [ , +
π
4 ]( ∈ )时，设| ( 1) ( 2)|的最大值为 ( )，求 ( )的值域；
(3) π把曲线 = ( )向左平移8个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变.得到曲线
= ( ).设函数 ( ) = ( ) ( )( ∈ )，将 ( ) π在区间( 2 , + ∞)上的极值点按从小到大的顺序排列成
数列{ }.若 ( 1) + ( 2) = 0，求实数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.16
13. = ； = e 1
14. > 1 1或 = e
15.解：(1) 1 1设每次抽中纪念品为事件 ，未抽中为事件 ，且 ( ) = 2， = 2．
记 为“恰好获得 1 个纪念品”，则有以下可能情况：
1 1 1 1
第 1 次中，第 2 次未中，第 3 次未中： 1 = ( ) = 2 × 2 × 2 = 8；
第 1 次未中，第 2 次中，第 3 次未中： 2 = ( ) =
1
2 ×
1 1 1
2 × 2 = 8；
1 1 1
第 1、2 两次均未中，则第 3 次必得： 3 = = 2 × 2 = 4；
所以 ( ) = 1 +
1 1 1 1
2 + 3 = 8 + 8 + 4 = 2．
(2)记 为某球迷获得第 1 个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为 1，2，3．
( = 1) = ( ) = 12；
( = 2) = ( ) = 1 × 12 2 =
1
4；
( = 3) = = 1 1 12 × 2 = 4．
分布列
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1 2 3
1 1 1
2 4 4
( ) = 1 × 12 + 2 ×
1
4 + 3 ×
1 7
4 = 4．
16.解：(1)由正弦定理边化角可得，sin cos + sin + 2sin cos = 0，
整理可得，sin( + ) + 2sin cos = 0．
因为 sin( + ) = sin π = sin ，sin ≠ 0，
所以有 2cos + 1 = 0，
1
所以 cos = 2．
0 < < π = 2π因为 ，所以 3 ．
(2)
设 = ，则 = 2 ，
2 2 2 2 2
在 + 4+4 中，有 cos∠ = 2 × = 8 ．
2 2 2 2 2
在 cos∠ = + 4+ 中，有 2 × = 4 ．
又∠ + ∠ = π，所以 cos∠ = cos∠ ，
所以有 2 = 6 2 2 2 + 12．
又 = 2 ，所以 2 = 2 + 2．
在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ．
又 = 3 ， = 2 = 2π， 3，
1
所以有 9 2 = 2 + 4 2 4 2 × 2 = 7
2．
2 2
联立 = + 2，解得 = 72 2 ，所以 = 2 = 6，9 = 7 = 3
1 1 3 9 3所以， = 2 sin = 2 × 3 × 6 × 2 = 2 ．
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17.解：(1)由 ( ) = ln 1， ∈ (1, + ∞)，
′( ) = 1 = 则 ，
若 ≤ 1，当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0 恒成立，
则函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，无极值点；
若 > 1，当 ∈ (1, )时， ′( ) < 0，函数 ( )在(1, )上单调递减，
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
因此 = 为 ( )的极小值点，且 ( )无极大值点．
综上所述，当 ≤ 1 时， ( )在(1, + ∞)内的极值点个数为 0；
当 > 1 时， ( )在(1, + ∞)内的极值点个数为 1．
(2)由(1)知当 ≤ 1 时，函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
因此 ( ) > (1) = 0，函数 ( )在(1, + ∞)内无零点；
当 > 1 时， ( )的单调递减区间为(1, )，单调递增区间为( , + ∞)，
则 ( ) < (1) = 0，
若 ( )在区间(1, + ∞)内有零点 ，则 ∈ ( , + ∞)，
而 ( 2) = 2 2 ln 1，设 ( ) = 2 2 ln 1 ( > 1)，
则 ′( ) = 2 2(1 + ln ) = 2( 1 ln )，
设 ( ) = 2( 1 ln ) ( > 1)，
则 ′( ) = 2 1 1 =
2( 1)
> 0，
所以函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
于是 ( ) > (1) = 0，即 ′( ) > 0，
则函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0，即 ( 2) > 0，又 ( ) = 0，所以 < 2．
18.解：(1)由题，∠ = ∠ ∠ = 30 ，则∠ = ∠ ∠ = 60 ，
在 内，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，解得 = 2 3，
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又 1 = 2 sin∠ ，解得 = 2 3，
故 为正三角形，∠ = 60 ，∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
解三角形知 = 2， = = 2 3， = = 2，
取 中点 ，由于 和 是以 为斜边的直角三角形，
故 = = = ，即翻折后在三棱锥 中， = = = ，
根据外接球定义：外接球的球心到多面体各个顶点的距离相等，
所以点 即为三棱锥 外接球球心，
所以外接球半径 = = = = = 2 4 32，体积 = 33π = 3 π为定值．
(2)显然点 在面 上的投影不在直线 上，
( )当 向上翻折
设点 在面 上的投影为点 ，则 = 2 63 ，
且 ⊥面 ，又 ， ， 面 ，则 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
所以 = 2 2 = 2 3， = 23
2 = 2 33 ，
2 2 2
则 cos∠ = + 12 = 2，
又∠ ∈ 0, 180 ，所以∠ = 120 ，
则∠ = ∠ = 30 ，所以∠ = ∠ ∠ = 30 ，
同理可知∠ = 30 ，
2 2 2
所以 cos∠ = + 3 2 32 = 2 ，解得 = 3 ，
因为 = ， = ，∠ = ∠ ，
所以 △ ，故 = = 2．
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所以四面体 为正四面体，点 在平面 的投影 位于正 的中心．
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 轴平行于直线 建立空间直角坐标系，如图，
则 2 3, 0,0 3 3， 2 , 2 , 0 ，
3
3 , 1,
2 6
3 ，
所以 = 5 33 , 1,
2 6
3 ， = (0,2,0)，

故 cos 1 = cos , = =
3
；
6
( )当 向下翻折，设此时点 翻折至 ′，
则平面 ′所在平面与( )中平面所在平面相同，
且点 与点 ′关于直线 对称，
连接 ′， ′与 的交点 为线段 ′中点，
′所以 = 2 = 4 33 , 2,
2 6
3 ，
′
cos = cos ′
3
故 2 , = = ，
′ 3
3 3
综上所述，直线 与直线 所成角的余弦值为 6 或 3 ．
19. 3π 5π解：(1)依题设，直线 = 8是函数 ( )图象的一条对称轴，点( 8 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心，
5π 3π π
则函数 ( )的最小正周期 满足(2 1 + 1) = 4( 8 8 ) = π, 1 ∈ N，解得 = 2 +1 , 1 ∈ N，
π 3π π 3π π π
由函数 ( )在( 2 , 4 )上无极值点，得函数在( 2 , 4 )上单调，则2 ≥ 4，即 ≥ 2，
π π 2π
于是2 ≥1+1 2
, 1 ∈ N，解得 1 = 0， = π，从而 = = 2，
2 3π由 8 + =
π+ π, ∈ Z = π2 2 2 ，得 4 + 2π, 2 ∈
π π
，又| | < 2， = 4，
函数 ( ) = sin(2 π ) π+ 2 π ≤ 2 π ≤ 3π4 ，由2 4 2 + 2 π, ∈ Z
3π
，得 8 + π ≤ ≤
7π
8 + π, ∈ Z，
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3π
所以函数 ( )的单调递减区间为[ 8 + π,
7π
8 + π]( ∈ )．
(2)依题意，函数 ( )的值域是函数 ( )在[ , + π4 ]上最大值与最小值之差的取值范围，
若函数 ( )图象的对称轴在[ , + π 3π π4 ]内，不妨设对称轴 = 8在[ , + 4 ]内，
则 ( )max = 1，当 ( +
π ) = ( ) ( π π 2 24 ，即 4 ) = ( 2 ) = 2 时， ( )min = 1 2 ；
π π
若函数 ( )图象的对称轴不在[ , + 4 ]内，则函数 ( )在[ , + 4 ]上单调，
则 ( ) = | ( + π4 ) ( )| = |sin(2 +
π
2
π π
4 ) sin(2 4 )|
= |sin(2 + π π4 ) sin(2 4 )| = |2cos2 sin
π
4 | = | 2cos2 | ≤ 2，
π 2
因此函数 ( )在[ , + 4 ]上最大值与最小值之差的取值范围为[1 2 , 2]，
所以函数 ( ) 2的值域为[1 2 , 2]．
(3) (1) ( ) = ( 1 + π ) = sin[2( 1 + π由 得 2 8 2 8 )
π
4 ] = sin ，则 ( ) = ( )sin ，
π当 2 < <
π
2时，
′( ) = sin + ( )cos = cos (tan + )，
π π
由函数 = tan + 在( 2 , 2 )上递增，且值域为
π π
，得存在唯一 0 ∈ ( 2 , 2 )，使得 tan 0 + 0 = ，
π
又 cos > 0，则当 2 < < 0时，
′( ) < 0 π；当 ′0 < < 2时， ( ) > 0，
函数 ( )在( π2 , 0)
π
上单调递减，在( 0, 2 )上单调递增，则 1 = 0；
π 3π π 3π
由函数 = tan + 在( 2 , 2 )上递增，且值域为 ，得存在唯一
′ ′ ′
0 ∈ ( 2 , 2 )，使得 tan 0 + 0 = ，
又 cos < 0 π，则当 < < ′ ′2 0时， ( ) > 0
′ < < 3π；当 0 2时，
′( ) < 0
( ) ( π , ′ ) ( ′ , 3π函数 在 2 0 上单调递增，在
′
0 2 )上单调递减，则 2 = 0，
2
由 ′( 1) = 0，得 1 + tan 1 = ，则 ( 1) = ( 1 )sin 1 = tan 1sin
sin 1
1 = cos = cos
1
1
1 cos
，
1
( ) = cos 1 ( ) + ( ) = 0 (cos + cos )(1 1同理 2 2 cos ，由 1 2 ，得 1 2 cos cos ) = 0，2 1 2
而 cos 1cos 2 < 0，因此 cos 1 = cos 2 = cos( 2 π)，
由 π2 <
π 3π π
1 < 2 < 2 < 2，得 2 < 2 π <
π
2，则 1 = 2 π或 1 = π 2，
当 1 = 2 π时， = 1 + tan 1 = 2 π + tan( 2 π) = 2 π + tan 2 ≠ 2 + tan 2，不符合题意，
当 1 = π 2时， = 1 + tan 1 = π 2 + tan(π 2) = π 2 tan 2 = 2 + tan 2，解得 2 + tan
π
2 = 2，
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π
所以 = 2．
第 10页，共 10页

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