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福建省恒一教育集团 2026 届高三上学期联合检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = ∈ 2 < 4 ， = ∈ 1 < < 2 ，则 ∪ 等于( )
A. 1 < < 2 B. < 2 C. 0,1 D. 1
2.设复数 满足 1 3 = ( 为虚数单位)，则 =( )
A. 10 510 B. 5 C. 5 D. 10
3 sin + tan .已知sin = 3，则tan =( )
A. 1 13 B. 2 C. 2 D. 3
4.下列函数的解析式(其中 = 2.71828…为自然对数的底数)与所给图像最契合的是( )
1
A. = B. = +
2
3
C. = + D. = 2+1
5.扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇
王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构
成，扇子对应的扇环外环的弧长为 48 ，内环的弧长为 16 ，油布径长(外环半径与内环半径之差)为 24 ，
则该扇子的油布面积大约为(油布与扇子骨架皱折部分忽略不计)
A. 1024 2 B. 768 2 C. 640 2 D. 512 2
6.已知函数 = ( )的图象与函数 = 2 的图象关于直线 = 对称， ( )为奇函数，且当 > 0 时， ( ) =
( ) ，则 ( 8) =( )
A. 5 B. 6 C. 5 D. 6
7.若 sin tan80 3 = sin80 ， 为锐角，则 sin + 30 =( )
A. 5+ 3 B. 15+ 3 C. 15+1 D. 3 5+18 8 8 8
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8.已知数列 中， 1 = 1，且
1
+1 = 3 ，若存在正整数 ，使得 +1 < 0 成立，则
实数 的取值范围为( )
A. 3 < < 1 B. 2 < < 1 C. 34 3 4 < <
7
9 D.
2
3 < < 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数 ， 满足 + = 2，则( )
A. ≤ 1 B. 2 + 2 ≤ 2 C. + 2 2 ≥ 2 D.
1
4 < 2
< 4
10.设函数 = ( 1)2 4 ，则( )
A. = 1 是 的极小值点
B. 2 + + 2 = 4
C.不等式 4 < 2 1 < 0 的解集为 |1 < < 2
D.当 0 < < 2时， sin >
2
2 2
11 .已知椭圆 : 8 + 2 = 1(0 < < 2 2)
6
的离心率为 3 ，将 绕其中心分别逆时针、顺时针各旋转 45
，得
到椭圆 1, 2，设 1, 2围成的公共区域的边界为曲线 ，则( )
A. 有四条对称轴 B. 上任意两点间距离的最大值为 4 2
C. 8 的周长 > 8 2 D. 围成图形的面积 > 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 cos + = 26 3 ，则 sin 2 +
5
6 = ．
13.已知曲线 = + ln 在点 1,1 处的切线与曲线 = 2 2 也相切，则 = ．
14.已知函数 = 2 + 2 有两个极值点 1, 2，若 2 = 2 1，则实数 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 的内角 , , 的对边分别是 , , ，且 tan = tan 1，cos = 4， = 3．
(1)求 cos 的值；
(2)求 的面积．
16.(本小题 15 分)
在三棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ， = = 2， 是 的中点，且平面 ⊥平面 ．
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(1)证明： ⊥平面 ；
(2) 6已知平面 经过直线 ，且 // ，直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ，求三棱锥 的体积．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 2 1 ．
(1)求曲线 = 在点 0, 1 处的切线方程；
(2)若 在 = 2 处取得极大值，求 的取值范围；
(3)求证：当 ≥ 1 时， ≥ ．
18.(本小题 17 分)
已知抛物线 : 2 = 2 > 0 ，过点 , 0 > 0 作斜率为 的直线 交 于 ， 两点．
(1)当 = 12时，
( ) 若点 在 的准线上，且满足 ⊥ , = 4 ，求 的值；
( )若点 ， 在 轴上，且满足 ⊥ , ⊥ ，求 取得最小值时 的值．
(2)若存在 > 0 1 1，使得 2 + 2 = 对任意实数 成立，求 的值．
19.(本小题 17 分)
若二元代数式 , 满足 , = , ，则称代数式 , 为二元轮换式，记2 =1 = + ；若三元代数
式 , , 满足 , , = , , ，则称代数式 , , 为三元轮换式，记3 =1 = + + ，
3
=1
2 =
2 + 2 + 2．
(1) 2 若正实数 ， 满足 > ，且2 = 2 2 =1 =1 ，求 +1的最大值；
(2) , = ln 若代数式 ≠ 为二元轮换式，比较 与
2的大小；
(3)若对任意的正实数 ， ， 均有3 3 3 2 =1 =1 ≥
3
=1
2 3 2 =1 ，求整数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 59
13. 3
14. 1ln2
15. sin sin 【详解】(1)因为 tan = tan ，则 cos = cos ，
由正弦定理可得 cos = cos ，又 , ∈ 0, ，
故可得 = ；
又因为 cos = cos + = cos2 = 1 2 2 ，
代值可得 2 = 38，解得 cos =±
6
4 ．
又 = ，由内角和定理可知 ∈ 0, 2 ，
故 cos = 64 ．
(2) 1因为 cos = 4，故可得 sin =
15
4 ；
cos = 6 104 ，故可得 sin = 4 ．
= sin 由正弦定理可得 sin = 6 = ，
故可得三角形 面积 = 12 sin =
1
2 × 6 ×
15 3 15
4 = 4 ．
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16.【详解】(1)因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = , 平面 , ⊥ ，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，所以 ⊥ ．
又 ⊥ , , 平面 , ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)记 的中点为 ，连接 , ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 , 分别是 , 的中点，所以 // ，又 ⊥ ，所以 ⊥ ．
以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设 = 2 ，则 2, 0,0 , 2, 2 , 0 , 2, 0,0 , 0,0, 2 , 0, , 0 ，
所以 = 0, , 2 , = 2, 0, 2 , = 2 2, 2 , 0 ．
由题知 // , ，设平面 的法向量为 = , , ，
= 0, 2 + 2 = 0,
则 即 令 = ，则 = 2, = ，则 = , 2, ． = 0, 2 2 + 2 = 0,
2 2 6
则 cos , =

= = 3 ． 2+2× 2 2+2
化简可得 4 3 2 + 2 = 0 ，解得 = 1 或 = 2，
1
三棱锥 的体积 = 3
4 4 4
= 3 ，所以体积为3 或3 2．
17.【详解】(1)解：因为 = 2 1 ，
则 ′ = 2 1 + 2 1 = 2 + 2 1 2 ，
所以， ′ 0 = 2，
又因为 0 = 1，所以，曲线 = 在点 0, 1 处的切线方程为 = 2 1，即 2 + + 1 = 0．
(2)解：因为 ′ = 2 + 2 1 2 = 1 + 2 ，
因为 在 = 2 处取得极大值，
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①当 = 0 时， ′ = + 2 ，当 < 2 时， ′ > 0，此时函数 单调递增，
当 > 2 时， ′ < 0，此时函数 单调递减，则函数 在 = 2 处取得极大值，合乎题意；
②当 > 0 1时， > 2，当 < 2 时， ′ > 0，此时函数 单调递增，
当 2 < < 1 时， ′ < 0，此时函数 单调递减，
则函数 在 = 2 处取得极大值，合乎题意；
1 = 2 1 1③当 时，即当 = 2时， ′ =
2
2 + 2 ≤ 0 且 ′ 不恒为零，
所以，函数 在 上单调递减，即函数 无极值点，不合乎题意；
1
④当 2 < < 0
1 1
时， < 2，当 < < 2 时， ′ > 0，此时函数 单调递增，
当 > 2 时， ′ < 0，此时函数 单调递减，
所以，函数 在 = 2 处取得极大值，合乎题意；
⑤当 < 1 12时， > 2，当 < 2 时， ′ < 0，此时函数 单调递减，
1
当 2 < < 时， ′ > 0，此时函数 单调递增，
所以，函数 在 = 2 处取得极小值，不合乎题意．
综上所述， > 12．
(3)证明：当 ≥ 1 时，由 = 2 1 < 0 1 1+4 ，可得 2 < <
1+ 1+4
2 ，
≥ 1 1 1+4 + 2 = 1+4 1+4 = 1+4 1+4 1因为 ，则 2 2 2 > 0，
1 1+4
所以， 2 > 2，
1 1+4
所以，只需证当 2 < <
1+ 1+4
2 时， ≥ ，
1 1+4 1
当 2 < < 时， ′ < 0，此时函数 单调递减，
1 < < 1+ 1+4 当 2 时， ′ > 0，此时函数 单调递增，
1 1+4 1
所以，当 2 < <
1+ 1+4
2 时， ≥
1

= ≥ ，
因此，当 ≥ 1 时，对任意的 ∈ ， ≥ ．
18.【详解】(1)(ⅰ)由题意知直线 的方程为 = ≠ 0 ，设 1, 1 , 2, 2 ，
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=
联立得 ，消去 得 2 2 2 2 + 1 + 2 2 2 = 2
2 = 0，
2
所以 1 + 2 =
2 +1
2 , 1 2 =
2 2．
1 2 2
当 = 2时， 1 + 2 =
+2 , 2 1 2 = 4，
= 2 = 2
2
+ + = 21 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 4 ，
1
易得 的准线方程为 = 2，直线 的方程为 = 2 ，
所以 2 , ．
因为 21 = 2 1, 22 = 2 2，所以 =
1 2 1 2 1+ 2 2
= = ，1 2 1 2 1+ 2 1+ 2
= 1+ 所以 2 2
2


1 2
1
4 1
2 2 1+2 2+ 2
所以 = + + =
2
2 = = 1，
1 2 2 2
2
1 2+2 1+2 2+ 4 2 1+2 2+ 2
所以 ⊥ ．
在 中，易得 2 = , 2 = ，
2
所以 2 = = 4，所以 = 2．
1
法二、当 = 2时，点 2 , 0 为 的焦点，
过点 ， 分别作 的准线的垂线，垂足分别为 ′, ′，则 = ′ , = ′ ，(抛物线的定义)
易得 ≌ ′ , ≌ ′ ，
易得∠ = 2，即 ⊥ ，
在 中，易得 2 = , 2 = ，
2
所以 2 = = 4，所以 = 2．
2
( )由(ⅰ)解法一可得 = 1 + 2 + =
2 +1
2 ，
设直线 的倾斜角为 ，
2 2 2 2
则 = + cos = cos = 1 +
2 = 1 + 2 = 2 1+ 1+ 2 ．
3
令 = 1 + 2，则 2 = 2 1，且 > 1, = 2 2 1，
2 3 2 2 + 3 3
设 = 2 1 > 1 ，则 ′ = 2 2 ， 1
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当 > 3时， ′ > 0, 单调递增，
当 1 < < 3时， ′ < 0, 单调递减，
故当 = 3时， 取得最小值，即 取得最小值，
此时 2 = 2 1 = 2，得 =± 2．
(2) (1)( ) + = 2
2+1
由 ⅰ 解法一可知 , = 2 21 2 2 1 2 ，
由题可得 2 = 1 2 + 1
2 1 1
1 0 = 2 1 + 2 1，同理
2 = 2 1 + 2 2，
1 2+ 1 = 1 + 1
2 1+ 所以 2 2 2 2 2+1 =1 2 2 2+1
，1 2
1 1 2 2 2+1 2+1
所以 2 + 2 = 2 2+1 2 2 = 2 2 2+1 ，
由题意可得对任意的实数 , 2 2 2 + 2 2 1 = 0 恒成立，
2 2 = 0 = 1
所以 2 2 = 1，故 的值为 1． 1 = 0 2
2
19. +
2
【详解】(1)正实数 , 满足2 = 2 2 2 2 =1 =1 ，可得 + = + ，即 + = 1，
2 2 2 + 1 1 2 9
所以 +1 = 2 2 = 2 = + ， + + 2 2 2 8 +
又 > > 0 0 < < 1 = 1 6 3 2 9，所以 ，所以当 2即 = 5 , = 5时， +1取得最大值为8．
(2) ln = ln ln 依题意可得 ，即 = ln ，
ln ln
由对称性不妨假设 > > 0，令 = > 1，则有 ln = 1 , ln = 1 ，
则有 ln + ln = 1+ ln 1 ，
2
设 = ln 2 1 +1 , > 1, =
1 4 ( 1)
′ ( +1)2 = ( +1)2 > 0
所以 在 1, + ∞ 单调递增，则有 > 1 = 0，
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ln > 2 1 +1 ln 所以 +1 ，即 1 < 2，即 ln + ln < 2，即 <
2，
综上， < 2．
(3)已知对任意的正实数 , , ，均有3 = 1 3 3 = 1 2 (3 = 1 2 3 = 1 2 )，
不妨设 是 , , 中的最小值，则令 = + , = + ，其中 ≥ 0, ≥ 0．
将 = + , = + 代入不等式并化简可得 2 2 + 2 + 3 + 3 2 ≥ ．
若 = 0 或 = 0，则不等式对任意实数 均成立．
2 2
因为 2 + 2 = + 3 > 0, > 0，所以要使不等式成立，即 3 + 32 4
2 ≥ ．
若 = ，则不等式对任意实数 均成立．
若 ≠ ，设 = ( > 0, ≠ 1)．
3
> 1
2+1
当 时，不等式 3 + 3 2 ≥ 可整理为 1 ≥ ．
3 =
2+1
设 1 ( > 1)
1
，对其进行变形可得 = + 1 ．
2
对 求导， ′ = 1 2 1 2 3 3 +1[ 1 ]2，令 = ′ ， ′ = [ 1 ]3 ，
2
因为 3 2 3 + 1 = 3 1 + 12 4 > 0，所 ′ > 0，即 ′ 在 1, + ∞ 上单调递增．
2 1
令′ = 0，即 1 4 3 2[ 1 ]2 = 0，化简可得 2 + 2 + 1 = 0，
令 = + 1 ，则
2 2 1 = 0，解得 = 1 + 2(1 2 1舍去)，即 + = 1 + 2．
3 1
则存在 0 ∈ 2 , 2 ，且 0 + = 1 + 2，所以 在 1, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增．0
所以 ( )min = 0 = 0 +
1 3 3
1 ，因为 0 ∈ 2 , 2 ，所以4 < 0 0 1 < 2
1 1
，则 > ，所以 0 =0 0 0 0 1 2
+ 10 0 0 1
> 2．
1
又因为 0 + = 1 + 2，所以
2
0 0 = 2 0 1
1 1
，则 0 = 0 + = 0 + ，
0 0 0 1 2 0 1
3
因为 0 ∈ 2 , 2 ，所以 2 0 1 > 1,
1 1
2 0 1
< 1，所以 0 = 0 + 2 1 < 3，所以 2 < 0 < 3，所以 ≤0
2．
3 2
当 0 < < 1 时，不等式 3 + 3 2 ≥ +1可整理为 ≥ 1 ，
3 2+1
此时 1 < 0，所以 = 2 时，不等式恒成立．
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