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福建省恒一教育集团 2026届高三上学期联考数学试题（A1）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = + 1 2 ≤ 0 ， = ≤ 1 ，则 ∩ =( )
A. 1,1 B. 1,1 C. ∞,2 D. 2, + ∞
2.已知 为虚数单位，复数 满足 1 + = 2 ，则 =( )
A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1
3.已知 是公差为 2 的等差数列，且 3 = 3，则 6 =( )
A. 3 B. 9 C. 18 D. 24
4.已知曲线 : 2 + 2 = 1 ≠ 0 ，则命题“ < ”是命题“曲线的焦点在 轴”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5 2 , ≤ 0.已知函数 = 2 , > 0，则 (1) + (2) + (3) + + (2023) =( )
A. 3031 30332 B. 1516 C. 2 D. 1517
6.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 2、 3、 5、 的图形．图中四边形 的对角线相
交于点 ，若 = ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 62 D. 3
7.在三棱锥 中， = = 2 2 ，∠ = 3，侧棱长都等于 2 5，其中 , , , 在球 的表面上，则
球 的表面积为( )
A. 12 B. 15 C. 20 D. 25
8.已知函数 = sin 2 2 1 + 1 + 2, ∈ .若 2 2 + 1 < 4，则实数 的取值范围为
( )
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A. 12 , 1 B. ∞,
1
2 ∪ 1, + ∞
C. 1, 1 12 D. ∞, 1 ∪ 2 , + ∞
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 1 2 3 4 5 6 9数据 ， ， ， ， ， 的上四分位数为2
B.若随机变量 , , = 80, = 30，则 = 128
C.若随机变量 服从正态分布 5, 2 ， ≥ 3 = 4 ≥ 7 3，则 3 < < 7 = 5
D.已知 ， 之间存在关系式 = ，设 = ln ，若 ， 之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归
方程为 = 0.1 0.3，则 = 0.3
10.已知函数 = 2sin 3 > 0 的部分图象如图所示，且

的面积为2，则( )
A. = 2 B.函数 + 6 为奇函数
C. , 5 在 2 6 上单调递增 D.直线 = 12为 图象的一条对称轴
11.数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 : 2 + 2 = 1 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ，
两点，点 是 上一个动点，则( )
A.点 1,2 在 上
B. 面积的最大值为 1
C.曲线 恰好经过 4 个整点(即横，纵坐标均为整数的点)
D. + ≤ 2 3
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。

12.若二项式 2 13 的展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值是 ．
13.写出与圆( 1)2 + ( 2)2 = 1和圆( 2)22 + ( 1)
2 = 12都相切的一条直线方程 ．
14.设函数 ( ) = + ( + 1) , ( > 0, ≠ 0)，设 2 + 2的最小值为 ，若 ( )至少有一个零点 0，且命
题 0 ∈ (0, + ∞), ≤ 1 成立，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 ⊥平面 ， 为棱 的中点， ⊥ ， =
= 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
16.(本小题 15 分)
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2cos + cos = 2 ．
(1)求 ；
(2) = 2 若 3，且 的周长为 2 + 5，求 的面积．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
2
的离心率为 2 ,短轴长为 2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若不与坐标轴平行的直线 与椭圆 相切于点 ，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
18.(本小题 17 分)
已知函数 = ln ．
(1)当 > 0 时，讨论函数 的单调性；
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(2)当 0 < < 2 时，若曲线 上的动点 到直线 2 11 = 0 距离的最小值为 2 5 ( 为自然对数的
底数)．
①求实数 的值；
②求证： < + cos 2．
19.(本小题 17 分)
在正项无穷数列 中，若对任意的 ∈ ，都存在 ∈ ，使得 +2 = 2 + ，则称 为 阶等比
数列．在无穷数列 中，若对任意的 ∈ ，都存在 ∈ ，使得 + +2 = 2 + ，则称 为 阶
等差数列．
(1)若 7 为 1 阶等比数列， 1 + 2 + 3 = 4 , 3 + 4 +
7
5 = 16，求 的通项公式及前 项和；
(2)若 为 阶等比数列，求证： ln 为 阶等差数列；
(3)若 既是 4 阶等比数列，又是 5 阶等比数列，证明： 是等比数列．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7
13. = 0(或 + 2 = 0 或 + 4 = 0，任写一条即可，答案不唯一)
14.( ∞, 2 + 1]
15.【详解】(1)因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
又 ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为底面 为正方形，由(1)知 ⊥平面 ，
所以 ， ， 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系 ，
因为 = = 2， 为棱 的中点，
所以 0,0,0 , 2,0,0 , 0,0,2 , 2,2,0 , 0,1,1 ，
可得 = 2,2,0 ， = 0,1,1 ．
因为 ⊥平面 ，
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所以 = 0,0,2 为平面 的一个法向量．
设平面 的一个法向量为 = , , ，
= 2 + 2 = 0
则 ,
= + = 0
令 = 1，则 = 1, = 1，则 = 1, 1,1 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，

所以 cos = cos , = 2 3 = = ． 2 3 3
3
即平面 与平面 夹角的余弦值为 3 ．
16.【详解】(1)由题设 ( cos + cos ) = 2 ，由正弦定理有 (sin cos + sin cos ) = 2sin ，
所以 sin( + ) = 2sin ，而 + = ，故 sin = 2sin ，又 sin > 0，
所以 = 2．
2 2 2 2 2
(2) (1) + + 4 1由 及已知，有 cos = 2 22 = 2 = 2，可得 + + = 4，
又 + + = 2 + 5，即 + = 5，
所以( + )2 = 5 = 4 = 1 1 3，故 △ = 2 sin = 4 ．
= 217.【详解】(1)根据题意得 = 2 ,
2 = 2
又 2 = 2 + 2，解得 = 2， = 1，
2
所以椭圆 ： 22 + = 1．
(2)
2
设点 , 20 0 ，由(1)知椭圆 ： 2 + = 1，
2 2 所以 00 + 2 0 = 2， = ，0
由题意，设直线 的斜率为 ( 存在且 ≠ 0)，
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方程为 ： = + ，则 = 0 0，
= +
由 2 2 2 2 + 2 2 = 2，消去 ，得 1 + 2 + 4 + 2 2 = 0①，
因为直线 与椭圆 相切，所以方程① = 16 2 2 4 1 + 2 2 2 2 2 = 0，
得 2 2 = 2 1 = 20 0 1 = 2 202 2 0 0 + 0 1，
所以 02 2 2 2 0 0 + 20 1 = 0②，
其中 = 4 2 4 2 2 2 21 0 0 0 0 1 = 4 0 + 8 20 8 = 0．
所以关于 的方程②有两相等实根，所以 = 0 0 0
2
= ，
0 2 2 0
所以 =
1
2为定值．
18.【详解】(1)函数 的定义域为 0, + ∞ , ′ = ln + 1 ，
因为 > 0，令 ′ > 0，得： > 1 ，令 ′ < 0
1
，得：0 < < ，
1 1
所以函数 的单调递增区间为 , + ∞ ，单调递减区间为 0, ．
2
(2)①由(1)知： ′ = ln + 1 .由 ′ 0 = 2 ln
2
0 + 1 = 2 ln 0 = 1 0 =
1，
2 2 2 2
又 0 = 0ln 0 =
1 × 2 1 = 2
1，所以切点 1, 2 1 ，
由(1)可知，切点在直线 2 11 = 0 的上方，
2 2
2 1+ 2 1+11 2
所以 = 2 5 ，整理得 1 = ，
22+1
2
设 1 =
2
，则 = +1 , ∵ 0 < < 2, ∴ > 0，
2
(也可构造 = 1)
2
设 = +1 , > 0，则 ′ =
2
( +1)2 > 0 在 0, + ∞ 上恒成立．

所以 = 2 +1在 0, + ∞ 单调递增．
2
又∵ 1 = 2，又∵ 1 = 1, ∴ = 1，方程
1 = 只有 1 解： = 1．
②依题意：要证 ln < + cos 2，
当 0 < ≤ 1 时， ln ≤ 0，令 = + cos 2,0 < ≤ 1，
∵ ′ = sin > 0, ∴ 在 0,1 上单调递增
∴ > 0 = 1 + 1 2 = 0，所以不等式成立；
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当 > 1 时，要证 ln < + cos 2，即 ln cos + 2 < 0．
设 = ln cos + 2, > 1，则 ′ = ln + sin + 1, > 1．
设 = ln + sin + 1, > 1.则 = 1′ + cos , > 1．
1 1
当 > 1 时， > , < 1, cos ≤ 1，所以 ′ =

+ cos 0, 1．
所以 在 1, + ∞ 上单调递减．
所以 < 1 = 1 + sin1 < 0，即 ′ 0, 1．
所以 在 1, + ∞ 上单调递减， < 1 = 2 cos1 < 0，
即当 > 1 时， ln < + cos 2 成立．
综上：当 = 1 时， < + cos 2 在 0, + ∞ 上恒成立．
19.【详解】(1)因为 为 1 阶等比数列，所以 为正项等比数列，
设公比为 ，则 为正数，
1 + + 2 = 71 ,
由已知得 4
1 2 1 + + 2 =
7
16 ,
1 1 1
两式相除得 2 = 4，所以 = 2 ( = 2舍去)，所以 1 = 1，
所以 1 的通项公式为 1 = 1 = 2 1，
1 1
前 1项和为 1 2 = 1 = 1 1
= 2 2 1；
2
(2)因为 为 阶等比数列，
所以 ∈ , ∈ ，使得 +2 = 2 + 成立，
所以 ln 2 +2 = ln + ，
又 > 0, + > 0, +2 > 0，
所以 ln + ln +2 = 2ln + ，
即 ∈ , ∈ , ln + ln +2 = 2ln + 成立，
所以 ln 为 阶等差数列；
(3)因为 既是 4 阶等比数列，又是 5 阶等比数列，
所以 = 2 2 +8 +4 ∈ 与 +10 = +5 ∈ 同时成立，

所以 +4 = +8 ∈
+5 与 +10 = ∈
同时成立，
+4 +5
又 的各项均为正数，所以对任意的 ∈ ，
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数列 , +4, +8, ∈ 和数列 , +5, +10, ∈ 都是等比数列，
由数列 , +4, +8, ∈ 是等比数列，
得 +1, +5, +9, ∈ 也成等比数列，

设 +5 = > 0 ∈ , +5 1 = 2 > 0 ∈
，
+1

所以 +1 =
1
> 0 ∈
，所以 是等比数列．
2
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