广西来宾市金秋实验学校2026届高三上学期9月月考数学试卷(PDF版,含答案)

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广西来宾市金秋实验学校 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(1 + 5i)i 的虚部为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 6
2.已知集合 = { 4,0,1,2,8}, = ∣ 3 = ,则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
3.已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 7倍,则 的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2
4.已知向量 = (0,1), = (2, ),若 ⊥ ( 4 ),则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5 3.已知 ( )是定义在 上且周期为 2 的偶函数,当 2 ≤ ≤ 3 时, ( ) = 5 2 ,则 4 =( )
A. 12 B.
1 C. 1 D. 14 4 2
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 3,则圆锥的体积为( )
A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π
7.当 ∈ [0,2 ]时,曲线 = sin 与 = 2sin 3 6 的交点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8.记 为等差数列 的前 项和.若 3 = 6, 5 = 5,则 6 =( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.记 为等比数列 的前 项和, 为 的公比, > 0.若 3 = 7, 3 = 1,则( )
A. = 1 12 B. 5 = 9 C. 5 = 8 D. + S = 8
10 1.已知 的面积为4,若 cos2 + cos2 + 2sin = 2, cos cos sin =
1
4,则( )
A. sin = sin2 + sin2 B. = 2
C. sin + sin = 62 D.
2 + 2 = 3
11.对于函数 ( ) = sin2 和 ( ) = sin(2 π4 ),下列说法中正确的有( )
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A. ( )与 ( )有相同的零点 B. ( )与 ( )有相同的最大值
C. ( )与 ( )有相同的最小正周期 D. ( )与 ( )的图象有相同的对称轴
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12.若一个等比数列的各项均为正数,且前4 项的和等于4,前8 项的和等于68,则这个数列的公比等于 .
13.若直线 = 2 + 5 是曲线 = e + + 的一条切线,则 = .
14.有 5 个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5,从中有放回地随机取 3 次,每次取 1 个球.记 为这 5
个球中至少被取出 1 次的球的个数,则 的数学期望 ( ) = .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 sin + 3cos = 2.
(1)求 .
(2)若 = 2, 2 sin = sin2 ,求 的周长.
16.(本小题 15 分)
设{ }是公比不为 1 的等比数列, 1为 2, 3的等差中项.
(1)求{ }的公比;
(2)若 1 = 1,求数列{ }的前 项和.
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = e 3.
(1)当 = 1 时,求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程;
(2)若 ( )有极小值,且极小值小于 0,求 的取值范围.
18.(本小题 17 分)
如图,平面四边形 中, = 8, = 3, = 5 3,∠ = 90°,∠ = 30° 2,点 , 满足 = 5 ,
= 1 2 ,将 沿 翻折至 ,使得 = 4 3.
(1)证明: ⊥ ;
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(2)求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
19.(本小题 17 分)
某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行
检验,数据如下:
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有 95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有 99%的把握认为甲,乙两车间产品
的优级品率存在差异?
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 = 0.5,设 为升级改造后抽取的 件产品的优级品率.如果 >
+ 1.65 (1 ) ,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的 150 件产品的数据,能否认为生产线
智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?( 150 ≈ 12.247)
2 = ( )
2
附: ( + )( + )( + )( + )
2 0.050 0.010 0.001

3.841 6.635 10.828
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参考答案
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12.2
13.4
14.6125/2.44
15.解:(1)方法一:常规方法(辅助角公式)
由 sin + 3cos = 2 1可得2 sin +
3 π
2 cos = 1,即 sin( + 3 ) = 1,
由于 ∈ (0, π) + π π 4π π3 ∈ ( 3 , 3 ),故 + 3 =
π
2,解得 =
π
6
方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)
由 sin + 3cos = 2,又sin2 + cos2 = 1,消去 sin 得到:
4cos2 4 3cos + 3 = 0 (2cos 3)2 = 0 3,解得 cos = 2 ,
又 ∈ (0, π) π,故 = 6
方法三:利用极值点求解
设 ( ) = sin + 3cos (0 < < π),则 ( ) = 2sin + π3 (0 < < π),
π π
显然 = 6时, ( )max = 2,注意到 ( ) = sin + 3cos = 2 = 2sin( + 3 ),
( )max = ( ),在开区间(0, π)上取到最大值,于是 = 必定是极值点,
即 ′( ) = 0 = cos 3sin 3,即 tan = 3 ,
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又 ∈ (0, π),故 = π6
方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)
设 = (1, 3), = (sin , cos ),由题意, = sin + 3cos = 2,
根据向量的数量积公式, = | || |cos , = 2cos , ,
则 2cos , = 2 cos , = 1,此时 , = 0,即 , 同向共线,
1 cos = 3 sin tan = 3根据向量共线条件, 3 ,
∈ (0, π) = π又 ,故 6
方法五:利用万能公式求解
2
设 = tan 2,根据万能公式,sin + 3cos = 2 =
2 + 3(1 )1+ 2 1+ 2 ,
整理可得, 2 2(2 3) + (2 3)2 = 0 = ( (2 3))2,
tan = = 2 3 2 3解得 2 ,根据二倍角公式,tan = 1 2 = 3 ,
又 ∈ (0, π),故 = π6
(2)由题设条件和正弦定理
2 sin = sin2 2sin sin = 2sin sin cos ,
又 , ∈ (0, π),则 sin sin ≠ 0,进而 cos = 2 π2 ,得到 = 4,
于是 = π = 7π12,
sin = sin(π ) = sin( + ) = sin cos + sin cos = 2+ 64 ,
2
由正弦定理可得,sin = sin = sin ,即sinπ = π = 7π,6 sin4 sin12
解得 = 2 2, = 6 + 2,
故 的周长为 2 + 6 + 3 2
16.解:(1)设{ }的公比为 , 1为 2, 3的等差中项,
∵ 2 1 = 2 + 23, 1 ≠ 0, ∴ + 2 = 0,
∵ ≠ 1, ∴ = 2;
(2)设{ }的前 项和为 1 , 1 = 1, = ( 2) ,
= 1 × 1 + 2 × ( 2) + 3 × ( 2)2 + + ( 2) 1,①
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2 = 1 × ( 2) + 2 × ( 2)2 + 3 × ( 2)3 + ( 1)( 2) 1 + ( 2) ,②
① ②得,3 = 1 + ( 2) + ( 2)2 + + ( 2) 1 ( 2)
= 1 ( 2)

1 (1+3 )( 2)
1 ( 2) ( 2) = 3 ,

∴ 1 (1+3 )( 2) = 9 .
17.解:(1)当 = 1 时,则 ( ) = e 1, ′( ) = e 1,
可得 (1) = e 2, ′(1) = e 1,
即切点坐标为 1, e 2 ,切线斜率 = e 1,
所以切线方程为 e 2 = e 1 ( 1),即 e 1 1 = 0.
(2)解法一:因为 ( )的定义域为 ,且 ′( ) = e ,
若 ≤ 0,则 ′( ) ≥ 0 对任意 ∈ 恒成立,
可知 ( )在 上单调递增,无极值,不合题意;
若 > 0,令 ′( ) > 0,解得 > ln ;令 ′( ) < 0,解得 < ln ;
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减,在 ln , + ∞ 内单调递增,
则 ( )有极小值 ln = ln 3,无极大值,
由题意可得: ln = ln 3 < 0,即 2 + ln 1 > 0,
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0,则 ′( ) = 2 + 1 > 0,
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增,且 (1) = 0,
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1),解得 > 1,
所以 的取值范围为(1, + ∞);
解法二:因为 ( )的定义域为 ,且 ′( ) = e ,
若 ( )有极小值,则 ′( ) = e 有零点,
令 ′( ) = e = 0,可得e = ,
可知 = e 与 = 有交点,则 > 0,
若 > 0,令 ′( ) > 0,解得 > ln ;令 ′( ) < 0,解得 < ln ;
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减,在 ln , + ∞ 内单调递增,
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则 ( )有极小值 ln = ln 3,无极大值,符合题意,
由题意可得: ln = ln 3 < 0,即 2 + ln 1 > 0,
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0,
因为则 = 2, = ln 1 在(0, + ∞)内单调递增,
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增,且 (1) = 0,
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1),解得 > 1,
所以 的取值范围为(1, + ∞).
18.解:(1)由 = 8, = 5 3, = 2 , = 1 5 2 ,
得 = 2 3, = 4,又∠ = 30°,在 中,
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos∠ = 16 + 12 2 4 2 3 32 = 2,
所以 2 + 2 = 2,则 ⊥ ,即 ⊥ ,
所以 ⊥ , ⊥ ,又 ∩ = , 、 平面 ,
所以 ⊥平面 ,又 平面 ,
故 ⊥ ;
(2)连接 ,由∠ = 90°, = 3 3, = 3,则 2 = 2 + 2 = 36,
在 PEC 中, = 4 3, = 2 3, = 6,得 2 + 2 = 2,
所以 ⊥ ,由(1)知 ⊥ ,又 ∩ = , 、 平面 ,
所以 ⊥平面 ,又 平面 ,
所以 ⊥ ,则 , , 两两垂直,建立如图空间直角坐标系 ,
则 (0,0,0), (0,0,2 3), (0,3 3, 0), (3,3 3, 0), (2,0,0), (0, 2 3, 0),
由 是 的中点,得 (4,2 3, 0),
所以 = (3,3 3, 2 3), = (0,3 3, 2 3), = (4,2 3, 2 3), = (2,0, 2 3),
设平面 和平面 的一个法向量分别为 = ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 2),
= 3 1 + 3 3 1 2 3 1 = 0 = 4 2 + 2 3 , 2 2 3 2 = 0则 ,
= 3 3 1 2 3 1 = 0 = 2 2 2 3 2 = 0
令 1 = 2, 2 = 3,得 1 = 0, 1 = 3, 2 = 1, 2 = 1,
所以 = (0,2,3), = ( 3, 1,1),
cos , = 1 65所以 = 5 13 = 65 ,
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8 65
设平面 和平面 所成角为 ,则 sin = 1 cos2 = 65 ,
即平面 8 65和平面 所成角的正弦值为 65 .
19.解:(1)根据题意可得列联表:
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
2 = 150(26×30 24×70)
2 75
可得 50×100×96×54 = 16 = 4.6875,
因为 3.841 < 4.6875 < 6.635,
所以有 95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有 99%的把握认为甲,乙两车间产品的
优级品率存在差异.
(2) 96由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为150 = 0.64,
用频率估计概率可得 = 0.64,
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 = 0.5,
则 + 1.65 (1 ) = 0.5 + 1.65
0.5(1 0.5) 0.5
150 ≈ 0.5 + 1.65 × 12.247 ≈ 0.567,
(1 )
可知 > + 1.65 ,
所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.
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