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广西来宾市金秋实验学校 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1 + 5i)i 的虚部为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 6
2.已知集合 = { 4,0,1,2,8}, = ∣ 3 = ,则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
3.已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 7倍，则 的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2
4.已知向量 = (0,1), = (2, )，若 ⊥ ( 4 )，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5 3.已知 ( )是定义在 上且周期为 2 的偶函数，当 2 ≤ ≤ 3 时， ( ) = 5 2 ，则 4 =( )
A. 12 B.
1 C. 1 D. 14 4 2
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π
7.当 ∈ [0,2 ]时，曲线 = sin 与 = 2sin 3 6 的交点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8.记 为等差数列 的前 项和.若 3 = 6, 5 = 5,则 6 =( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记 为等比数列 的前 项和， 为 的公比， > 0.若 3 = 7, 3 = 1，则( )
A. = 1 12 B. 5 = 9 C. 5 = 8 D. + S = 8
10 1.已知 的面积为4，若 cos2 + cos2 + 2sin = 2, cos cos sin =
1
4，则( )
A. sin = sin2 + sin2 B. = 2
C. sin + sin = 62 D.
2 + 2 = 3
11.对于函数 ( ) = sin2 和 ( ) = sin(2 π4 )，下列说法中正确的有( )
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A. ( )与 ( )有相同的零点 B. ( )与 ( )有相同的最大值
C. ( )与 ( )有相同的最小正周期 D. ( )与 ( )的图象有相同的对称轴
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若一个等比数列的各项均为正数，且前4 项的和等于4，前8 项的和等于68，则这个数列的公比等于 ．
13.若直线 = 2 + 5 是曲线 = e + + 的一条切线，则 = ．
14.有 5 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取 3 次，每次取 1 个球.记 为这 5
个球中至少被取出 1 次的球的个数，则 的数学期望 ( ) = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 sin + 3cos = 2．
(1)求 ．
(2)若 = 2， 2 sin = sin2 ，求 的周长．
16.(本小题 15 分)
设{ }是公比不为 1 的等比数列， 1为 2， 3的等差中项．
(1)求{ }的公比；
(2)若 1 = 1，求数列{ }的前 项和．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = e 3．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，平面四边形 中， = 8， = 3， = 5 3，∠ = 90°，∠ = 30° 2，点 ， 满足 = 5 ，
= 1 2 ，将 沿 翻折至 ，使得 = 4 3．
(1)证明： ⊥ ；
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(2)求平面 与平面 所成的二面角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行
检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有 95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99％的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 = 0.5，设 为升级改造后抽取的 件产品的优级品率.如果 >
+ 1.65 (1 ) ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线
智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？( 150 ≈ 12.247)
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )
2 0.050 0.010 0.001
≥
3.841 6.635 10.828
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.4
14.6125/2.44
15.解：(1)方法一：常规方法(辅助角公式)
由 sin + 3cos = 2 1可得2 sin +
3 π
2 cos = 1，即 sin( + 3 ) = 1，
由于 ∈ (0, π) + π π 4π π3 ∈ ( 3 , 3 )，故 + 3 =
π
2，解得 =
π
6
方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)
由 sin + 3cos = 2，又sin2 + cos2 = 1，消去 sin 得到：
4cos2 4 3cos + 3 = 0 (2cos 3)2 = 0 3，解得 cos = 2 ，
又 ∈ (0, π) π，故 = 6
方法三：利用极值点求解
设 ( ) = sin + 3cos (0 < < π)，则 ( ) = 2sin + π3 (0 < < π)，
π π
显然 = 6时， ( )max = 2，注意到 ( ) = sin + 3cos = 2 = 2sin( + 3 )，
( )max = ( )，在开区间(0, π)上取到最大值，于是 = 必定是极值点，
即 ′( ) = 0 = cos 3sin 3，即 tan = 3 ，
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又 ∈ (0, π)，故 = π6
方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)
设 = (1, 3), = (sin , cos )，由题意， = sin + 3cos = 2，
根据向量的数量积公式， = | || |cos , = 2cos , ，
则 2cos , = 2 cos , = 1，此时 , = 0，即 , 同向共线，
1 cos = 3 sin tan = 3根据向量共线条件， 3 ，
∈ (0, π) = π又 ，故 6
方法五：利用万能公式求解
2
设 = tan 2，根据万能公式，sin + 3cos = 2 =
2 + 3(1 )1+ 2 1+ 2 ，
整理可得， 2 2(2 3) + (2 3)2 = 0 = ( (2 3))2，
tan = = 2 3 2 3解得 2 ，根据二倍角公式，tan = 1 2 = 3 ，
又 ∈ (0, π)，故 = π6
(2)由题设条件和正弦定理
2 sin = sin2 2sin sin = 2sin sin cos ，
又 , ∈ (0, π)，则 sin sin ≠ 0，进而 cos = 2 π2 ，得到 = 4，
于是 = π = 7π12，
sin = sin(π ) = sin( + ) = sin cos + sin cos = 2+ 64 ，
2
由正弦定理可得，sin = sin = sin ，即sinπ = π = 7π，6 sin4 sin12
解得 = 2 2, = 6 + 2，
故 的周长为 2 + 6 + 3 2
16.解：(1)设{ }的公比为 ， 1为 2, 3的等差中项，
∵ 2 1 = 2 + 23, 1 ≠ 0, ∴ + 2 = 0，
∵ ≠ 1, ∴ = 2；
(2)设{ }的前 项和为 1 ， 1 = 1, = ( 2) ，
= 1 × 1 + 2 × ( 2) + 3 × ( 2)2 + + ( 2) 1，①
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2 = 1 × ( 2) + 2 × ( 2)2 + 3 × ( 2)3 + ( 1)( 2) 1 + ( 2) ，②
① ②得，3 = 1 + ( 2) + ( 2)2 + + ( 2) 1 ( 2)
= 1 ( 2)

1 (1+3 )( 2)
1 ( 2) ( 2) = 3 ，

∴ 1 (1+3 )( 2) = 9 ．
17.解：(1)当 = 1 时，则 ( ) = e 1， ′( ) = e 1，
可得 (1) = e 2， ′(1) = e 1，
即切点坐标为 1, e 2 ，切线斜率 = e 1，
所以切线方程为 e 2 = e 1 ( 1)，即 e 1 1 = 0．
(2)解法一：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
若 ≤ 0，则 ′( ) ≥ 0 对任意 ∈ 恒成立，
可知 ( )在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减，在 ln , + ∞ 内单调递增，
则 ( )有极小值 ln = ln 3，无极大值，
由题意可得： ln = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，则 ′( ) = 2 + 1 > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, + ∞)；
解法二：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
若 ( )有极小值，则 ′( ) = e 有零点，
令 ′( ) = e = 0，可得e = ，
可知 = e 与 = 有交点，则 > 0，
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在 ∞, ln 内单调递减，在 ln , + ∞ 内单调递增，
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则 ( )有极小值 ln = ln 3，无极大值，符合题意，
由题意可得： ln = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，
因为则 = 2, = ln 1 在(0, + ∞)内单调递增，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0 等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, + ∞)．
18.解：(1)由 = 8, = 5 3, = 2 , = 1 5 2 ，
得 = 2 3, = 4，又∠ = 30°，在 中，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos∠ = 16 + 12 2 4 2 3 32 = 2，
所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，即 ⊥ ，
所以 ⊥ , ⊥ ，又 ∩ = , 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
故 ⊥ ；
(2)连接 ，由∠ = 90°, = 3 3, = 3，则 2 = 2 + 2 = 36，
在 PEC 中， = 4 3, = 2 3, = 6，得 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，由(1)知 ⊥ ，又 ∩ = , 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，则 , , 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0), (0,0,2 3), (0,3 3, 0), (3,3 3, 0), (2,0,0), (0, 2 3, 0)，
由 是 的中点，得 (4,2 3, 0)，
所以 = (3,3 3, 2 3), = (0,3 3, 2 3), = (4,2 3, 2 3), = (2,0, 2 3)，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 = ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 2)，
= 3 1 + 3 3 1 2 3 1 = 0 = 4 2 + 2 3 , 2 2 3 2 = 0则 ,
= 3 3 1 2 3 1 = 0 = 2 2 2 3 2 = 0
令 1 = 2, 2 = 3，得 1 = 0, 1 = 3, 2 = 1, 2 = 1，
所以 = (0,2,3), = ( 3, 1,1)，
cos , = 1 65所以 = 5 13 = 65 ，
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8 65
设平面 和平面 所成角为 ，则 sin = 1 cos2 = 65 ，
即平面 8 65和平面 所成角的正弦值为 65 ．
19.解：(1)根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
2 = 150(26×30 24×70)
2 75
可得 50×100×96×54 = 16 = 4.6875，
因为 3.841 < 4.6875 < 6.635，
所以有 95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 99％的把握认为甲，乙两车间产品的
优级品率存在差异．
(2) 96由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为150 = 0.64，
用频率估计概率可得 = 0.64，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 = 0.5，
则 + 1.65 (1 ) = 0.5 + 1.65
0.5(1 0.5) 0.5
150 ≈ 0.5 + 1.65 × 12.247 ≈ 0.567，
(1 )
可知 > + 1.65 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．
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