广东省河源市龙川县第一中学2026届高三上学期9月月考数学试卷(PDF版,含答案)

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广东省河源市龙川县第一中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = 2, 1,0,1,2 ,集合 = 2,0,1 , = 1,0,2 ,则 ∩ =( )
A. 0 B. 1,2 C. 2,1 D. 2,0,1
2.已知复数 满足 1 + 3i = 2 i,则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 32 2
3 π.已知 = sin 0.16, = 2 , = log2 3,则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4 ( ) = ln| |.研究函数图象的特征,函数 2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.“ ≥ 4”是“ ( ) = + 在(0,2)上单调递减”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2
6.已知函数 ( ) = + 2 , ≤ 1(3 ) + 2, > 1是定义在 上的增函数,则 的取值范围是( )
A. [1,3) B. [1,2] C. [2,3) D. (0,3)
7.函数 = ( ) ′的图象如图所示, = ′( )为函数 = ( )的导函数,则不等式 ( ) 的解集为( )
< 0
A. ( 3, 1)
B. (0,1)
C. ( 3, 1) ∪ (0,1)
D. ( ∞, 3) ∪ (1, + ∞)
第 1页,共 9页
8.已知函数 ( ) = 2 ln ( > 0)在区间 1,2 单调,则 的取值范围是( )
A. 0, 1 ∪ 1, + ∞ B. 0, 1 ∪ 12 8 2 , + ∞
C. 12 , 1 D.
1
8 ,
1
2
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列结论中,正确的是( )
A.函数 = 2 1是指数函数
B.函数 = 2 + 1( > 1)的值域是[1, + ∞)
C.若 > ( > 0, ≠ 1),则 >
D.函数 ( ) = 2 3( > 0, ≠ 1)的图像必过定点(2, 2)
10.函数 ( )及其导函数 ( )的定义域均为 , ( + 1)和 (2 1)都是奇函数,则( )
A. ( )的图象关于直线 = 1 对称 B. ( )的图象关于点(1,0)对称
C. ( )是周期函数 D. 2024 =1 ( ) = 2024
11.已知三次函数 ( ) = 3 + 2 + 1,若函数 ( ) = ( ) + 1 的图象关于点(1,0)对称,且 (
2) < 0,则( )
A. < 0 B. ( )有 3 个零点
C. ( )的对称中心是( 1,0) D. 12 4 + < 0
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12.设 ( )是定义在 上的奇函数,当 > 0 时, ( ) = 2 + 1,则 ( 2) + (0) = .
13.函数 ( ) = log1 2 + + 2 在(1,2)上单调递增,则实数 的取值范围是 .
3
14.已知数列 的前 项和为 ,且 = 2, +1 2 1 = +1 2 .若 > + 61 ,则 的最小值为 .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 + 内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 sin 2 = sin .
(1)求 ;
(2)若 = 3 3,且 的面积为 2 ,求角 的角平分线的长.
16.(本小题 15 分)
袋中有 8 个除颜色外完全相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球,即取到的红球个数为 ,求 的分布列和数学期望;
第 2页,共 9页
(2)若从袋中不放回的取 3 次,每次取一个小球,取到黑球记 0 分,取到白球记 2 分,取到红球记 4 分,在
最终得分为 8 分的条件下,恰取到一个红球的概率.
17.(本小题 15 分)
如图,在四棱锥 中, = 2, = = = 1, ,平面 ⊥平面
, ⊥ .
(1)证明: ⊥平面 ;
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 2 ( 2) ln ( ∈ ).
(1)当 = 0 时.求曲线 ( )在 = 1 处的切线方程;
(2)讨论函数 ( )的单调性;
(3)若函数 ( )恰有两个零点,求实数 的取值范围.
19.(本小题 12 分)
1
已知椭圆 的对称中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在 轴上,离心率 e = 2,且过点 (3,2).
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若直线 与椭圆交于 , 两点,且直线 , 的倾斜角互补,点 (0,8),求三角形 面积的最大值.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13.[1,2]
14.7
15. + 解:(1)因为 sin 2 = sin ,由正弦定理可得 sin sin
+
2 = sin sin ,
因为 ∈ 0 , 180 + ,所以 sin ≠ 0,所以 sin 2 = sin ,
因为 + + = 180 + ,所以 2 = 90
2,
+
因为 sin 2 = sin 90 2 = cos 2,所以 cos 2 = sin = 2sin 2 cos 2,

因为 2 ∈ 0 , 90
1,所以 cos 2 ≠ 0,所以 sin 2 = 2,

所以 2 = 30 ,即 = 60 ;
(2)因为 = 3, 3 1 3 = 2 ,所以2 sin = 2 ,
= 2 3即 3 ,
设∠ 的角平分线交 于 ,因为 = + ,
1
所以 × 3 × × sin30 + 1 × 2 3 32 2 3 × × sin30 = 2 ,所以 =
6
5.
16.【详解】 (1)由题意得 的可能取值为:0,1,2,
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0
( = 0) = C4C
2 1 1 2 0
4
2 =
3 C C 4
14, ( = 1) =
4 4
2 = 7, ( = 2) =
C4C4
2 =
3

C8 C8 C8 14
所以 的分布列为:

0 1 2
3 4 3
14 7 14
3 4 3
数学期望 ( ) = 0 × 14 + 1 × 7+ 2 × 14 = 1;
(2)设事件 =“最后得分为 8 分”;事件 =“恰取到一个红球”;
由题意,最后得分为 8 分有两种情况:摸出 2 个白球 1 个红球或 1 个黑球 2 个红球,
2 1 1 2 2 1
所以 ( ) = C3C4+C1C4 93 = 28, ( ) =
C3C4 = 3,
C8 C
3
8 14
3
( | ) = ( ) = 14 = 2所以 ( ) 9 3.
28
17.解:(1)取 的中点 ,连接 , ,
∵ ∠ = 90 , // ,
∴ ∠ = 90 ,
∵ = = 1,
∴ = 2 + 2 = 2,
∵ 为 的中点,
∴ = , // ,
∴四边形 为平行四边形,
∵ = = 1, ∠ = 90 ,
∴四边形 为正方形,
∴ ∠ = 90 ,
∴ = 2 + 2 = 2,
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∵ 2 + 2 = 4 = 2,
∴ ⊥ ,
∵平面 ⊥平面 ,
平面 ∩平面 = ,
平面 ,
∴ ⊥平面 ,
∵ 平面 ,
∴ ⊥ ,
∵ ⊥ , ∩ = , , 平面 ,
∴ ⊥平面 .
(2)由(1)可知 、 、 两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系
则 (0,0,1), ( 2, 0,0), (0, 2, 0), ( 2 22 , 2 , 0),
∴ = ( 2, 0, 1), = (0, 2, 1),
设平面 的一个法向量为 = ( , , ),
= 2 = 0
则 ,
= 2 = 0
令 = 1,则 = 2, = 1,
∴ = (1,1, 2),
∵ ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ,
所以 ⊥平面 ,
∴ = 22 ,
2
2 , 0 为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 的夹角为 ,
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| 2 2|
则 cos = |cos < , > | = | | = 2 2 = 2,
| || | 2×1 2
2
所以设平面 与平面 的夹角的余弦值为 2 .
18.解:(1)当 = 0 时, ( ) = 2 ln 1,求导得 ′( ) = 2 ,则 ′ (1) = 1,而 (1) = 2,
所以所求切线方程为 2 = 1,即 + 1 = 0.
(2)函数 ( ) = 2 ( 2) ln 的定义域为(0, + ∞),
求导得 ′( ) = 2 ( 2) 1 ( +1)(2 1) = ,
当 ≥ 0 时,由 ′( ) < 0,得 0 < < 12;由
′( ) > 0 > 1,得 2,
1 1
函数 ( )在(0, 2 )上单调递减,在( 2 , + ∞)上单调递增;
当 2 < < 0 时,由 ′( ) < 0 0 < < 1 > 1 1 1,得 2或 ;由
′( ) > 0,得2 < < ,
函数 ( )在(0, 1 1 1 12 ), ( , + ∞)上单调递减,在( 2 , )上单调递增;
当 = 2 时, ′( ) ≤ 0,且当 = 12时取等号,函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减;
当 < 2 时,由 ′( ) < 0,得 0 < < 1 > 1 1 1 或 2;由
′( ) > 0,得 < < 2,
函数 ( )在(0, 1 ), (
1
2 , + ∞)上单调递减,在(
1 , 1 2 )上单调递增,
所以当 ≥ 0 时,函数 ( )在(0, 12 )
1
上单调递减,在( 2 , + ∞)上单调递增;
1 1 1 1
当 2 < < 0 时,函数 ( )在(0, 2 ), ( , + ∞)上单调递减,在( 2 , )上单调递增;
当 = 2 时,函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减;
< 2 ( ) (0, 1当 时,函数 在 ), (
1
2 , + ∞)
1 1
上单调递减,在( , 2 )上单调递增.
(3)由(2)知,当 = 2 时,函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减,则 ( )最多一个零点;
2 < < 0 ( ) = 1当 时, 在 2处取得极小值 (
1 ) = 12 4 + 1 + ln2 > 0,则 ( )最多一个零点;
当 < 2 时, ( )在 = 1 处取得极小值 (
1
2 ) = 1
1
+ ln( ) > 0,则 ( )最多一个零点;
当 ≥ 0 时,函数 ( ) (0, 1在 2 )
1
上单调递减,在( 2 , + ∞)上单调递增,
( )min = (
1 ) = 12 4 + 1 + ln2 ( )
1
,要函数 有两个零点,则必有 4 + 1 + ln2 < 0,
解得 > 4 + 4ln2,此时,当 从大于 0 的方向趋近于 0 时, ( )趋近于正无穷大, (1) = 2 > 0,
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因此当且仅当 > 4 + 4ln2 时,函数 ( )恰有两个零点,
所以实数 的取值范围是 > 4 + 4ln2.
19. (1) ∵ e = = 1解: 2,
∴ = 2 , = 3
2 2
设椭圆的标准方程为3 2 + 4 2 = 1,即 4
2 + 3 2 = 12 2,
∵过点 (3,2),
∴ 36 + 12 = 12 2,
∴ 2 = 4

2
+
2
椭圆的标准方程为12 16 = 1;
(2)由题意可知直线 的斜率存在,且不过点 (3,2),
设直线 的方程为 = + (3 + 2 ≠ 0), ( 1, 1) , ( 2, 2),
= +
由 2 24 2 + 3 2 = 48消去 整理得(3 + 4) + 6 + 3
2 48 = 0,
+ = 6
2
1 2 3 2+4, =
3 48
1 2 3 2+4 ,
= 48(12 2 + 16 2) > 0,
∵ + = 1 2 + 2 2 1 3
= 0,
2 3
∴ 1+ 2 2+ 2 3 + 3 = 2 + (3 + 2)(
1 1
1 2 1 3
+ 3 ) = 0,2
∴ 2 + (3 + 2) 1+ 2 6 3( + )+9 = 0,1 2 1 2
2
将 1 + 2 =
6 3 48
3 2+4, 1 2 = 3 2+4 代入整理得( 2)(3 + 2) = 0,
∴ = 2,
又因为 = 48(64 2) > 0,
解得: 8 < < 8,
= 1 |8 | | | = 3三角形 的面积 2 1 2 8 (64
2)(8 )2,
令 ( ) = (64 2)(8 )2, 8 < < 8,
导函数 ′( ) = 4(8 )2(4 + ),
当 ∈ ( 8, 4), ′( ) > 0,
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当 ∈ ( 4,8), ′( ) < 0,
增区间为( 8, 4),减区间为( 4,8),
∴当 = 4 时,三角形 的面积取得最大值,最大值为 18.
第 9页,共 9页

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