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广东省河源市龙川县第一中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = 2, 1,0,1,2 ，集合 = 2,0,1 , = 1,0,2 ，则 ∩ =( )
A. 0 B. 1,2 C. 2,1 D. 2,0,1
2.已知复数 满足 1 + 3i = 2 i，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 32 2
3 π.已知 = sin 0.16， = 2 ， = log2 3，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4 ( ) = ln| |.研究函数图象的特征，函数 2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.“ ≥ 4”是“ ( ) = + 在(0,2)上单调递减”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2
6.已知函数 ( ) = + 2 , ≤ 1(3 ) + 2, > 1是定义在 上的增函数，则 的取值范围是( )
A. [1,3) B. [1,2] C. [2,3) D. (0,3)
7.函数 = ( ) ′的图象如图所示， = ′( )为函数 = ( )的导函数，则不等式 ( ) 的解集为( )
< 0
A. ( 3, 1)
B. (0,1)
C. ( 3, 1) ∪ (0,1)
D. ( ∞, 3) ∪ (1, + ∞)
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8.已知函数 ( ) = 2 ln ( > 0)在区间 1,2 单调，则 的取值范围是( )
A. 0, 1 ∪ 1, + ∞ B. 0, 1 ∪ 12 8 2 , + ∞
C. 12 , 1 D.
1
8 ,
1
2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的是( )
A.函数 = 2 1是指数函数
B.函数 = 2 + 1( > 1)的值域是[1, + ∞)
C.若 > ( > 0, ≠ 1)，则 >
D.函数 ( ) = 2 3( > 0, ≠ 1)的图像必过定点(2, 2)
10.函数 ( )及其导函数 ( )的定义域均为 ， ( + 1)和 (2 1)都是奇函数，则( )
A. ( )的图象关于直线 = 1 对称 B. ( )的图象关于点(1,0)对称
C. ( )是周期函数 D. 2024 =1 ( ) = 2024
11.已知三次函数 ( ) = 3 + 2 + 1，若函数 ( ) = ( ) + 1 的图象关于点(1,0)对称，且 (
2) < 0，则( )
A. < 0 B. ( )有 3 个零点
C. ( )的对称中心是( 1,0) D. 12 4 + < 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = 2 + 1，则 ( 2) + (0) = ．
13.函数 ( ) = log1 2 + + 2 在(1,2)上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
3
14.已知数列 的前 项和为 ，且 = 2, +1 2 1 = +1 2 .若 > + 61 ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 + 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 sin 2 = sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 3 3，且 的面积为 2 ，求角 的角平分线的长．
16.(本小题 15 分)
袋中有 8 个除颜色外完全相同的小球，其中 1 个黑球，3 个白球，4 个红球．
(1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
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(2)若从袋中不放回的取 3 次，每次取一个小球，取到黑球记 0 分，取到白球记 2 分，取到红球记 4 分，在
最终得分为 8 分的条件下，恰取到一个红球的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， = 2, = = = 1， ，平面 ⊥平面
, ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 2 ( 2) ln ( ∈ )．
(1)当 = 0 时．求曲线 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)若函数 ( )恰有两个零点，求实数 的取值范围．
19.(本小题 12 分)
1
已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，离心率 e = 2，且过点 (3,2)．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 , 两点，且直线 , 的倾斜角互补，点 (0,8)，求三角形 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13.[1,2]
14.7
15. + 解：(1)因为 sin 2 = sin ，由正弦定理可得 sin sin
+
2 = sin sin ，
因为 ∈ 0 , 180 + ，所以 sin ≠ 0，所以 sin 2 = sin ，
因为 + + = 180 + ，所以 2 = 90
2，
+
因为 sin 2 = sin 90 2 = cos 2，所以 cos 2 = sin = 2sin 2 cos 2，

因为 2 ∈ 0 , 90
1，所以 cos 2 ≠ 0，所以 sin 2 = 2，

所以 2 = 30 ，即 = 60 ；
(2)因为 = 3， 3 1 3 = 2 ，所以2 sin = 2 ，
= 2 3即 3 ，
设∠ 的角平分线交 于 ，因为 = + ，
1
所以 × 3 × × sin30 + 1 × 2 3 32 2 3 × × sin30 = 2 ，所以 =
6
5．
16.【详解】 (1)由题意得 的可能取值为：0,1,2，
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0
( = 0) = C4C
2 1 1 2 0
4
2 =
3 C C 4
14， ( = 1) =
4 4
2 = 7， ( = 2) =
C4C4
2 =
3
，
C8 C8 C8 14
所以 的分布列为：

0 1 2
3 4 3
14 7 14
3 4 3
数学期望 ( ) = 0 × 14 + 1 × 7+ 2 × 14 = 1；
(2)设事件 =“最后得分为 8 分”；事件 =“恰取到一个红球”；
由题意，最后得分为 8 分有两种情况：摸出 2 个白球 1 个红球或 1 个黑球 2 个红球，
2 1 1 2 2 1
所以 ( ) = C3C4+C1C4 93 = 28， ( ) =
C3C4 = 3，
C8 C
3
8 14
3
( | ) = ( ) = 14 = 2所以 ( ) 9 3．
28
17.解：(1)取 的中点 ，连接 , ，
∵ ∠ = 90 , // ，
∴ ∠ = 90 ，
∵ = = 1，
∴ = 2 + 2 = 2，
∵ 为 的中点，
∴ = , // ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ = = 1, ∠ = 90 ，
∴四边形 为正方形，
∴ ∠ = 90 ，
∴ = 2 + 2 = 2，
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∵ 2 + 2 = 4 = 2，
∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = ，
平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)由(1)可知 、 、 两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系
则 (0,0,1), ( 2, 0,0), (0, 2, 0), ( 2 22 , 2 , 0)，
∴ = ( 2, 0, 1), = (0, 2, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则 ,
= 2 = 0
令 = 1，则 = 2, = 1，
∴ = (1,1, 2)，
∵ ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
∴ = 22 ,
2
2 , 0 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
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| 2 2|
则 cos = |cos < , > | = | | = 2 2 = 2，
| || | 2×1 2
2
所以设平面 与平面 的夹角的余弦值为 2 ．
18.解：(1)当 = 0 时， ( ) = 2 ln 1，求导得 ′( ) = 2 ，则 ′ (1) = 1，而 (1) = 2，
所以所求切线方程为 2 = 1，即 + 1 = 0．
(2)函数 ( ) = 2 ( 2) ln 的定义域为(0, + ∞)，
求导得 ′( ) = 2 ( 2) 1 ( +1)(2 1) = ，
当 ≥ 0 时，由 ′( ) < 0，得 0 < < 12；由
′( ) > 0 > 1，得 2，
1 1
函数 ( )在(0, 2 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增；
当 2 < < 0 时，由 ′( ) < 0 0 < < 1 > 1 1 1，得 2或 ；由
′( ) > 0，得2 < < ，
函数 ( )在(0, 1 1 1 12 ), ( , + ∞)上单调递减，在( 2 , )上单调递增；
当 = 2 时， ′( ) ≤ 0，且当 = 12时取等号，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 < 2 时，由 ′( ) < 0，得 0 < < 1 > 1 1 1 或 2；由
′( ) > 0，得 < < 2，
函数 ( )在(0, 1 ), (
1
2 , + ∞)上单调递减，在(
1 , 1 2 )上单调递增，
所以当 ≥ 0 时，函数 ( )在(0, 12 )
1
上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增；
1 1 1 1
当 2 < < 0 时，函数 ( )在(0, 2 ), ( , + ∞)上单调递减，在( 2 , )上单调递增；
当 = 2 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
< 2 ( ) (0, 1当 时，函数 在 ), (
1
2 , + ∞)
1 1
上单调递减，在( , 2 )上单调递增．
(3)由(2)知，当 = 2 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，则 ( )最多一个零点；
2 < < 0 ( ) = 1当 时， 在 2处取得极小值 (
1 ) = 12 4 + 1 + ln2 > 0，则 ( )最多一个零点；
当 < 2 时， ( )在 = 1 处取得极小值 (
1
2 ) = 1
1
+ ln( ) > 0，则 ( )最多一个零点；
当 ≥ 0 时，函数 ( ) (0, 1在 2 )
1
上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增，
( )min = (
1 ) = 12 4 + 1 + ln2 ( )
1
，要函数 有两个零点，则必有 4 + 1 + ln2 < 0，
解得 > 4 + 4ln2，此时，当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ( )趋近于正无穷大， (1) = 2 > 0，
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因此当且仅当 > 4 + 4ln2 时，函数 ( )恰有两个零点，
所以实数 的取值范围是 > 4 + 4ln2．
19. (1) ∵ e = = 1解： 2，
∴ = 2 , = 3
2 2
设椭圆的标准方程为3 2 + 4 2 = 1，即 4
2 + 3 2 = 12 2，
∵过点 (3,2)，
∴ 36 + 12 = 12 2,
∴ 2 = 4
∴
2
+
2
椭圆的标准方程为12 16 = 1；
(2)由题意可知直线 的斜率存在，且不过点 (3,2)，
设直线 的方程为 = + (3 + 2 ≠ 0)， ( 1, 1) , ( 2, 2)，
= +
由 2 24 2 + 3 2 = 48消去 整理得(3 + 4) + 6 + 3
2 48 = 0，
+ = 6
2
1 2 3 2+4， =
3 48
1 2 3 2+4 ，
= 48(12 2 + 16 2) > 0，
∵ + = 1 2 + 2 2 1 3
= 0，
2 3
∴ 1+ 2 2+ 2 3 + 3 = 2 + (3 + 2)(
1 1
1 2 1 3
+ 3 ) = 0，2
∴ 2 + (3 + 2) 1+ 2 6 3( + )+9 = 0，1 2 1 2
2
将 1 + 2 =
6 3 48
3 2+4， 1 2 = 3 2+4 代入整理得( 2)(3 + 2) = 0，
∴ = 2，
又因为 = 48(64 2) > 0，
解得： 8 < < 8，
= 1 |8 | | | = 3三角形 的面积 2 1 2 8 (64
2)(8 )2，
令 ( ) = (64 2)(8 )2, 8 < < 8，
导函数 ′( ) = 4(8 )2(4 + )，
当 ∈ ( 8, 4)， ′( ) > 0，
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当 ∈ ( 4,8)， ′( ) < 0，
增区间为( 8, 4)，减区间为( 4,8)，
∴当 = 4 时，三角形 的面积取得最大值，最大值为 18．
第 9页，共 9页

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