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广东省东莞市石龙中学 2026 届高三上学期第一次教学质量自查
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 0 < < 2}， = { ∈ N | 1| ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. { 2, 1,0,1,2}
2 3+ i.若复数1+2i的实部与虚部的和为 3，则 =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.已知关于 的不等式 2 + + < 0 的解集为 1 < < 2 ，则关于 的不等式 2 + + 1 > 0 的解集
为( )
A. ∞, 12 ∪ (1, + ∞) B.
1
2 , 1
C. 1, 12 D. ( ∞, 1) ∪
1
2 , + ∞
4.已知等比数列 675 的各项均为正数，且 1 6 = 3 ，则log3 1 + log3 2 + + log3 6 =( )
A. 2014 B. 2024 C. 2025 D. 2026
5.已知正实数 , 满足 + = 1，则下列说法不正确的是( )
A. 1 +
1 1
的最小值是 4 B.
2 + 2的最大值是2
C. + 1的最大值是 2 D. 的最大值是2

6.设函数 ( ) = e + ，若方程 ( ) = 2 有且只有一个实数根，则 =( )
A. 1 ln2 B. 2 ln2 C. 1 + ln2 D. 2 2ln2
7.已知函数 ( )的定义域为 ，其导函数为 ′( )，对任意 ∈ ， ′( ) > ( )恒成立，且 (1) = 1，则不
等式 ( ) > 的解集为( )
A. (1, + ∞) B. [1, + ∞) C. ( ∞,0) D. ( ∞,0]
8.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成
长”.将数列 1,4 进行“美好成长”，第一次得到数列 1,4,4；第二次得到数列 1,4,4,16,4； ，设第 次“美
好成长”后得到的数列为 1, 1, 2, , , 4，记 = log4 1 1 2 4 ，则下列说法错误的是( )
A. 2 = 5 B. = 2 1

C. +1 = 2 + 1 D.
3 +1
数列 的通项公式为 = 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知等差数列 的前 项和为 ，若 35 > 0， 36 < 0，则下列结论正确的是( )
A.数列 是递增数列 B. 18 > 0
C.当 取得最大值时， = 18 D. 18 > 19
10.为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高三年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了 100 名学生，
将他们的身高划分成了 、 、 、 、 五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出
的信息是( )
A.样本中 层次身高的女生多于男生
B.样本中 层次身高的学生人数占总人数的 17％
C. 27以频率估计概率，从该地区高三学生中任取 4 人，恰有 2 人身高属于 层次的概率是128
D.已知样本中学生的身高情况为：男生样本平均数 175，方差为 120，女生样本平均数 165，方差为 120，
则总体样本方差为 125
11.已知函数 ( ) = e 1 ln ( ∈ )，则( )
A.若 = 1，则 ( ) ≥ 1
B. ( )可以有 2 个极值点
C.若 ≤ 0，则 ( )是增函数
D.若 ( ) = ( 1) 有两个零点 1, 2，则 > e
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.(1 + 2 )(2 1 )
5展开式中的常数项是 ．
13 1+ln .已知函数 ( ) = ，其单调增区间为 ；
14.现有 ( > 2, ∈ N )个相同的袋子，里面均装有 个除颜色外其他无区别的小球，第 ( = 1,2,3, …, )个
袋中有 个红球， 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球(每个取
7
后不放回)，若第三次取出的球为白球的概率是16，则 = ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
DeepSeek 是由中国杭州的 DeepSeek 公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高
DeepSeek 的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek 培训．培训结束之后，公司举行了一次 DeepSeek
专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从 8 道题中随机抽取 4 道作答，答对
3 道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
(1)若这 8 道题中甲能答对其中 5 道，计算甲进入决赛的概率；
(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答 3 道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励 300 元；若答对 2 道题目
则获得二等奖，奖励 150 元；若答对 1 道题目则获得三等奖，奖励 50 元；若全部答错则没有奖励．若甲
2
答对每道题目的概率均为3，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为 ，求 的分布列及数学期望．
16.(本小题 15 分)
设 是等差数列， 是等比数列， 1 = 1 = 1，且 2 2 = 3 3 = 1．
(1)求 与 的通项公式；
, = 2 1, ∈
(2)设 = 1 ，求 的前 2 项和 2 ．
log2 log
, = 2 , ∈
2 +2
17.(本小题 15 分)
冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生
“体能达标”的情况，从高二年级 12 个班学生中每班随机选出 5 名学生参加“体能达标”测试，并且规定
“体能达标”测试成绩小于 60 分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人
数的 5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．
(1)已知某班级的 5 名学生中，甲、乙 2 位同学体能预测不合格，从这 5 名学生中抽取 2 名，记 为抽取的
2 名学生中体能合格的人数，求随机变量 的分布列
(2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制
( 2一方获胜三局则本轮比赛结束).假设甲同学每局比赛获胜的概率均为3，求甲在一轮比赛中至少比了四局并
获胜的条件下，前 2 局比赛均获胜的概率；
(3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布
, 2 .已知 = 74, = 7，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格 附： ( < < + ) =
0.6826, ( 2 < < + 2 ) = 0.9544, ( 3 < < + 3 ) = 0.9974．
18.(本小题 17 分)
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已知数列 满足 1 = 5， +1 2 = 3 ( ∈ )，记 = 3 ．
(1)求证： 是等比数列；
(2) 2 +1 设 = ，数列 的前 项和为 .若不等式( 1) < + 2 1对一切 ∈
恒成立，求实数 的取

值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2ln 4 ， ∈ R．
(1)当 = 0 时，求 ( )图象在 = 1 处的切线方程；
(2)若不等式 ( ) ≥ 3 + 1 2 172 4 2ln 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ( )有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 128
13.(0,1)
14.8
15.【详解】(1)记 为甲在预赛答对的题数，则 的取值为 1,2,3,4，
3 1
( = 3) = C5C3 = 3 ( = 4) = C
4
5 = 1，
C4 7 C4
，
8 8 14
记甲进入决赛为事件 ，
3 1 1
则甲进入决赛的概率为 ( ) = ( = 3) + ( = 4) = 7+ 14 = 2．
(2)由题可知 的取值为 0,50,150,300，
3 2
所以 ( = 0) = C33 ×
1
3 =
1 1
27， ( = 50) = C3 ×
2 1
3 × 3 =
2
9，
2 3
( = 150) = C2 2 1 4 3 2 83 × 3 × 3 = 9， ( = 300) = C3 × 3 = 27，
所以 的分布列如下：
0 50 150 300
1 2 4 8
27 9 9 27
( ) = 0 × 1 + 50 × 227 9 + 150 ×
4
9+ 300 ×
8
27 =
500
3 (元)，
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500
即甲获得奖金的数学期望为 3 元．
16.【详解】(1) 是等差数列，设公差为 ， 是等比数列，设公比为 ，则 ≠ 0，
因为 1 = 1 = 1， 2 2 = 3 3 = 1，
2 2 = 1 + = 1
所以 3 3 = 1 + 2 2 = 1
，解得 = = 2 或 = = 0(舍去)
所以 = 1 + 2( 1) = 2 1， 1 = 2 ；
2 1, = 2 1, ∈
(2) = 1 ,
( 1)( + 1) , = 2 , ∈
2 = 1 + 2 + + 2 = 1 + 3 + + 2 1 + 2 + 4 + + 2
1 1 1
= (1 + 5 + + 4 3) + 1 × 3 + 3 × 5 + + (2 1)(2 + 1)
(1+ 4 3) 1 1 1 1 1 1
= 2 + 2 1 3+ 3 5 + + 2 1 2 + 1
= 2 2 + 1 1 2 2 1 2 +1 = 2 + 2 +1．
17.【详解】(1)由题意 的可能取值为 0,1,2，
2 1 1 2
所以 ( = 0) = C2 = 1 , ( = 1) = C3C2 32 10 2 = 5 , ( = 2) =
C3 = 3，
C5 C5 C
2
5 10
所以 的分布列为
0
1 2
1 3 3
10 5 10
(2)令事件 表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件 1表示“甲以 3: 1 获胜”，事件 2表示“甲
以 3: 2 获胜”，事件 表示“甲前 2 局比赛均获胜”，
1 2 3 8 2 3
所以 1 21 = C3 × 3 × 3 = 27 , 2 = C4 ×
1
3 ×
2 16
3 = 81，
所以 ( ) = 1 + 2 =
8
27+
16 40
81 = 81，
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2 2 2 2 ( ) = 3 ×
1 × 2 2 1 2 323 3 + 3 × 3 × 3 = 243，
32
所以 = ( ) 243 4 ( ) = 40 = 15；
81
(3)由已知有 = 74, = 7，所以 (60 < < 88) = ( 2 < < + 2 ) = 0.9545，
1 1
所以 ( < 60) = ( > 88) = 2 1 (60 < < 88) = 2 × (1 0.9545) ≈ 0.02275 < 5％，
所以高二年级学生体能检测合格．
18.【详解】(1)由已知，∵ +1 2 = 3 ，
∴ +1 = 3 + 2 ，∴ +1 = 3 ， +1 = +1 3 = 3 + 2 3 × 3 = 2 2 × 3 = 2( 3 ) =
2 ，
又∵ 1 = 5，∴ 1 = 1 31 = 5 3 = 2，
∴ 数列 中任意一项不为 0， +1 = 2，
∴数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
(2)由第(1)问知， = 2 × 2 1 = 2 ，
2 +1 3 5 7 2 +1
则 = 2 ，所以 = 2 + 22 + 23 + . . . + 2 ①，
1
2
3 5 7 2 +1
= 22 + 23 + 24 + . . . + 2 +1 ②，
所以① ②可得：
1 1
1 = 3+ 2 + 2 + + 2 2 +1 = 3 + 2
1
2 1 2 +1
2 2 22 23 2 2 +1 2 1 1 2 +1
，
2

所以 = 5 (2 + 5)
1
2 ．

由( 1) < + 2 1，得( 1) < 5 (2 + 5)
1 + 2 2 1，
1
化简得( 1) < 5 1 2 ．
< 5 1 1

> 5 × 1

当 为奇数时，有 2 ，即 2 5，

5 × 1 1 5 5而 2 5 = 5 × 2 5 = max 2
，所以 > 2；
1 1
当 为偶数时，有 < 5 1 2 = 5 5 × 2 ，
2
而 5 5 × 12 = 5 5 ×
1
2 =
15 15
min 4
，所以 < 4．
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5 15
综上， 的取值范围为 2 , 4 ．
19.【详解】(1) = 0 时， ( ) = 2ln 4 ，∴ (1) = 4，
∴ ′( ) = 2 4，则
′(1) = 6，即切线的斜率为 = 6．
∴ ( )图象在 = 1 处的切线方程为 = 6 + 2．
(2) ( ) ≥ 3 + 12
2 174 2ln
1 1
，即 2 ≥ 2 + 2 4，
2 +1 1
∴ ≥ 2 4
2
2+1 1
由题意，得 ≥ 2 4 2 对 > 0 恒成立．
2+1 1
令 ( ) = 2 4 2 ( > 0)，则 ≥ ( )max．
2 +1 2 2 2
2 2+12
1
′( ) = 4 (2 +1)( 1) 4 = 2 ．
由 ′( ) > 0，得 0 < < 1，∴ ( )在(0,1)上单调递增；
由 ′( ) < 0，得 > 1，∴ ( )在(1, + ∞)上单调递减．
5
所以 ( )max = (1) = 4 2，
5
故 ≥ 4 2．
(3) ( ) = ln +2 2 ln + 2 ，令 = ln + 2 ， ( ) = 2 ， ∈ R，
因 = ln + 2 是单调函数，故 ( )有两个零点，等价于 ( )在 上有两个零点．
方法 1： ′( ) = 2
①当 ≤ 0 时， ′( ) < 0，则 ( )在 上递减， ( )最多有一个零点，故不满足题意；
②当 > 0 时，
令 ′( ) > 0 可得 > ln 2 2 ，即 ( )在 ln , + ∞ 上单调递增；
令 ′( ) < 0 2 2可得 < ln ，即 ( )在 ∞, ln 上单调递减．
且当 → ∞时， → 0，则 ( ) →+∞
当 →+∞时，与一次函数相比，指数函数 = 呈爆炸性增长，故 ( ) →+∞
2 2 2
要使 ( )在 R 上有两个零点，则 ln = 2 2ln < 0，解得 ∈ 0,
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方法 2： ( )在 R 2 上有两个零点，等价于方程 ( ) = 0 有两个实根，即 = 有两个根
也等价于 = 与 ( ) = 2 图象有两个公共点
′( ) = 2(1 ) ，则可得 ( )在( ∞,1)递增，(1, + ∞)递减
且 (1) = 2 ，当 → ∞时， → 0，则 ( ) → ∞
当 →+∞时，与一次函数相比，指数函数 = 呈爆炸性增长，故 ( ) = 2 → 0
则 ( )的大致图象为
2 2
故当 ∈ 0, 时， = 与 ( ) = 图象有两个公共点，即 ( )有两个零点
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