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安徽省阜阳市临泉田家炳实验中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = |2 2 5 12 ≤ 0 , = | = log2(1 ) ，则 ∩ =( )
A. 32 , 1 B.
3
2 , 1 C.
3
2 , 1 D.
3
2 , 1
2.已知 < 1 < < < 0，则( )
A. 3 + > 0 B. 1 < 1 C. < D.
1 1
+ > +
3.下列哪个函数在定义域上是偶函数，且在( ∞,0)上单调递增( )
A. ( ) = 1 2 +1 B. ( ) = 3
+ 3 + sin
C. ( ) = 2 D. ( ) = lg(| | + 1) + 2 + 2
4.已知 1 ≤ + 2 ≤ 3, 3 ≤ 3 ≤ 2，则 5 + 2 的取值范围是( )
A. [ 51 , 67 ] B. [ 41 , 67 ] C. [ 41 , 775 5 5 5 5 5 ] D. [
51 , 775 5 ]
2
5 1.函数 ( ) = 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.若过点 (1,0)可作曲线 ( ) = 3 + 3 的三条切线，则 的取值范围为( )
A. (3,4) B. (2,3) C. ( ∞,3) ∪ (4, + ∞) D. ( ∞,2) ∪ (3, + ∞)
7.已知正数 ， 满足 2 + 2 = 8，则log16 + 2log4 的最大值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8 2.函数 ( ) = + ( + 1)( )在( 1, )上有且只有一个零点，则 =( )
A. 1 B. 13 C.
1
3 D.
1
2
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = 40.6, = 1.50.9, = lg99, = sin100°，则( )
A. > B. > C. > D. >
10.已知定义在 上的可导函数 ( )的导函数为 ( )，若 (2 + 2)为奇函数， ( + 1) + (1 ) = 2，则( )
A.函数 ( )的图象关于点(2,0)对称 B.函数 ( )的图象关于直线 = 5 对称
100
C. 4 是函数 ( )的一个周期 D. ∑ (2 1) = 200
=1
11.已知实数 , 满足 e +1 = ln = 1，则( )
A. = e B. = e +1 C. 0 < < 14 D.
5 17
2 < + < 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内
涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征，其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求.把物
体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 1℃，空气的温度是 0℃，经过 分钟后物体的温度为 ℃，满足
公式 = 0 + ( 1 0 250) ． .现将一壶水温为 90 ℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为 55 ℃时口感最
佳，若空气的温度为 20 ℃，则从沏茶开始，大约经过 分钟饮用口感最佳. (参考数据：ln 3 ≈ 1.099，
ln 2 ≈ 0.693.结果要四舍五入，精确到整数)
13.已知 , , ∈ (0, + ∞)，且 + = 1 1 1 1 ，则 + + + + + 的最小值为 ．
14 9×10
1
.已知函数 ( ) = 10 +1 ，若 ∈ [1,3], (
2 + 19) 4 > 4 ( 2)是真命题，则实数 的取值范
围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 8
已知集合 = | 2 ≤ 1 ， = | ( 3)( + 3) > 0 ．
(1)求 ∩ ， R( ∪ );
(2)请从① ( ∩ )，② R R ，③ ∩ = 中选一个并填入横线处进行解答．
已知集合 = | 6 < < 2 10 ，若满足____，求实数 的取值范围．
注：若选多个作答，则按第一个解答计分．
16.(本小题 15 分)
(1) 若2+ +

2 = 4，求( + )( + )的最大值;
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(2) > 1 > 1, > 0 + +2 –1若 ， 且 + + +1 = ，求 + + 的最小值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( )与 ( )满足对任意的 1 ∈ ，总存在 2 ∈ ，使得 ( 1) ( 2) = 成立，则称 ( )是 ( )在
区间 上的“ 阶自伴函数”，当 ( ) = ( )时，称 ( )为区间 上的“ 阶自伴函数”．
(1)若函数 ( ) = 3 +1为区间[1, ]上的“243 阶自伴函数”，求实数 的值;
(2)若 ( ) = log2(2 2 4 + 4)是 ( ) = 4 2 +1 + 2 1 在区间[0,2]上的“2 阶自伴函数”，求实数
的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + + 1， ∈ ．
(1)若 ( ) ≤ 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，求 的取值范围;
(2)当 = 1 时，证明： ( ) < e 2 + 3．
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = e 2
2 + 12 , ∈ R．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 = 1，且 ( ) = ( ) e ln 1 ．
(ⅰ)求 ( )的极值点的个数．
(ⅱ)证明：当 1 < 2，且 1 + 2 = 0 时， 1 + 2 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.52
14.( 7,4)．
15. (1) 2 8 ≤ 1 2 8 2【详解】 由 2 ，得 2 2 ≤ 0
6
，所以 2 ≤ 0，
( 6)( 2) ≤ 0
所以 2 ≠ 0，解得 2 < ≤ 6，所以 = |2 < ≤ 6 ，
由 = | ( 3)( + 3) > 0 ，得 3 < < 0 或 > 3，
所以 = | 3 < < 0或 > 3 ，
所以 ∩ = |3 < ≤ 6 ， ∪ = | 3 < < 0或 > 2 ，
R( ∪ ) = | ≤ 3或 0 ≤ ≤ 2 ．
(2)若选① ( ∩ )．
因为 ( ∩ )，所以 ，
当 2 10 ≤ 6，即 ≤ 4 时， = ，符合题意;
> 4 6 ≥ 3当 时， 2 10 ≤ 0或 6 ≥ 3，所以 4 < ≤ 5 或 ≥ 9．
综上所述，实数 的取值范围为( ∞,5] ∪ [9, + ∞)．
若选② R R ．
因为 R R ，所以 ，
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当 2 10 ≤ 6，即 ≤ 4 时， = ，符合题意;
> 4 6 ≥ 3当 时， 2 10 ≤ 0或 6 ≥ 3，所以 4 < ≤ 5 或 ≥ 9．
综上所述，实数 的取值范围为( ∞,5] ∪ [9, + ∞)．
若选③ ∩ = ．
因为 ∩ = ，所以 ，
当 2 10 ≤ 6，即 ≤ 4 时， = ，符合题意;
> 4 6 ≥ 3当 时， 2 10 ≤ 0或 6 ≥ 3，所以 4 < ≤ 5 或 ≥ 9．
综上所述，实数 的取值范围为( ∞,5] ∪ [9, + ∞)．
2 2
16.【详解】(1)( + )( + ) ≤ + + + +2 + 2 = 2 ，且2+ + 2 = 4，
所以 + 2 + = 8，所以( + )( + ) ≤ 16，
当且仅当 + = + 时等号成立，所以( + )( + )的最大值为 16．
(2) +1+ +1 1 1因为( +1)( +1) = 1 ，所以 +1+
1 1
+1 + = 1，
所以 + + = ( + 1 + + 1 + ) 1 1 1 +1 + +1 + 2
+ 1 + 1 + 1 + 1
= 1 + + 1 + + + 1 + + + 1 + + 1
+ 1 + 1 + 1 + 1
= 1 + + 1 + + 1 + + + 1 + + + 1
≥ 1 + 2 +1 +1 +1 +1 +1 × +1 + 2 × +1 + 2 × +1 = 7，
当且仅当 + 1 = + 1 = = 3，即 = = 2, = 3 时取等号，
所以 + + 的最小值为 7．
17.【详解】(1)因为函数 ( ) = 3 +1为区间[1, ]上的“243 阶自伴函数”，
所以对任意 1 ∈ [1, ]，存在 2 ∈ [1, ]，使得3 1+1 3 2+1 = 243 = 35成立，
所以对任意 1 ∈ [1, ]，存在 2 ∈ [1, ]，使得 1 + 2 = 3，即 2 = 3 1 ∈ [3 , 2]，
所以[3 , 2] [1, ]，
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3 ≥ 1
所以 ≥ 2，解得 = 2，即实数 的值为 2．
(2)当 ∈ [0,2]时，2 2 4 + 4 = 2( 1)2 + 2 ∈ [2,4]，
所以 ( ) = log2(2 2 4 + 4) ∈ log22, log24 = [1,2]，
因为 ( )是 ( )的“2 阶自伴函数”，
所以对任意 1 ∈ [0,2]，存在 2 ∈ [0,2]，使得 ( 1) ( 2) = 2 成立，
因为 ( 1) ∈ [1,2]
2
，所以 ( ∈ [1,2]，1)
所以[1,2]是 ( )在区间[0,2]上值域的子集．
当 ∈ [0,2]时， = 2 ∈ [1,4]，
令 ( ) = 2 2 + 2 1，
当 ≤ 1 时， ( )在[1,4]上单调递增，
( ) 2min = (1) = 2 , ( ) 2max = (4) = 8 + 15，
2 2 ≤ 1
所以 2 ，解得 1 2 ≤ ≤ 1； 8 + 15 ≥ 2
当 1 < ≤ 5时， ( ) = ( ) = 2 2 22 min +
2 1 = 1, ( )max = (4) = 2 8 + 15，
1 ≤ 1
所以 2 8 + 15 ≥ 2，解得 1 < ≤ 4 3；
5
当 < ≤ 4 时， ( ) = ( ) = 22 min 2
2 + 2 1 = 1, ( ) 2max = (1) = 2 ，
1 ≤ 1
所以 2 2 ≥ 2，解得 1 + 3 ≤ ≤ 4；
当 > 4 时， ( )在[1,4]上单调递减，
( ) 2 2min = (4) = 8 + 15, ( )max = (1) = 2 ，
2 2 ≥ 2
所以 2 ，解得 4 < ≤ 4 + 2． 8 + 15 ≤ 1
综上所述，实数 的取值范围为 1 2, 4 3 ∪ 1 + 3, 4 + 2 ．
18.【详解】(1)因为 (1) = + 1 ≤ 0，则 ≤ 1；
′( ) = 1 + 1 1 ，由
′( ) > 0，得 0 < < ；由
′( ) < 0，得 > ；
所以 ( ) 1在(0, )上单调递增，在(
1
, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ ( 1 ) = ln(
1
) ≤ 0，所以 的取值范围为( ∞, 1]．
(2)当 = 1 时， ( ) < e 2 + 3 等价于 ln + + 1 < e 2 + 3 ln 2，等价于 2 + 1 < e +
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ln
令 ( ) = + 1， > 0，则
′( ) = 1 ln 2 ，
由 ′( ) > 0，得 0 < < e，由 ′( ) < 0，得 > e；
所以在 ( )在(0, e)上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，所以 ( ) ≤ (e) = 1e + 1
2
令 ( ) = e 2 + ， > 0，则
′( ) = e 2 2 2，
易知函数 ′( )在(0, + ∞) 1上单调递增， ′(1) = e 2 < 0，
′(2) = 12 > 0；
故存在 0 ∈ (1,2)，使得 ′( 0) = 0 e 0 2 =
2
，即
2
，
0
且由 ′( ) > 0，得 > 0，由 ′( ) < 0，得 0 < < 0；
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ ( 0) = e 0 2 +
2
=
2 1 3
0
(1 +
0
) ≥
0 2
所以 ( ) > ( )，即 ( ) < e 2 + 3，证毕．
19.【详解】(1) ′( ) = ( + 1)e ( + 1) = ( + 1) e ，
当 ≤ 0 时，由 ′( ) > 0，解得 > 1，由 ′( ) < 0，解得 < 1，
所以函数 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增；
0 < < 1当 e时，由
′( ) > 0，得 > 1，或 < ln ，由 ′( ) < 0，得 ln < < 1，
所以函数 ( )在(ln , 1)上单调递减，在( ∞, ln )和( 1, + ∞)上单调递增；
1
当 = ′e时， ( ) ≥ 0 恒成立，所以函数 ( )在 R 上单调递增；
当 > 1e时，由
′( ) > 0，得 > ln 或 < 1，由 ′( ) < 0，得 1 < < ln ，
所以函数 ( )在( 1, ln )上单调递减，在( ∞, 1)和(ln , + ∞)上单调递增．
(2)(ⅰ)当 = 1 时， ( ) = ( ) e ln 1 = ln 1 2 + 12 2，
′( ) = ln + 1，令 ( ) = ln + 1， ′( ) = 1 1，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单
调递减，所以 ( ) ≤ (1) = 0，所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，故 ( )的极值点的个数为 0;
(ⅱ)由(ⅰ)知， ( )在(0, + ∞)上单调递减，且 (1) = 0，
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又 1 + 2 = 0，所以 0 < 1 < 1 < 2，
令 ( ) = ( ) + (2 )，0 < < 1，
则 ′( ) = ′( ) ′(2 ) = ln ln(2 ) 2 + 2，0 < < 1，
令 ( ) = ln ln(2 ) 2 + 2,0 < < 1，
则 ′( ) = 1 +
1
2 2 =
2 2
(2 ) 2 ≥ 2 = 0， +2 2
2
所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，所以 ( ) < (1) = 0，即 ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递减，所以 ( ) > (1) = 0，
所以当 0 < < 1 时， ( ) + (2 ) > 0，所以 1 + 2 1 > 0，
因为 1 + 2 = 0，所以 2 + 2 1 > 0，即 2 1 > 2 ，
因为函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，所以 2 1 < 2，即 1 + 2 > 2．
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