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安徽省合肥市肥东尚真中学 2026 届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 : ∈ (0, + ∞), e > ，则( )
A. 是假命题， : (0, + ∞), e ≤ B. 是假命题， : ∈ (0, + ∞), e ≤
C. 是真命题， : (0, + ∞), e ≤ D. 是真命题， : ∈ (0, + ∞), e ≤
2.已知复数 满足 1 + i = 1 i 2，则 的虚部为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
→ → → →
3.已知 = (2,1)， = (1, 2)，若( + λ )//(3 )，则 =( )
A. 13 B.
1 2 2
3 C. 3 D. 3
4 π π π.若 2 < < 2 , cos 2sin = 1, sin + 2cos = 2，则 cos + 3 =( )
A. 3 6 3 63 B. 3 C. 6 D. 6
5.已知正四棱锥的底面边长为 6，且其侧面积是底面积的 3 倍，则此正四棱锥的体积为( )
A. 36 3 B. 36 6 C. 72 2 D. 108 6
2 + 3 + 4, ≤ 1
6 1.已知函数 ( ) = 1 , > 1，在 2 , + ∞ 上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. 23 ,
1
3 B. ∞,
2
3 C.
2 1 1
3 , 3 D. ∞, 3
7 π.若对任意实数 ，函数 ( ) = sin + 12 ( > 0)在[ , + 4]上最少有三个不同的零点，则 的最小值为
A. π B. 3π π π4 C. 2 D. 4
8.已知实数 ， ， ， 满足 > > ，且 + + = 0， 2 + 2 = 0，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] ∪ [0, + ∞) B. ( 1,1)
C. 2, 2 D. 1 2, 1 + 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 + + .定义在(0, + ∞)上的函数 ( )，如果对任意 1, 2 ∈ (0, + ∞)，都有 1 22 ≥
1 2
2 ，且等号仅在 1 =
2时成立，则称函数 ( )为“凸函数”.下列函数是凸函数的是( )
1
A. ( ) = 2 B. ( ) = 2 C. ( ) = ln D. ( ) = e
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10.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < π)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是
( )
A.函数 ( )的值域为[ 2,2]
B. 2 π该函数的解析式为 ( ) = 2sin 3 + 6
C. 7π2 , 0 是函数 ( )图象的一个对称中心
D.函数 ( ) 11π 5π的减区间是 3 π 4 , 3 π 4 ( ∈ )
11
2
.记 1， 2分别为双曲线 : 2 3 = 1 的左、右焦点，以 1为圆心，以 的焦距为半径的圆 与 的右支交
于 ， 两点，则( )
A. 的渐近线方程为 =± 3 B. : 2 + 2 + 4 10 = 0
C. | | = 15 D. cos∠ 1 =
17
32
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.抛物线 2 = 16 上的一点 到 轴的距离为 12，则 与焦点 间的距离| | = ．
13.写出与曲线 = e 1 和 = ln + 1 都相切直线的方程： ， . (写出两条直线的方程)
14.某学习小组有男生 4 人，女生 3 人，现需从中抽取 2 人参加学校开展的 人工智能学习，则恰有一名男
生参加的概率为 ；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加 人工智能学习的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 , , 的对边分别为 , , 1，已知 恰好满足下面四个条件中的三个：①cos = 2，②cos =
12，③ = 3，④ = 1．
(1)问 满足的是哪三个条件？请列举出来，并说明理由；
(2)求 的周长．
16.(本小题 15 分)
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2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3
长轴长为 4，且椭圆 的离心率 2 ，其左右焦点分别为 1, 2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 2且倾斜角为 150°的直线 与椭圆 交于 , 两点，分别求 1 的周长和面积．
17.(本小题 15 分)
如图，在平行六面体 ′ ′ ′ ′中，∠ = ∠ ′ = ∠ ′， = = ′.设 = ， =
， ′ = ．
(1)用基底 , , ′表示向量 ；
(2)求异面直线 ′与 所成的夹角；
(3)证明： ′ ⊥平面 ′ ．
18.(本小题 17 分)
已知数列 为等差数列， 的前 项和为 , 3 = 7, 6 = 48．
(1)求数列 的通项公式；
(2) 1 1 1 2证明 + + +1 3 2 4
<
+2 15
．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln 1( ∈ )．
(1)讨论 ( )在区间(1, + ∞)内极值点的个数；
(2)若 ( )在区间(1, + ∞)内有零点 ，求证： < 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13. = ； = e 1
14.4 47； 5/0.8
15.【详解】(1) 满足的条件是①③④；
若 cos = 12 , ∈ 0, π
π
，则 = 3，
若 cos = 12 , ∈ 0, π ，则 =
2π
3，
由 + = π，则条件①和②不可能同时满足，
故③和④都满足，由 > > ，
∴ 为锐角，应有 cos > 0，从而条件②不能满足，
故 满足的条件是①③④．
(2) 1法一：由(1)可得 cos = 2 , = 3, = 1，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
∴ 1 + 2 = 3，化简得 2 2 = 0，
解得： = 2 或 = 1(舍去)，
∴△ 的周长为 3 + 3．
法二：∵ 0 < < π sin > 0 1，又 cos = 2，
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2
故 sin = 1 cos2 = 1 1 32 = 2 ．
3
由正弦定理sin = sin ，得 3 =
1
sin ，
2
∵ 为锐角，得： = π6，故 =
π
2．
由勾股定理，得 2 = 2 + 2 = ( 3)2 + 12 = 4，
∵ > 0，故 = 2，
∴△ 的周长为 3 + 3．
16.【详解】(1)由题意可知：2 = 4，则 = 2，
∵ = 3 = 2 , ∴ = 3，
∴ = 2 2 = 1，
∴ :
2
椭圆 4 +
2 = 1
(2)根据椭圆的定义， 1 的周长为 1 + 2 + 1 + 2 = 4 = 8；
其中 1 3, 0 2 3, 0 ，直线
3
的斜率为 tan150 = 3 ，
∴直线 : = 33 + 1，
2
4 +
2 = 1
联立方程组 得 7 2 8 3 = 0，显然 > 0，
= 33 + 1
设 1, 1 , 2, 2 ，则 1 + =
8 3
2 7 , 1 2 = 0，
2 2
| | = 1 + 2 3 8 3 161 2 = 1+ 3 7 4 × 0 = 7，
3× 3 +1 0
点 1到直线 =
3 = 2的距离 2 3 = 3，2
1+ 3 33
∴ 1 1 = 2 | | =
1 16 8 3
2 × 7 × 3 = 7 ．
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17.【详解】(1)已知 = ， = ′， = ，
∴ ′ = + + ′ = + + ；
(2) ∵ = = ，
2
∴ ′ = + + = + + 2
∵ = = , , = ∠ ′ = , = ∠ ′
∴ ′ = 0，∴ ′ ⊥ ，
∴异面直线 ′与 所成的夹角为 90°；
(3) ′ = ′ = ，
(2) 和 同理可得 ′ ′ = 0，即 ′ ⊥ ′，
∵ ′ ⊥ ， ′ ⊥ ′， , ′ 平面 ′ ， ∩ ′ = ，
∴ ′ ⊥平面 ′ ．
18.【详解】(1)由题意知， 3 = 1 + 2 = 7， 6 = 6 1 + 15 = 48，
解得 1 = 3， = 2，
所以 = 3 + ( 1) × 2 = 2 + 1, ∈ N ．
(2) 1 1 1 1 1因为 = (2 +1)(2 +5) = 4 2 +1 +2 2 +5
，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 + + + = 4 3 7 + 5 1 3 2 4 +2 9
+ 7 11 + + 2 1 _ 2 +3 + 2 +1 2 +5
1 1 1 1 1
= 4 3 + 5 2 + 3 2 + 5
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= 2 +215 (2 +3)(2 +5)，
∈ N +2 2 +2 2因为 ，所以(2 +3)(2 +5) > 0，则15 (2 +3)(2 +5) < 15，
1 + 1 1 2即 1
+ + < 成立
3 2 4 +2 15
19.【详解】(1)由 ( ) = ln 1， ∈ (1, + ∞)，
则 ′( ) = 1 = ，
若 ≤ 1，当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0 恒成立，
则函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，无极值点；
若 > 1，当 ∈ (1, )时， ′( ) < 0，函数 ( )在(1, )上单调递减，
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
因此 = 为 ( )的极小值点，且 ( )无极大值点．
综上所述，当 ≤ 1 时， ( )在(1, + ∞)内的极值点个数为 0；
当 > 1 时， ( )在(1, + ∞)内的极值点个数为 1．
(2)由(1)知当 ≤ 1 时，函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
因此 ( ) > (1) = 0，函数 ( )在(1, + ∞)内无零点；
当 > 1 时， ( )的单调递减区间为(1, )，单调递增区间为( , + ∞)，
则 ( ) < (1) = 0，
若 ( )在区间(1, + ∞)内有零点 ，则 ∈ ( , + ∞)，
而 ( 2) = 2 2 ln 1，设 ( ) = 2 2 ln 1 ( > 1)，
则 ′( ) = 2 2(1 + ln ) = 2( 1 ln )，
设 ( ) = 2( 1 ln ) ( > 1)，
则 ′( ) = 2 1 1 2( 1) = > 0，
所以函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
于是 ( ) > (1) = 0，即 ′( ) > 0，
则函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0，即 ( 2) > 0，又 ( ) = 0，所以 < 2．
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