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江苏省南通市海门区 2026 届高三第一次调研测试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ，集合 满足 = {2 , 6}，则 =
A. 2 , 4 , 8 B. 4 , 6 , 8 C. 4 , 8 , 10 D. 8 , 10
2.若 < < 0，则
A. 1 < 1 B.
2 > 2 C. 2 > 1 D. <
3.下列函数与函数 ( ) = sin(2 + 4 )的图象相同的是
A. = ( + ) B. = ( ) C. = ( + 2 ) D. = (

2 )
4.已知函数 ( )的定义域为 ，设甲： (2) > (1)，乙： ( )不是减函数，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.已知 > 0 , > 0， + = 1 1 2，则 + 的最小值为
A. 4 B. 5 C. 4 2 D. 3 + 2 2
6.若 是正方体 1 1 1 1的面 1 1 1 1上的一个动点，则下列结论不可能成立的是
A. // 1 B. // C. ⊥ D. ⊥ 1
7.在平面四边形 中，已知 = 5 2 , = 1 , = 3 2 , = 5， + = 180 ，则△ 的外接
圆的直径长度为
A. 4 B. 5 C. 4 2 D. 5 2
8.已知 +2 = 2 +3 3 +5 ， = ， =
5
，其中 为自然对数的底数，则
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 , 是两条不同直线， , , 是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是
A.若 ⊥ , ⊥ ，则 // B.若 ⊥ , ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ , ⊥ ，则 // D.若 // , // ，则 //
10.记△ 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若 = cos ，△ 2的面积为 2 ， = 3，则
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A. = B. 2 + 2 = 3
C. + = 2 + 1 D. sin + cos = 6+ 33
11 4 .已知函数 ( ) = 3 6 2 + 12 6 ln ，则
A. (1) + (3) = 4
B. = 2 是 ( )的极值点
C.当 6 < < 3 时， ( 2 6) < ( )
D.当 ( ) + ( ) > 4 时， + > 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若两个平行平面之间的距离为 6，一条直线与这两个平面分别交于 , 两点，线段 与其中一个平面所
成角为 30 ，则 的长度为 ．
13.若直线 = + 是曲线 = ln 的切线，也是曲线 = + 的切线，则 + = ．
14.若对于 ∈ ，总 ∈ [ 4 + , + ]
2
，使得 sin ≤ 2 ，则实数 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知函数 ( ) = sin 2 cos

2．
(1)若 ( ) = 15， ∈ (
cos
2 , )，求1+sin ；
(2)若 ( )在[0, ]上是增函数，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知偶函数 ( )与奇函数 ( )的定义域均为 ， ( ) + ( ) = 2 +1．
(1)求函数 ( )， ( )的解析式；
(2)若 ( ) = (2 ) + 2 ( )在 0, + ∞ 上有 2 个不同的零点，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， = = = 1 , = 2，∠ = ∠ = 90 ．
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(1)求证： ⊥平面 ；
(2) 3 设 为棱 上一点，若平面 与平面 的夹角的正弦值为 3 ，求 ．
18.(本小题 17 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ﹐已知 2 cos = cos + cos ．
(1)求 ．
(2)若 在 上， 平分∠ ．
( )若 = 2 , = 2 33 ，求 ；
( )若 在 上， 平分∠ ，且 + = + ，求∠ ．
19.(本小题 17 分)
(1) 1 1若函数 ( ) = ln + 在 = 处取得极值，求实数 的值；
(2)已知 ≤ 2，求证：对于任意 ≤ 0， ( 1) ≥ ( + 1)；
(3)若 31 , 2是关于 的方程 ln + = 0 的两个不等实根，求证：ln 1ln 2 ln > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13. 3
14.3 4
15.解：(1) 由题意得， ( ) = sin 2 cos 2 =
1
5，两边平方得：
2
sin cos = sin2 2sin cos + cos2
1
2 2 2 2 2 2 = 1 sin = 25 .
因此 sin = 1 1 2425 = 25，
2
又因为 ∈ ( 2 , )，所以 cos = 1 sin
2 = 1 24 725 = 25，
7cos
7
所以 = 25 = 25 11+sin 1+24 49
= 7 .
25 25
(2) 因为 ( ) = sin 2 cos 2 = 2sin( 2 4 )，
令 = 2

4，则 ∈ [ 4 , 2 4 ]，
因为 ( )在[0, ]上单调递增，

所以 = 2sin 在 ∈ [ 4 , 2 4 ]上单调递增，
因为 = sin 在[ 2 , 2 ]上递增，
3
所以2 4 ≤ 2，即 ≤ 2，
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由于 > 0，
所以 0 < ≤ 3 2．
16.解：(1)因为 ( ) = ( )， ( ) = ( )，
且 ( ) + ( ) = 2 +1 ①，
所以 ( ) ( ) = 21 ②
联立 ① ②，解得 ( ) = 2 + 2 ， ( ) = 2 2 ；
(2)由(1)得， ( ) = 22 + 2 2 + 2 (2 2 )， ≥ 0，
设 = 2 2 ，则 ( )可以化为 ( ) = 2 + 2 + 2，
因为 在 ∈ [0, + ∞)上单调递增，
所以 ≥ 0，所以 ( )在[0, + ∞)上有两个不同零点
①当 ≤ 0，即 ≥ 0 时， ( )在[0, + ∞)上递增，
因为 (0) = 2 > 0，所以不满足存在两个零点;
②当 > 0，即 < 0 时，因为 ( )在(0, )上递减，在( , + ∞)上递增，
(0) = 2 > 0
所以 ( ) < 0 ，解得 < 2，
< 0
综上， < 2．
17.解：(1)证明：因为∠ = 90 ， = = 1，所以 = 2，∠ = 45
因为∠ = 90 ，所以∠ = 45 ，
在△ 中， = 2， = 2，∠ = 45 ，
所以 = 2，则 2 + 2 = 2，即∠ = 90 ，
所以 ⊥
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面
(2)如图，以{ , , }为正交基底，建立空间直角坐标系 ，
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因为∠ = ∠ = 90 ，
所以 // ， ⊥ ， ⊥ ，
所以 (0,0,1)， (1,1,0)， (0,2,0)，
设 (0, , )， = ，
所以 = 2 2 ， = ．
因为 = (0,2 2 , )， = (1,1,0)，
= ( , , ) = 0, (2 2 ) + = 0,设平面 的一个法向量 ，所以

即
= 0, + = 0,
不妨取 = 1，则 = (1, 1, 2 2 )
平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
因为平面 与平面 的夹角的正弦值为 3，
3
|2 2 |
所以|cos < ， > | =
| | 6
| || | = =1+1+(2 2
，
)2 3
解得 = 1 12，所以 = 2．
18.解：(1) 依据正弦定理sin = sin = sin ，
所以等式 2 cos = cos + cos 可化为
2sin cos = sin cos + sin cos ，
所以 2sin cos = sin( + )，
因为 + + = ，
所以 2sin cos = sin ，
因为 ∈ (0, )，sin > 0，
所以 cos = 1 2，即 = 60 ．
(2)因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ = 30 ．
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1
△ 2 × 30

( ) = = 因为 ，△ 12 × 30
2 3
= 2所以 ，即 = 3 3 ， = 3 .
在△ 中，由余弦定理得，
( 2 33 +
3
3 )
2 = 2 + 4 2 ，即 2 5 + 4 = 0，
所以 = 1 或 = 4，
①当 = 1 时， 2 = 2 + 2，即 = 90 ，此时 = 33 ;
②当 = 4 时， 2 = 2 + 2，即 = 90 4 3，此时 = 3 ．
3 4 3
综上， = 3 或 = 3 ．
( )因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ ，
在△ ，△ = 中，sin∠ sin∠ ，sin∠ = sin∠ ，

所以 =

，即 = + ，所以 = + ，

同理， = + ．
1
因为2 × sin
+ 1 × sin 12 2 2 = 2 sin ，
2 cos
所以 = 2 + ，
因为 + = + ，
2 cos

所以 + + = + +
2
+ ，
所以 + 2 + 2 + + + = + 2 + 2 ( + )cos 2，
化简得 2 + 2 2 + 2 + = 2 ( + )cos 2．
由余弦定理 2 + 2 2 = 2 cos ，
所以 2 (cos + 1) + = 2 ( + )cos 2，
即 4 cos2 2 2( + )cos

2 + = 0，
所以(2 cos 2 )(2cos

2 1) = 0，
0 < < 2 因为 3，所以 0 <

2 < 3，则 2cos 2 1 > 0，
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所以 2 cos 2 = ．
2sin cos 由正弦定理得， 2 = sin ，即 sin = sin

2，

因为 ，2 ∈ (0, )，且 + 2 < ，所以 = 2，
所以∠ = 80 ．
19.(1) 1 1解：因为 ′( ) = 2 = 2 ，
1
因为 ′( ) = 0

，所以 1 = 0，即 = ．
当 = 时， ′( ) = 1 2 ，
∈ (0, 1 ) ( ) < 0 ∈ ( 1所以 ， ′ ， , + ∞)， ′( ) > 0，
所以满足 ( )在 = 1 处取得极值．
(2)证明：因为 ≤ 1，所以 1 ≤ 0，
所以当 ≤ 2 时， ( 1) ≥ 2( 1)恒成立．
要证任意 ≤ 0， ( 1) ≥ ( + 1)，
即证：2( 1) ( + 1) ≥ 0，
设 ( ) = 2( 1) ( + 1)，
因为 ′( ) = 1，
令 ( ) = 1，则 ≤ 0 时， ′( ) = ≥ 0，
所以 ( )在( ∞,0]递增，即 ( ) = ′( ) ≤ ′(0) = 0，
所以 ( )在( ∞,0]递减，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，即证．
(3) ln + = ln + 证明：由题意 1 21
= 0，
2

设 ( ) = ln + ，所以 ′( ) =

2 ，
因为 ( )有两个零点，故 > 0，
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
不妨设 0 < 1 < < 2，则 0 <
1 2
< 1 < ，
由(2)得，令 = ， ∈ (0,1]，2( 1) ≥ ln ( + 1)，
所以 0 < < 1，ln < 2( 1) +1 ，
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2( 1 1)
所以 1 = ln 1 = ln1
+ ln < 1 + ln ，
+1
2
化简得，(ln + 2) 1 +

+ ln > 0 ①;1
2
同理，(ln + 2) + 2 + ln < 0 ②;2
2 2 2
① ②，(ln + 2)( 1 2) >
= ( 1 2)
2 1 1
，
2
2
因为 1 2 < 0

，所以 ln + 2 < ，1 2
所以( ln 1)( ln 2) > ln + 2，
3
即证 ln 1ln 2 ln > 2 > 2．
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