资源简介

辽宁省名校联盟 2026 届高三上学期 10 月联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { 2, 1,0,1,2,3}，集合 满足 ，且 = { 1,0,2,3}，则 =
A. { 2,0,1} B. { 2,1} C. { 2} D. {1}
2.已知 为虚数单位，则|1 7 | =
A. 2 2 B. 5 2 C. 7 D. 8
3.函数 ( ) = 5sin 3+

4 图象的一条对称轴可以为
A. = 3 8 B. = 4 C. = 2 D. = 4
4 < 0 .已知 为实数，则 是 4 > 0 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知向量 ， 满足 = ( 3,1)， + 2 = (3,4)，则下列结论正确的是
A. = (2,1) B. = 2 C. ⊥ D. / /
6.某乡镇计划对一荒山区域进行植树绿化，已知该区域到 2025 年年底植树绿化面积为 10 万亩，以此值为
( = 10) = 1 30 初始值 0 0 ，该区域经过 年，到年底植树绿化面积 万亩，且 ， 满足关系式
0
2 (30 )，0
其中 为年增长率．若 2025 年以后每年的增长率均为 20%，则到 2030 年年底植树绿化面积为
A. 20 万亩 B. 18 万亩 C. 15 万亩 D. 13 万亩
7 2 4.已知曲线 = 33 + 3在点(1,2)处的切线也是曲线 = ln( 1) + 的切线，则 =
A. 1 B. 3 ln 2 C. 3 D. 3 + ln 2
8.已知 tan( 2 +
3
4 ) = 2，则 2sin(2

4 ) =
A. 17 B. 18 C. 4 D. 2425 25 5 25
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > > 0，则( )
A. 5 < 5 B. log0.6( + 1) < log0.6( + 1)
C. 3 < 3 D. +1 < +1
第 1页，共 7页
10 13.记 ， 分别为等比数列{ }的前 项和与前 项积，已知 3 = 3， 3 = 1，则下列说法正确的是
A. 2 = 1 B.数列{ }为递增数列
C. 9若 1 < 4，则 取得最小值时 = 3 D. 若 1 > 4，则 3 ≤ < 2
11.已知函数 ( )与 ( )的定义域均为 ，若 ( ) = (1 + ) ( )， ( 1)为奇函数，且 ( )在[ 1, + ∞)
上单调递增，则下列说法正确的是
A. ( 1) = 0 B. ( )的最小值为 0
C. ( 2) < 2 (1) D.若 ( ) < ( + 1)，则 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 1 的极大值为 ．
13 .已知向量 ， 的夹角为4，若 = 2，且 2
1在 上的投影向量为2 ，则
= ．
14 1.已知正数 ， 满足 2 3 + 2 = 4 2，则 + 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
5 已知点 6 , 1 ，
11
6 , 1 是函数 ( ) = cos 3 + 1( > 0)图象上两个相邻的对称中心．
(1)求 ；
(2) 1若函数 ( )在区间(0, )上的值域为 2 , 2 ，求 的值．
16.(本小题 15 分)
2
已知函数 ( ) = +1．
(1)证明：函数 ( ) = ( ) 1 的图象是中心对称图形；
(2)当 ∈ 1时，求10 = 11 + 2 的值．
17.(本小题 15 分)
如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 的中点，记 = ， = ．
(1)用 ， 表示向量 ， ；
第 2页，共 7页
(2)若 = 2，求 的值．
18.(本小题 17 分)
在正项数列{ }中， 1 = 4， +1 = 2 + 1．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 = ( 1) ，求数列{ }的前 项和 ；

(3)若不等式 1 + 1 1 + 1 1 25 11 … 1+ ≤ 18 × 10 对 ∈
都成立，求 的取值范围．
1 2
19.(本小题 17 分)
ln +1
已知函数 ( ) = 2 ．
(1)当 = 0 时，求 ( )的单调区间；
(2)若方程 ( ) = 0 存在两个不同实数根 1， 2．
(ⅰ)求整数 的取值集合；
(ⅱ) 3若 2 ≥ 4 1，求实数 的取值范围．
参考数据： ≈ 2.72， 2 ≈ 7.39， 3 ≈ 20.09， 6 ≈ 403.43， 9 ≈ 8103.08．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13. 22
14.2
15. 11 5 解：(1)由题意得 ( )的最小正周期 满足2 = 6 6 =
2
，则 = 2 ，所以 = 2 ，解得 = 1．
(2)由(1) 可知 ( ) = cos( 3 ) + 1
当 0 < < 时， 3 < 3 < 3，
1
因为 ( )在区间(0, )上的值域为( 2 , 2]，
所以 ( ) = cos( 3 )在区间(0, )上的值域为(
1
2 , 1]，
1
又 (0) = cos( 3 ) = 2， ( 3 ) = cos0 = 1，

所以 ( ) = cos( 3 ) =
1
2，
= 2 则 3 3，解得 = ．

16.(1) 2 1证明： ( ) = ( ) 1 = +1 1 = +1， ( )的定义域为 ，

( ) = 1 1

因为 +1 = +1 = ( )，所以 ( )是奇函数，
即 ( )的图象关于点(0,0)对称，
第 4页，共 7页
故 ( ) = ( ) 1 的图象是中心对称图形．
(2)解：由(1)可知 ( )的图象关于点(0,1)对称，
1 1
则函数 ( ) = ( + 2 )的图象关于点( 2 , 1)对称，
1 1
所以 ( 2 ) + ( 2 + ) = 2，即 ( 1 ) + ( ) = 2．
故10 1 = 11 ( + 2 ) =
10
= 11 ( ) = ( 11) + ( 10) + ( 9) + + (10) = [ ( 11) + (10)] +
[ ( 10) + (9)] + + [ ( 1) + (0)] = 11 × 2 = 22．
17.解：(1)由平面向量的三角形加法法则得 = + = + 1 2 ，
即 + 1 2 = ，
因为 ， 1分别是 ， 的中点，所以 = = 1 ( ) 12 2 ，即2 (
) = ，
+ 1 2 = ,联立 1 ( ) = 2 ,
解得 = 23 (
)， = 23 +
4 3 ．
2
(2)易知 = + ，所以 = ( + ) = + = 2， ①
因为四边形 为菱形，
所以| | = | | 2 2 4，即| 3 ( )| = | 3 + 3 |，所以| | = | + 2 |，
2 2 2 2
两边平方得 2 + = 2 + 4 + 4 ，整理得 = 1 2 ， ②
2 2 2
将 ②代入 ①得 1 2
+ = 2 1，则 2 = 2，
解得| | = 2．
18.(1)证明：由 +1 = 2 + 1，得 +1 = + 2 2 + 1 = ( + 1) ，
两边开方得 +1 = + 1，
所以 +1 = 1，
故数列{ }是以 1 = 2 为首项，1 为公差的等差数列．
(2)解：由(1)得 = 1 + ( 1) × 1 = + 1，
则 = ( + 1)2，
所以 +1 = ( +1 )( +1 + ) = +1 + ，
当 为偶数时， = ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 1 + )
第 5页，共 7页
= ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 1 + ) = 1 + 2 + 3 + 4 + +
= (2+ +1) =
2+3
2 2 ．
2
= + = ( 1) +3( 1) =
2+ 2 2
当 为奇数时， 2 1 2 2 ( + 1) =
3 4
2 .综上， =
2+3
2 , 为偶数,
2 3 4
2 , 为奇数.
(3) 25 1解：由题意可知18 ≥ (1 + )(1 +
1
) (1 +
1
) × (
10
11 )

1 2
= 5 × 10 × 17 × × ( +1)
2+1 × ( 104 9 16 ( +1)2 11 )
对 ∈ 都成立，
( ) = 5 × 10 × 17 × × ( +1)
2+1 10
设 4 9 16 ( +1)2 × ( 11 ) ，
5 10 17 ( +1)2+1 ( +2)2+1
( +1) 4× 9 ×16× × 2 × 2 ×(
10) +1
= ( +1) ( +2)
11
= ( +2)
2+1 × 10则 ( ) ，5×10×17 2× ×( +1) +1 10 ( +2)2 114 9 16 ×( )( +1)2 11
( +1) 2= ( +2) +1 × 10当 ( ) ( +2)2 11 > 1 时，整理得
2 + 4 6 < 0，又 ∈ ，解得 = 1，所以 (1) < (2) ( +1)，当 ( ) <
1 时，整理得 2 + 4 6 > 0，又 ∈ ，解得 = 2，3，4， ，所以 (2) > (3) > (4) > ，
故 ( )max = (2) =
5 × 10 × ( 10 24 9 11 ) ，
25
所以18 ≥ ( )max = (2) =
5 × 10 × ( 10 )2 ≥ 1004 9 11 ，解得 121，
100
故 的取值范围为[ 121 , + ∞).
19.解：(1)当 = 0 ( ) = ln +1时， 的定义域为(0, + ∞)， ′( ) =
ln
2，
令 ′( ) = 0，解得 = 1，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1, + ∞).
(2)( ) ln +1由方程 ( ) = 0 存在两个不同实数根，可知方程 = 3 在(0, + ∞)上存在两个不同实数根．
令 ( ) = ln +1 3 ( > 0)，则 ′( ) =
3ln +2
4 ，
2
当 ∈ (0, 3)时， ′( ) > 0，当 ∈ (
2
3, + ∞)时，
2 2
所以 ( )在(0, 3)上单调递增，在( 3, + ∞)上单调递减，
2 2
所以 ( )max = (
3) = 3．
第 6页，共 7页
当 > 1 时， ( ) > 0 1恒成立，且 ( ) = 0，
ln +1
由方程 = 3 在(0, + ∞)上存在两个不同实数根，可知直线 = 与 ( )的图象有两个不同交点，所以 0 <
2
< 3．
又 2 ≈ 7.39，所以整数 的取值集合为{1,2}．
2
( ) ln +1 ln +1 1由( )可知 = 1 23 = 3 ，且 < 1 <
3 < 2， 1 2
设 = 2 ， > 1
ln +1 ln +1
，将 = 1 2 32 1代入 3 = 3 ，得 (ln 1 + 1) = ln + ln 1 + 1，所以 ln 1 + 1 =
ln
1 31 2 1
．
ln
2(1 13 3ln )
令 ( ) = 3 1 ( > 1)，则 ′( ) =

( 3 1)2 ，
1 3
设 ( ) = 1 3 3ln ( > 1)，则 ′( ) =
3 3 = 3(1 ) 4 4 < 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
则 ( ) < (1) = 0，即 ′( ) < 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
3
又 2 ≥ 4 1，所以 ≥
3 4 3，所以 ( )在[ 4, + ∞)上单调递减，
( ) ≤ (3 4) = ln
3 4 3 9 9
所以 3 ，即 ln + 1 ≤
ln 4 4 1 4
1 3 ，所以 1 ≤ ，则 1 ∈ ( , ].
= ln 1+1 ( ) ( ) = ln +1
2
又 3 ，由 可知 3 在(0,
3
)上单调递增， 1
9 2
又 6 ≈ 403.43， 9 ≈ 8103.08 1 4 4，所以 6 > 9，则 3 < ，
ln +1 1 9 4 3 2 3ln2
所以 ( ) = 3 在( , ]上单调递增，则 0 < ≤ 9 ，
3 2 3ln2
故 的取值范围为(0, 9 ].
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑