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4.4 数学归纳法*
第4章
1.了解数学归纳法的原理.
2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
3.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题.
你玩过多米诺骨牌吗？你能发现它有什么特点？
图二：后续的多米诺骨牌会依次倒下吗？
图一：图中的多米诺骨牌会倒下吗？
思考：什么情况下可以使得一系列的多米诺骨牌全都倒下？
1）使开头的第一块倒下.
2）后续的多米诺骨牌间隔必须满足前一块倒下后能使得后一块也倒下.
多米诺骨牌问题中蕴含着什么样的数学思维呢？
数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:
(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等)时，命题成立；
(2)假设当n=k(k∈N+，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
对于理解数学归纳法要注意以下三点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
例1 用数学归纳法证明：若等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为an＝????1+(?????1)????①.
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证明：(1)当????＝1时，左边＝????1，右边＝????1+0×????＝????1，等式①成立.
(2)假设当????＝????(????∈????? ) 时，等式①成立，即????????＝????1+(?????1)????，
那么当????＝????+1时，有
????????+1＝????????+????＝????1+(?????1)????+????＝?＝????1+[(????+1)?1]????，
这就是说，当????＝????+1时，等式①也成立.
根据(1)(2)可知，对任何????∈?????，等式①都成立.
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归纳总结
用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点：
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项；
(3)证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
例2 用数学归纳法证明，对任意的正整数????，都有
12+22+32+…+????2 =????(????+1)(2????+1)6.
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证明： (1)当????=1时，
左边=12=1?，右边 =1×(1+1)×(2×1+1)6=1，
所以此时等式成立.
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(2)假设当????=????(k≥1)时， 等式成立，即
12+22+32+…+????2 =????(????+1)(2????+1)6.
则 12+22+32+…+????2 +(????+1)2
= ????(????+1)(2????+1)6+(????+1)2
= ????(????+1)(2????+1)(2????+3)6
= ????+1????+1+1[2(????+1)+1]6，
所以，此时????=????+1也成立，
由(1)(2)可知， 等式对任何n∈?????都成立.
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用上假设
通分、提取公因式
例3 用数学归纳法证明：122+132+142＋…＋1n2<1－1n(n≥2，n∈N*)．
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证明：(1)当n＝2时，左边＝122＝14，右边＝1－12＝12，明显14<12，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式成立，
即122+132+142＋…＋1k2<1－1k，
则当n＝k＋1时，
122+132+142＋…＋1k2+1k+12<1－1k+1k+12
＝1－k+12?kkk+12＝1－k2+k+1kk+12<1－kk+1kk+12＝1－1k+1.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
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用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：
一是直接给出不等式，按要求进行证明；
二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．
对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
归纳总结
例4 设n∈N*，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1.
(1)当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值.
(2)你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想.
解：(1)当n＝1时，f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8＝8×1；
当n＝2时，f(1)＝52＋2×32－1＋1＝32＝8×4；
当n＝3时，f(1)＝53＋2×33－1＋1＝144＝8×18；
当n＝4时，f(1)＝54＋2×34－1＋1＝680＝8×85.
(2)猜想：当n∈N*时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除.
①当n＝1时，f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8＝8×1，能被8整除，命题成立.
②假设当n＝k时命题成立，即f(k)能被8整除，
那么当n＝k＋1时，有
f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝5×5k＋6×3k－1＋1
＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)
＝f(k)＋4(5k＋3k－1)，
5k和3k－1均为奇数，它们的和(5k＋3k－1)必为偶数，从而4(5k＋3k－1)能被8整除，
这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立.
“归纳—猜想—证明”的一般环节
归纳总结
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是数学归纳法？
2.如何用数学归纳法证明一些简单的数学命题？
命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立
若 n = k (k∈N+，k ≥ n0) 时命题成立，证明当 n = k + 1 时，命题也成立
验证当 n = n0 时命题成立
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)= (n∈N+)，验证n=1时，左边应取的项是(　　)
A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4
2.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A.3k－1 B.3k＋1
C.8k D.9k
D
C
3.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，将式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为_________________________.
4.用数学归纳法证明:122+132+…+1(????+1)2>12?1????+2.假设n=k时,不等式成立，
则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　 　　　　.
?
(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
122+132+…+1(????+2)2>12?1????+3

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