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4.3.3 课时1
等比数列的前n项和
第4章
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友，(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列，1，3，9，27，81， …
如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
我们需要计算出等比数列的前20项的和，即要算出+…+ ①的值.
+…+ ①
3+…+ ②
思考：为什么要两边同时乘以 3 ？
仔细观察①式和②式的右边，你发现了什么？下一步该如何做？
在①式两边同时乘以3
×3
×3
+…+ ①
3+…+ ②
发现：①式和②式中有很多相同的项，如果作减法，则可以相互抵消.
① 可得，
因此
也就是说经过19轮传播之后，知晓这个信息的人约为17亿，比我国的总人口还多！
问题：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn.
设等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，则{an}的前 n 项和是：
Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an ，即
Sn = a1 + a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 ③
在③两边同时乘以q qSn = a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 + a1qn ④
由 ③ – ④ 得： Sn – qSn = a1 – a1qn，即 (1 – q)Sn = a1(1 – qn)；
当 q ≠ 1 时，Sn = ；
当 q = 1 时，an = a1，Sn = na1；
（错位相减法）
等比数列的前 n 项和公式：
由可得：
例1 在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝-4，公比q＝，求前10项和S10；
(2)已知a1＝1，ak＝243，q＝3，求前k项和Sk.
解：(1)根据等比数列的前n项和公式得S10＝＝.
(2)根据等比数列的前n项和公式得Sk＝＝364.
例2 在等比数列{an}中，
(1)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(2)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
解：(1)法一：由题意知
解得
从而S5＝＝.
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，从而q＝.
又因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，从而S5＝＝.
(2)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又因为Sn＝＝126，所以q为2或.
归纳总结
(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
例3 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝，S6＝，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则S6＝2S3，这与S3＝，S6＝是矛盾的，
∴q≠1，从而S3＝＝，S6＝＝，
将上面两个等式相除得1＋q3＝9，
解得q＝2，
由此可得a1＝，因此an＝×2n-1＝2n-2.
归纳总结
在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
例4 求数列1＋，2＋，3＋，…，n＋，…的前n项和Sn.
解：Sn＝(1＋)＋(2＋)＋(3＋)＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋＋…＋)
＝
＝.
1. 等比数列的前n项和公式是用什么方法推导的呢？回忆一下推导过程.
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？
2. 等比数列的前n项和公式涉及到哪些量，它们之间又有什么关系呢？
1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于(　　)
A.－25 　　　　B.25 　　　　C.－31 　　　　D.31
2.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
D
C
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1＝1，则S4等于( )
A.7 B.8 C.15 D.16
4.在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
B(共17张PPT)
4.3.3 课时2
等比数列前n项和的性质及应用
第4章
1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.
2.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.
等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝_______________
Sn＝_______________
尝试:用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n.
思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n
＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
讨论1：类比等差数列中的性质，在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)有啥关系吗？
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
讨论2：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
若等比数列{an}的项数有2n项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…
＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，
于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，
即S奇＝a1＋qS偶.
等比数列前n项和公式的性质
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).
2.当n是偶数时，S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q.
3.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).
限制q≠-1是因为当q=-1且m是偶数时,
Sm，S2m-Sm，S3m-S2m都等于0，不是等比数列.
例1 在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.
解：∵S2n＝60≠0，∴数列{an}的公比q≠-1.
∵数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n).
又Sn＝48，S2n＝60，∴(60－48)2＝48(S3n－60)，
解得S3n＝63.
例2 若等比数列{an}共有2n＋1项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_____，项数为_____.
解析：由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，∴q＝2，
又S2n＋1＝＝341＋170＝511，
解得n＝4，
即这个等比数列的项数为9.
2
9
例3 某人今年初向银行申请贷款20万元，月利率为3. 375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元
分析：对于分期付款，银行有如下规定:
(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.
为解决上述问题，我们先考察一般情形.
设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，期利率为r，
则分期付款方式可表示为
从而有x[(1＋r)n-1＋(1＋r)n-2＋(1＋r)n-3＋…＋(1＋r)＋1]＝a(1＋r)n，
运用等比数列求和公式化简得x＝，这就是分期付款的数学模型.
例4 某人今年初向银行申请贷款20万元，月利率为3. 375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元
解：设每月还贷x元，共付款12×10＝120次，
则有x[1＋(1＋0.003375)＋(1＋0.003375)2＋…＋(1＋0.003375)119]
＝200000(1＋0.003375)120，
化简得x＝≈2029.66(元)，
答：每月应还贷2029.66元.
归纳总结
(1)解应用问题的核心是建立数学模型.
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型，求解数学模型，还原实际问题.
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
根据今天所学，说说等比数列的前n项和的性质.
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于( )
A.－9 B.－21 C.－25 D.－63
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3
B
A
3.已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是( )
A.30 　　　　B.60 　　　　C.90 　　　　D.120
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座
7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____.
D
3

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