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4.3.2 等比数列的通项公式
第4章
1.掌握等比数列的通项公式及其应用.
2.体会等比数列与指数函数的关系.
问题：你能分别写出数列①②③的通项公式吗？
1，2，4，8，16，32，… ①
，… ②
1000×1.03，1000× ，…，1000×. ③
问题：你能分别写出数列①②③的通项公式吗？
1，2，4，8，16，32，… ①
用{an}表示数列①，根据等比数列的定义，
故 ，
，
，
······
由此可知数列①的通项公式为：
类似地，数列②的通项公式为：
，… ②
1000×1.03，1000× ，…，1000×. ③
数列③的通项公式为：
c
思考：请写出一般等比数列的通项公式
一般地，如果等比数列的首项为公比为那么根据等比数列的定义可知 ，
即
,
( ) ,
() ,
……
由此可归纳出等比数列的通项公式为
（方法一：迭代法）
另外，由等比数列的定义可得 ，
，
……
，
，
将这个式子两边分别相乘，则有 ，
即等比数列的通项公式为
（方法二：累乘法）
（）
（当 n = 1 时，a1= a1 = a1，即当 n = 1 时，上式同样成立.）
1.等比数列的通项公式
一般地，若等比数列{an}的首项为a1，公比为则通项公式为：
.
知三求一：等比数列的通项公式中共含有四个基本元素，即，，，，如果知道其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.
例1 在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝3，q＝-2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解：(1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(-2)6-1＝-96.
(2)设等比数列的公比为q，那么，
解得，
∴an＝anqn-1＝5×2n-1.
你还有别的方法么？
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
类比：在等差数列
试问：在等比数列中，如果知道和公比q，能否求 如果能，请写出表达式.
.
[法二]∵，即160＝20×，
∴
∴
归纳总结
等比数列通项公式的求法
①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.
②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.
例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列.
解：设插入的3个数为a2，a3，a4，
由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列，
设公比为q，则3＝243q5-1，解得q＝±，
因此所求的3个数为81，27，9或-81，27，-9.
观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝ (x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).
(2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
例3 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件.
D
归纳总结
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，数列{an}是递减数列.
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列.
判断等比数列{an}的单调性的方法
等比数列
概念
通项公式
（知三求一）
推导公式：
1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A.－ B.－2 C.2 D.
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)
A.4 B.8 C.6 D.32
D
C
3.若{an}为等比数列，则“a1A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分又不必要条件
4.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________.
5.在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝________.
－1或3
32
B

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