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4.3.1 等比数列的概念
第4章
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值.
名称
等差数列
概念
通项公式
通项变形
从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数
an=a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d(n，m∈N*)
问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律.
情境1：如图所示，有些细胞在分裂时，会中1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列
1，2，4，8，16，32，… ①
分析：用{an}表示数列①，有a2a1 = 2，a3a2= 2，···， an+1an= 2.
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情境2：《庄子》中说“一尺之棰，日取其半，万事不竭.” 其意思是:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日之后木棒的长度构成数列
12，14，18，… ②
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分析：用{bn}表示数列②，有b2b1 = 12，b3b2= 12，···， bn+1bn= 12.
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问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律.
情境3： 我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这5年中,每年年底的本息和构成数列
1000×1.03，1000× 1.032，…，1000×1.035. ③
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分析：用{cn}表示数列③，有c2c1 =1.03，c3c2=1.03，···， cn+1cn=1.03.
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问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律.
1，2，4，8，16，32，… ①
12，14，18，… ②
1000×1.03，1000× 1.032，…，1000×1.035. ③
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不难看出，上述数列①②③的共同特点是 ：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数.
an+1an= 2
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bn+1bn= 12
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cn+1cn=1.03
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问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律.
1.等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示.
在等比数列{an}中，始终有????????＋1????????=????.
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例如：数列① 1，2，4，8，16，32，…的公比就是2.
(1)等比数列定义中要注意作比的顺序，即从第2项起，每一项一定是与它的前一项作比；
(2)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，若不是同一个常数，则不是等比数列；
(3)公比????可正，可负，但不能为0，它是一个与????无关的非零常数；
(4)等比数列中的各项均不能为0；
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提醒
例1 判断下列数列是否为等比数列：
(1)1，1，1，1，1；
(2)0，1，2，4，8；
(3)1，?12，14，?18，116.
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解：(1)所给数列是首项为1，公比为1的等比数列.
(2)∵0不能作为除数，∴这个数列不是等比数列.
(3)∵116?18=?1814=14?12=?121=?12，
∴所给数列是首项为1，公比为?12的等比数列.
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例2 求出下列等比数列中的未知项：
(1)2，a，8；
(2)-4，b，c，12.
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解：(1)根据题意有????2=8????，∴a＝4或a＝－4.
(2)根据题意有?????4=????????12????=????????，解得????=2????=?1.
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归纳总结
2.等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，
那么根据等比数列的定义， G2＝ab，G＝ ，我们称G为a，
b的等比中项.
注意：(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
例3 (1)在等比数列{an}中，是否有an2＝an-1an+1(n≥2)？
(2)如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有an2＝an-1an+1，那么
数列{an}一定是等比数列吗？
解：(1)∵{an}是等比数列，∴????????+1????????=?????????????????1，即an2＝an-1an+1(n≥2).
(2)不一定，
例如，对于数列0，0，0，…，总有an2＝an-1an+1，
但这个数列不是等比数列.
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归纳总结
若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有an+12＝anan+2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性.
根据今天所学，回答下列问题：
1.等比数列的概念是什么？
2.等比中项又是什么？
1.观察下面几个数列，其中一定是等比数列的是(　　)
A.数列1，2，6，18，54，…
B.数列{an}中，已知????2????1＝2，????3????2＝2
C.数列{an}中，????????+1????????＝n，其中n∈N＋
D.数列{an}中，????????+1????????＝－1，其中n∈N＋
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D
2.(多选)已知1，a，2成等差数列，－1，b，－16成等比数列，则ab等于(　　)
A.6 　　　　B.－6 　　　　C.－12 　　　　D.12
AB
3.给出下列命题:①若 ，则-a，b，-c成等比数列(abc≠0);②若b2=ac，则a，b，c成等比数列;③若an+1=anq(q为常数)，则{an}是等比数列.其中正确的命题有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

B

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