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4.2.2 等差数列的通项公式
第4章
前面我们学习过数列的通项公式及其求法，那等差数列有没有通项公式？如果有，怎样去求出它的通项公式呢？
1.掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一元一次函数的关系.
2.能利用等差数列的通项公式进行基本的运算.
3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.
问题：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求得它的通项公式?
思路一：根据等差数列的定义可得：a2－a1=d ；a3－a2=d ；a4－a3=d ……
进而移项可得：
a2=a1+d ；
a3=a2+d= a1+2d；
a4=a3+d= a1+3d ；
……
归纳得: an=a1+(n－1)d (n≥2).
当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，公式仍然成立.
所以等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
问题：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求得它的通项公式?
思路二：a2－a1=d ；
a3－a2=d ；
a4－a3=d ；
……
an－an-1=d，n≥2 ．
把这(n－1)个式子相加可得： an－a1=(n－1)d ，即an=a1＋(n－1)d(n≥2) ．
当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，公式仍然成立.
所以等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
叠加法
求数列通项公式的一种常用方法
1.等差数列的通项公式
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为
an=a1+(n-1)d
在等差数列通项公式中，共有四个量：a1，d，n，an，知道其中任意三个量可求第四个量.
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝3，公差d＝-2，求a6；
(2)已知a3＝10，a9＝28，求an.
解：(1)由等差数列通项公式得a6＝a1＋(6－1)d＝3＋5×(-2)＝-7.
(2)设等差数列的公差为d，那么????1+2????=10????1+8????=28，
解得????1=4????=3，
∴an＝4＋(n－1)·3＝3n＋1.
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变式：从上面的求解过程可以看到：a3比a1多2个d，a9比a1多8个d，则a9比a3多6个d，即a9＝a3＋6d.若不求出a1，能求出a12吗？
解：由a9＝a3＋6d得d＝3，
∴a12＝a3＋9d＝37.
由????????=????1+(?????1)????????????=????1+(?????1)????(m，n∈N*，m≠n)，得an－am＝(n－m)d，
∴an＝am＋(n－m)d.
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例2 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算.按此规则，问:2050年举行奥运会吗?
解：由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，
∴这个数列的通项公式为an＝1896＋4(n－1)＝1892＋4n(n∈N*)，
假设an＝2050，则2050＝1892＋4n，解得n＝39.5，
∴an＝2050无正整数解，
答：按此规则，2050年不举行奥运会.
归纳总结
(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.
例3 已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1，求首项a1和公差d.
解：a1＝2×1－1＝1，a2＝2×2－1＝3，
∴d＝a2－a1＝2.
或者a1＝2×1－1＝1，d＝an+1－an＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2.
在例3中，等差数列的通项公式an＝2n－1是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点(n，an)均在直线y＝2x－1上.
思考：如果一个数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，其中k，b都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
当n≥2时，an－an－1＝(kn＋b)－[k(n－1)＋b]＝k，它为常数，
∴数列{an}是等差数列，首项为a1＝k＋b，公差为k.
等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋(a1－d)是关于n的一次式，但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数的定义域是实数集R，图象是一条直线，等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点．
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1) 点(n, an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
归纳总结
结合本节课所学，回答下列问题：
(1)如何求等差数列的通项公式？
(2)如何利用等差数列解决实际问题？
1.在等差数列{an}中，a3＋a9＝32，a2＝4，则a10等于(　　)
A.25 　　　　B.28 　　　　C.31 　　　　D.34
2.2 024是以2为首项，2为公差的等差数列的(　　)
A.第1 010项 B.第1 011项
C.第1 012项 D.第2 022项
3.已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项为( )
A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1
4.已知等差数列{an}中，d＝－13，a7＝8，则a1＝________．
?
B
C
B
10

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