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2024-2025学年山西省晋中市太谷区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根，则m的值是（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2.如图是一个积木示意图，这个几何体的俯视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.用配方法解一元二次方程x2-4x-3=0，下列配方正确的是（　　）
A. （x-2）2=7 B. （x+2）2=7 C. （x-2）2=1 D. （x+2）2=1
4.若3x=4y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A. 5
B.
C.
D.
6.下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A. 图象在第一、三象限
B. 点（-1，-6）在反比例函数的图象上
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大
D. 若点A（-2，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1＜y2
7.在△ABC中，若∠A，∠B均为锐角，且|sinA-|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（　　）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
8.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若，则△ABC和△DEF的面积比是（　　）
A. 3：5
B. 3：8
C. 9：25
D. 9：64
9.如图，点A是反比例函数图象上一点，点B是反比例函数图象上一点，点C在x轴上，若AB∥x轴，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为直线x=1.下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③关于x的方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；④当-1＜x＜3时，y＜0.其中结论正确的个数有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成.当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是______投影.（填“平行”或“中心”）
12.当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是______m3.
13.将抛物线y=（x-1）2+3向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为______.
14.如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则cos∠BAC= .
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是BC中点，点F在线段DE上，且tan∠ABF=2.则BF的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）解方程：x2+7x-18=0；
（2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程2（x-2）2=x2-4的过程，请仔细阅读并完成相应的任务.
小刚同学：
解：2（x-2）2=（x-2）（x+2）第一步
2（x-2）=（x+2）第二步
2x-4=x+2第三步
解得x=6第四步 小颖同学：
解：2（x-2）2=（x-2）（x+2）第一步
2（x-2）2-（x-2）（x+2）=0第二步
（x-2）（2x-4-x+2）=0第三步
x-2=0或x-2=0第四步
解得x1=x2=2第五步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误.错误的原因是______；
②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误.错误的原因是______.
任务二：直接写出该一元二次方程的解.
17.(本小题7分)
一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回.搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球次数 50 100 200 400 1000 2000
摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666
摸到白球的频率 0.360 0.350 0.360 0.325 0.332 0.333
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为______（精确到0.01），由此估计出袋子中红球有______个；
（2）现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率.
18.(本小题8分)
如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（-2，4），B（m,-2）两点，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出：当y1＜y2时，x的取值范围.
（3）连接OA、OB，则△AOB的面积为______.
19.(本小题8分)
太谷饼又称“金钟饼”、“桂圆饼”等，是山西省晋中市太谷县的特色传统名点，也是国家地理标志产品.“太谷饼”具有甜而不腻、酥而不碎，味美鲜香等特点，以其香、酥、绵、软而闻名全国，已经有300多年的历史.它的制作技艺已被列入非物质文化遗产名录，享有“糕点之王”的美称.某特产专卖店购进太谷饼进行销售，进价为每箱30元，该专卖店将销售价定为每箱售价不得低于40元且不得高于55元.根据以往的销售经验，当每箱售价为40元时，每月可以卖出100箱，销售价每箱每提高5元，每月销售量就会减少10箱.若该专卖店销售这种太谷饼想平均每月获利1600元，每箱太谷饼应定价为多少元.
20.(本小题8分)
太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一.某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 太谷白塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升80m至点P，测得塔的顶端A的俯角为17°；
2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行61m至点C，然后沿垂直方向上升20m至点Q.此时，测得塔的顶端A的俯角∠DQA=45°，图中各点均在同一竖直平面内.
测量示意图
请根据以上测量数据，求太谷白塔AB的高度（结果精确到0.1m,参考数据：（sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）.
21.(本小题12分)
阅读与思考下面是某数学学习小组写的一篇研究小论文，请你认真阅读，并完成相应任务.
用尺规作图将线段三等分
尺规作图起源于古希腊数学家们对几何原理的研究和应用，是使用无刻度的直尺和圆规、并且只准许使用有限次，以解决不同的平面几何作图问题.我们利用尺规作图，可以把线段两等分，也可以把线段三等分.
探究一：已知：线段AB，如图1.
求作：点C、点D，使点C、D在线段AB上，且AC=CD=BD.
作法：①作射线AO.（如图2）
②在射线AO上依次截取线段AM、MN、NL使AM=MN=NL，连接LB.
③分别过点M、N作平行于LB的直线交AB于点C、D.
则点C、D为所求的点.
探究二：已知：如图3，AO是△ABC的一条中线.
求作：点N，使点N在线段AO上，且AO=3ON.
作法：①作AB边的垂直平分线交AB于点M.
②连接MC交AO于N.
则点N为所求的点.
任务：
（1）“探究一“作图的依据是______；
（2）①按照“探究二”的作法，在图3中作出点N.
②在“探究二”中，AO=3ON.请说明理由.
（3）已知：在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A（2，3）和B（8，-1）.请直接写出线段AB的三等分点C的坐标.
22.(本小题10分)
【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离.【知识背景】“道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离.
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止.
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由.
23.(本小题12分)
综合与探究
【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动.
如图1，勤奋小组准备了矩形纸片ABCD，AC与BD交于点O.将矩形纸片ABCD折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕AE，AE与BD相交于点F.如图2，阳光小组准备了正方形纸片ABCD，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在点E处，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，连接EF，EG.
【猜想发现】
（1）如图1，△BFE是______三角形，∠EBF= ______°；如图2，△BGF是______三角形.
【深入探究】
（2）如图2，试探究线段BG和线段EF之间的数量关系和位置关系，并说明理由.
【拓展延伸】
（3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片ABCD折叠，使点A与点F重合，折痕为PQ.连接PF，交BD于点M，请直接写出AB，BM，PQ三条线段之间的关系式.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】平行
12.【答案】
13.【答案】y=（x+1）2+3
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】x1=-9，x2=2；
任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式（x-2）；②三，去括号时，括号前面是负号，（x+2）中的2没有变号；任务二：x1=2，x2=6
17.【答案】0.33，2；

18.【答案】y1=-x+2，；
-2＜x＜0或x＞4；
6
19.【答案】50元．
20.【答案】太谷白塔AB的高度约为43.6m．
21.【答案】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
①如图3.1，点N即为所求；
②如图3.2，O，M分别是BC，AB中点，连接OM，
∴OM为△ABC中位线，
∴，
∴△ONM∽△ANC，
∴，
∴AO=3ON；
线段AB的三等分点C的坐标为或
22.【答案】解：（1）设y关于t的函数解析式为y=at2+bt+c,将（0，0），（1，27），（2，48）代入得，
，
解得：，
∴y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t；
（2）由（1）得y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t,
当t=4时，y=-3×42+30×4=72，
∴汽车刹车4s后，行驶了72米；
（3）由（1）得y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t,
∴y=-3t2+30t=-3（t-5）2+75，
∴当t=5时，汽车停下，行驶了75米，
∵75＞70，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
23.【答案】直角，30；等腰；
BG∥EF且BG=EF，理由见解析；
2 BM2+AB2=PQ2．
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