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2025-2026学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ， = { | 2 + 2 < 3}， = { | 2 ≤ 0}，则 ∩ ( ) =( )
A. { | 3 < < 0} B. { | 3 < ≤ 0} C. { | 3 < < 2} D. { |0 ≤ < 1}
2.命题“ > 0， 2 + 3 ≥ 0”的否定是( )
A. > 0， 2 + 3 < 0 B. < 0， 2 + 3 ≥ 0
C. > 0， 2 + 3 < 0 D. ≤ 0， 2 + 3 ≥ 0
3.下列五个写法：①{0} ∈ {1,2,3}; ② {0};③{0,1,2} {1,2,0}; ④0 ∈ ; ⑤0 ∩ = ，其中错误写法
的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.设 = 2 ( 2) + 7， = ( 2)( 3)，则 与 的大小关系是( )
A. > B. = C. < D.无法确定
5.设全集 是实数集 ， = { | 1 ≤ ≤ 5}， = { | ≥ 2}，则阴影部分所表示的集合是( )
A. { | 1 ≤ < 2} B. { |2 ≤ ≤ 5} C. { | 1 < ≤ 2} D. { | 1 ≤ ≤ 2}
6.下列说法中，错误的是( )
A.若 2 > 2， > 0 1 1，则 <
B. 若 2 > 2，则 >
C. > > 0 + 若 ， > 0，则 + >
D.若 > ， < ，则 >
7.在 上定义运算 : = + 2 + ，则满足 ( 2) < 0 的实数 的取值范围为( )
A. { |0 < < 2} B. { | 2 < < 1}
C. { | < 2 或 > 1} D. { | 1 < < 2}
8 1 4 .若两个正实数 ， 满足 + = 1，且不等式 + 4 <
2 3 有解，则实数 的取值范围是( )
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A. { | 1 < < 4} B. { | < 0 或 > 3}
C. { | 4 < < 1} D. { | < 1 或 > 4}
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .(多选)若对于任意 > 0， 2+3 +1 ≤ 恒成立，则实数 的取值可以是( )
A. 1 1 1 15 B. 10 C. 2 D. 3
10.(多选)下面选项中正确的有( )
A.命题“ ≥ 2， 2 ≥ 4”的否定是“ < 2， 2 < 4”
B.命题“ ∈ ， 2 + + 1 < 0”的否定是“ ∈ ， 2 + + 1 ≥ 0”
C.“ > 1 1”是“ < 1”的充要条件
D.设 ， ∈ ，则“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的必要不充分条件
11.下列说法中正确的是( )
A.若不等式 2 + + < 0 的解集为{ | 1 < < 2}，则必有 > 0
B.函数 = 2 + + 的零点就是函数图象与 轴的交点
C.若不等式 2 + + > 0 的解集是{ | < 21或 > 2}，则方程 + + = 0 的两个根是 1， 2
D.若方程 2 + + = 0 没有实数根，则不等式 2 + + > 0 的解集为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 12.设集合 = { +3 ∈ | ∈ }，则集合 的真子集个数为 ．
13.已知 ， 都是正实数，且 + 2 = ，则 + 的最小值为 ．
14.已知 1 ≤ ≤ 2，2 ≤ + ≤ 4，则 4 2 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { | ≤ ≤ 3 2 }．
(1)若( ) ∪ = ，求实数 的取值范围;
(2)若 ∩ ≠ ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知命题 ： ∈ ， 2 6 + 2 = 0，当命题 为真命题时，实数 的取值集合为 ．
(1)求集合 ；
(2)设集合 = { |3 2 ≤ ≤ 1}，若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
已知二次函数 = 2 2 + 2 1( ∈ )．
(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 2 2 + 2 1 ≥ 0;
(2)若关于 的方程 2 2 + 2 1 = 0 的两个实数根均大于 2 且小于 4，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工
厂，于今年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的
总收入为 50 万元．若该设备使用 年，则其所需维修保养费用 年来的总和为 2 2 + 10 万元，设该设备
产生的盈利总额(纯利润)为 万元．
(1)写出 与 之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到 30 万元以上；
(2) 盈利总额该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大 最大值是多少 (年平均盈利额 = )
使用年数
19.(本小题 17 分)
设函数 = 2 + ( 2) + 3．
(1)若不等式 > 0 的解集为{ | 1 < < 3}，求 ， 的值；
(2)若 = 1 时， = 2， > 0， > 1 1，求 +
4
+1的最小值；
(3)若 = ，求不等式 ≤ 1 的解集．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.63
13.2 2 + 3．
14.[5,10]
15.解：(1) ∵ = { |0 ≤ ≤ 2}，∴ = { | < 0 或 > 2}，
若( ) ∪ = ，
3 2
则 0 ，解得 0，
3 2 2
∴实数 的取值范围是( ∞,0]；
(2)若 ∩ = ，则 ，
当 = 时，则 3 2 < ，解得 > 1,满足 ，
当 ≠ 时， 1,
0
∴当 ,则 3 2 2 1，解得 1，
1 2
1
综上， 的取值范围为[ 2 , + ∞),
1 1
故当 ∩ ≠ 时 的范围为[ 2 , + ∞)的补集，即( ∞, 2 ).
故实数 1的取值范围为( ∞, 2 ).
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16.解：(1)若命题 是真命题， ∈ ， 2 6 + 2 = 0，
即有 = 36 4 2 ≥ 0，解得 3 ≤ ≤ 3，即集合 = { | 3 ≤ ≤ 3}；
(2)若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，则 ，
= 3 2 > 1 > 1当 时， ，解得 2，符合题意，
3 2 ≤ 1
当 ≠ 时，则有 3 2 ≥ 3 1 1，解得 3 ≤ ≤ 2，
1 ≤ 3
1
所以实数 的取值范围为[ 3 , + ∞)．
17.解(1) ∵二次函数 = 2 2 + 2 1 有两个互为相反数的零点，
∴方程 2 2 + 2 1 = 0 有两个互为相反数的实数根，设为 1， 2 ∴ 1 + 2 = 0．
由根与系数的关系可得， 1 + 2 = 2 = 0，解得 = 0．
∵ 2 2 + 2 1 ≥ 0，
∴ 2 1 ≥ 0，解得 ≥ 1 或 ≤ 1.
∴该不等式的解集为{ | ≥ 1 或 ≤ 1}．
(2) ∵ = ( 2 )2 4( 2 1) = 4 2 4 2 + 4 = 4 > 0，
∴ ∈ ，该方程总有两个不相等的实数根.
∵方程的两个实数根均大于 2 且小于 4，
2 < 2 2 < 4,
∴ 2 + 4 + 3 > 0, 解得 1 < < 3．
2 8 + 15 > 0,
∴实数 的取值范围是{ | 1 < < 3}．
18.解：(1)依题意， = 50 2 2 + 10 98 = 2 2 + 40 98 > 0 ，
由 2 2 + 40 98 ≥ 30，得 2 20 + 64 0，
即 4 16 ≤ 0，解得 4 ≤ ≤ 16，
所以使用 4 年后，盈利总额开始达到 30 万元以上．
2
(2) 2 +40 98 49 49平均盈利额为 = 2 + + 40 ≤ 2 × 2 + 40 = 12，
= 49当且仅当 , = 7 时等号成立，
所以使用 7 年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为 12 万元．
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19.解：(1) ∵不等式 2 + ( 2) + 3 > 0 的解集为{ | 1 < < 3}，
∴ 1 和 3 是方程 2 + ( 2) + 3 = 0 的两个实根，且 < 0，
2 = 2 = 1
从而有 3 ，解得= 3 = 4
；

(2) ∵ 2 = + 2 + 3，∴ + + 1 = 2，
又 > 0， > 1，
1 4 1 1 4
所以 + +1 = 2 + +1 ( + + 1) =
1
2 (5 +
+1 + 4 +1 )
≥ 1 (5 + 2 +1 4 92 · +1) = 2，
+1 4 = 2 ,
当且仅当
= +1 , 即 3 时等号成立，
+ + 1 = 2, = 13
1 + 4 9所以 +1的最小值为2．
(3)因为 = ，可得 = 2 ( + 2) + 3 ≤ 1，
即可得 2 ( + 2) + 2 ≤ 0，即( 1)( 2) ≤ 0，
①当 = 0 时，不等式即为 2 + 3 ≤ 1，解得[1, + ∞)；
②当 < 0 时，方程( 1)( 2) = 0 2的根 1 = 1， 2 = < 0，
故不等式的解集为( ∞, 2 ] ∪ [1, + ∞);
③当 > 0 2时，方程( 1)( 2) = 0 的根 1 = 1， 2 = > 0，
( )当 = 2 2，即 = 1 时，即可得{1}；
( )当 > 2 2 2，即 < 1 时，即可得[ , 1]；
( )当 0 < < 2 2，即 > 1 时，即可得[1,
2
]；
综上所得，当 = 0 时，不等式 ≤ 1 的解集为[1, + ∞)；
2
当 < 0 时，不等式 ≤ 1 的解集为( ∞, ] ∪ [1, + ∞)；
当 0 < < 2 2时，不等式 ≤ 1 的解集为[1, ]；
当 = 2 时，不等式 ≤ 1 的解集为{1}；
当 > 2 2时，不等式 ≤ 1 的解集为[ , 1]．
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