资源简介

2025-2026学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的定义域为( )
A. B.
C. ， D.
5.已知全集，集合，，则正确的关系是( )
A. B. C. D.
6.已知，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，若有解，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数关于函数的结论正确的是( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 若，则的值是 D. 的解集为
10.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为
D.
11.已知，为正实数，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则实数的值为 ．
13.设，则 ．
14.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合则 ；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求及；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设命题：实数满足，命题：实数满足．
若，且命题和都是真命题，求实数的取值范围；
若命题是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场．已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，且每万台的销售收入万元与年产量万台的函数关系式近似满足：
写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式；年利润年销售收入总成本
当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润．
18.本小题分
已知函数．
若的解集为，求的值；
若不等式的解集为，求的取值范围；
若不等式对一切恒成立，求的取值范围；
19.本小题分
已知函数．
若，求当时的值域；
若，求不等式的解集；
若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，则，
或，或；
若，则，
若，则或，
综上可得，或，
即实数的取值范围为：或．
16.解：实数满足，其中，
，所以
当时，
命题实数满足
由于与均为真命题，
；
故的取值范围是：
是的必要不充分条件，则即由得不到，而由能得到，
所以
所以，
实数的取值范围是：．
17.解：由题意，年销售收入为万元为年产量，单位：万台，
总成本为固定研发成本万元加每台元的变动成本，
当时：
当时：
综上，年利润函数解析式为：
当时：
是开口向下的二次函数，对称轴为，
因对称轴在区间右侧，故在上单调递增，
最大值为：
当时：
当且仅当即满足时，等号成立。
此时：
因，故当年产量为万台时，利润最大，最大利润为万元。
18.解：
由题意得即，整理得．
因为不等式解集为，所以二次函数开口向下，且方程的根为和．
根据韦达定理，根的和为，解得：
验证根的积：，符合条件，且满足开口向下要求．
故：
由得 ，整理得．
当时，不等式变为，对所有恒成立；
当时，需满足开口向下且判别式。计算判别式：
由得，结合得．
综合得．
需满足对恒成立，分情况讨论：
当时，，在区间内，不满足；
当时，开口向下，端点、，不满足；
当时，开口向上，对称轴为．
若对称轴在区间内，由，得，
在 顶点处取最小值为，
因为 ，所以，由题则需要 即，又，所以
对称轴不在区间内时，若，解得，
此时 在 处取最小值且 ，故不合题意；
对称轴不在区间内时，若，得，显然错误．
综上，．
19.解：当时，，
配方得，其对称轴为，且，
所以最小值为；
，不在区间内。
因此，在上的值域为；
即，
当时，即，解得：，所以不等式的解集为：；
当时，即，，不等式的解集为：；
当时，即，
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为．
综上：当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
时，令，
则存在，有四个不等实根，
即有四个不等实根，
令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；
则存在，有两个不等正根，
则，存在，，
即存在，，
即，且存在，，
时，时最大值为，
则，
由及 ，
所以实数的取值范围是．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑