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【2025.10】高二上月考数学试卷-淄博四中
一、单选题
1．已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）.
A． B． C． D．
2．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
6．羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局比赛中，甲先发球．则比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率为（ ）
A．0.144 B．0.336 C．0.304 D．0.216
7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥，则 B．若事件A，B相互独立，则A，B不互斥
C．若，则事件A，B相互独立 D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为
10．在一个不透明的袋子中，装有大小 材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则
C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则
11．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得∥面
B．存在点，使得面
C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为
D．若为面的中心，则的最小值为
三、填空题
12．已知向量在向量上的投影向量是，且，则 ．
13．两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在同一层离开电梯的概率是 .
14．在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 ．
四、解答题
15．已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求：
(1)A与B互斥； (2)A与B独立； (3)A包含于B.
16．已知，，．
(1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值．
17．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
(1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率．
(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
18．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，．
①写出一个等可能的样本空间；
②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平．
19．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，
（i）求平面PDM与平面BDM的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
《【2025.10】高二上月考数学试卷-淄博四中》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B D B A B ABC BCD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解.
【详解】与点关于平面对称的点是(4, 3,2)；
故选：D
2．A
【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果.
【详解】选项A，若，，共面，则存在实数使得，即，得到共面，与已知矛盾，所以A正确；
选项B，因为，所以，，共面，所以B错误；
选项C，因为，所以，，共面，所以C错误；
选项D，因为，所以，，共面，所以D错误.
故选：A.
3．B
【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得.
【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为：
，共10个样本点，
其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个.
所以数字之和是偶数的概率为.
故选：B
4．B
【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件.
【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，
所以，即是的必要不充分条件，
故选：B.
5．D
【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得．
【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误；
对于B，由，得，则，解得，故B错误；
对于C，由，得，，，则或，故C错误；
对于D，由，得，，，则，故D正确.
故选：D．
6．B
【分析】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立，记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，则事件发生表示事件或或发生，利用事件的独立性和互斥事件即可求解.
【详解】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立．
记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，
则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥．
又，，
．
由互斥事件概率加法公式可得
．
综上，3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336，
故选：B．
7．A
【分析】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可.
【详解】，
∴，
∴.
故选：A.
8．B
【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
【详解】因为直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，所以两两垂直，
以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，
设直线与直线所成角为，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：B
9．ABC
【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可判断A；利用独立事件与互斥事件的定义可判断B；利用独立事件的定义计算可判断C；利用对立事件概率的性质计算可判断D.
【详解】对于A，若事件A，B互斥，则，故A正确；
对于B，若事件A，B相互独立，则，
所以事件A，B能同时发生，故A，B不互斥，故B正确；
对于C，由于，所以，而.
因此事件，B相互独立，从而事件A，B相互独立，故C正确；
对于D，“事件A，B至少有一个发生”的对立事件为“事件A，B都不发生”，即“事件”，
又因为事件A，B相互独立，
所以事件A，B至少有一个发生的概率，故D不正确.
故选：ABC.
10．BCD
【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可.
【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为，
若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点，
其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点，
第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点，
第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点，
第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点，
所以，，故A错误；
因为事件有，其中包含6个样本点，
所以，故B正确；
若不放回抽取，则样本空间为
，共含有20个样本点，
因为事件有，其中包含6个样本点，
所以，故C正确；
因为事件有，其中包含14个样本点，
所以，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值.
【详解】由题意，
在正方体中，棱长为4，
动点在正方体表面上（不包括边界），
连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接，
建立空间直角坐标系如下图所示，
，
∴，
∴∥，
∵面，面，
∴∥面，
∴当点在处时，面，
∴存在点，使得∥面，故A正确；
B项，在面中，，
设面的法向量为，
即，解得，
当时，，
若面，则，，
∵动点在正方体表面上，
∴，此时，与重合，
∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误；
C项，因为，与的夹角为，
所以与所成的角为，
则
由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即），
在中，，，，
∴，
∴点的轨迹长度为：，C正确；
D项，为面的中心，作点关于平面的对称点，
连接，当最小时，，
∴，，
∴，D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入公式计算即可.
【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量是，
所以，即，所以，
故答案为：.
13．
【分析】根据题意，2人离开电梯的情况有81种，在同一楼层离开的有9种，从而可求概率.
【详解】由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有9种，
则两人在同层离开电梯的概率为
故答案为：
14．/
【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值.
【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.
因为点是棱的中点，所以.设，其中，
连接，则，，
所以点到直线的距离
．
设，，则，
所以．
所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为.
故答案为：.
15．(1)0.3
(2)0.6
(3)0.8
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式计算即得；
（2）利用独立事件的概率乘法公式结合随机事件的概率加法公式计算即可；
（3）由条件可得，利用随机事件的概率加法公式计算即得.
【详解】（1）当A与B互斥时， ，故；
（2）当A与B独立时，，因，
代值可得，解得；
（3）当A包含于B时，，由可得.
16．(1)9
(2)
(3)
【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题．
【详解】（1）
（2），，,，
设与的夹角为，则．
（3），，
根据，
解得．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；
（2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.
【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目”
“乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得，
， ，
， ，
设为 “甲、乙两人共答对5道题目”，
则，因为与互斥，与，与分别相互独立，，
所以甲、乙两人共答对5道题目的概率．
（2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立，
，
E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥，
与，与分别相互独立，
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率
18．(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3.
(2)①答案见解析；②不公平
【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数.
（2）①根据题意，列出样本空间即可；
②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断.
【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个，
由题意：.
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3.
（2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同.
②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6.
根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为，
从而乙获胜的概率为：.
因为，所以这个游戏不公平.
19．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可．
【详解】（1）取的中点N，连接，
如图所示：为棱的中点，，
，
∴四边形是平行四边形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而，
∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
为棱的中点，
（i），
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
，
∴平面PDM与平面BDM的余弦值为；
（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，则，
由（2）知平面的一个法向量为，，
∴点Q到平面的距离是，
．
答案第1页，共2页

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