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2.4 用因式分解法求解
一元二次方程
第二章 一元二次方程
问题导入
2. 我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) =0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解。你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？
1. 因式分解的基本方法有哪些
提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）
目标导学
学习目标
1.了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法；
3.因式分解法是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”思想、“转化”思想，并了解这种转化思想在解方程中的应用。
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x ,但他们的解法各不相同。
自主探究
因式分解法解一元二次方程
小颖：
方程x2=3x两边
同时约去x,得
x=3.
所以这个数是3.
小明：
由方程x2=3x,得
x2-3x=0,
即x(x-3)=0.
于是x=0,或x-3=0.
因此x1=0,x2=3.
所以这个数是0或3.
小亮：
他们做得对吗？为什么？
由方程x2=3x，得
x2-3x=0
因此,得
x1=0,x2=3.
所以这个数是0或3.
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
要点归纳
因式分解法的概念
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，就可以用前面的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 2) = 0；
(1) x1 = 0，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
(4) m2 = m.
(4) m1 = 0，m2 = 1.
例1 解下列方程：
解：(1)原方程可变形得
5x2-4x=0
∴ x(5x-4)=0.
导学互动
(1)5x2=4x;
因式分解法的基本步骤
一移：使方程的右边为 0；
二分：将方程的左边因式分解；
三化：将方程化为两个一元一次方程；
四解：写出方程的两个解。
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解.
x=0,或5x-4=0
例1 解下列方程：
(2) 解：原方程可变形得
（x-2）(x-1)=0. （用提取公因式法进行因式分解）
解得
∴x-2 = 0 或 x - 1 = 0.
导学互动
(2)x(x-2)=x-2
x(x-2) -（x-2）=0
整体思想
想一想
你能用因式分解法解下列方程吗？
x -4=0 （x+1） -25=0
平方差公式：a -b =（a+b)(a-b）
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.
方法总结
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
灵活选用适当的方法解方程
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边含公因式,所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
解：开平方，得
5x + 1 = ±1.
解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1.
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，则用公式法.
解：配方，得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62，
即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，
x2 =
解：整理成一般形式，得
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵Δ = b2 - 4ac = 28 > 0，
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0，a ≠ 0)，应选用直接开平方法；
2. 若常数项为0(ax2+bx =0，a ≠ 0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0，a ≠ 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法.此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
要点归纳
一元二次方程的解法选择基本思路
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0；
④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8；
⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
检测固学
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解：因式分解，得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0，
2.解方程：
解得
因式分解
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
课堂小结

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