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华师大一附中2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
2025.9
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．不等式的解集为________．
2．已知事件、相互独立，事件发生的概率为，事件发生的概率为，则事件发生的概率为________．
3．设，其中为虚数单位，则的虚部等于________．
4．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．
5．若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为________．
6．已知向量，，则在方向上的投影为________．
7．若为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是________．
8．设，，，则的最小值为________．
9．已知9个小球的编号为1，2，…，9，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，
若这三个编号成等差数列，则共有________种不同的摸取方法．
10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线：与在第一象限交于点，且，则的离心率为________．
11．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面．坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛建三段栈道、与，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米．
12．空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13.若为实数，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间
（单位：小时），其中为常数．在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量从个单位增加到到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）.
A．2 B．4 C．20 D．40
15．如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（ ）．
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线相交，直线平面
C．直线与直线平行，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
16．设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（ ）
A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知平面，，为等边三角形，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数．
（1）求的严格增区间；
（2）设为锐角三角形，角，，所对的边分别是，，，，，若，求的面积．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率；
（3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过椭圆的右焦点，、是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；
（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线、、的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围．
21．（本题满分18分，第1题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求正整数的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面．坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛建三段栈道、与，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米．
【答案】
【解析】连接，由半圆半径为1得：，由对称性，设，
又，，所以，
易知，所以的长为，
又，故，故，
令，且，则
所以，
所以栈道总长度最小值．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.B 15.A 16.C
16．设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（ ）
A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个
【答案】C
【解析】∵长为的线段均能构成三角形，
当时，有，即，
又，∴，即恒成立；
当时，有，即，
∴，解得，，
当时，有，即，，即解得
综上，，∴满足条件的有3个．故选C.
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过椭圆的右焦点，、是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；
（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线、、的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由可得，从而椭圆方程为．
（2）由于四边形是菱形，因此且.
由对称性，在线段上．因此，分别关于原点对称；
并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即
设，与椭圆方程联立可得，
设，因此．
由，可得,
解得，即直线方程为．
（3）设，由，可得即．
化简可得，即．
若，则经过，不符，因此．
联立直线与椭圆方程，.
因为①；由，可得，②
将②代入①，；再由，
可得，．
21．（本题满分18分，第1题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求正整数的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1） （2）的值为0或3； （3）
【解析】（1）∵切线斜率为，
又，切点为，切线方程为
（2）∵，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，
∴在区间上存在一个零点，此时；
∴在区间上存在一个零点，此时．
综上，的值为0或3；
（3）函数，
,
由得，
解得
构造函数,），,
∴在上单调递减；所以当时，，
的最大值为．

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