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洋泾中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
2025.9
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设全集，集合，则________．
2．已知复数，其中为虚数单位，则________．
3．函数的定义域为________．
4．现有如下9个数据：20，24，6，15，18，10，42，57，2，则这批数据的第25百分位数为________．
5．在的二项展开式中，含项的系数为________．（结果用数值表示）
6．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________．
7．若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________．
8．在各项为正数的等比数列中，，，则________．
9．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为________．
10．已知点是双曲线左支上一点，，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是________．
11．在中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是________．
12．对于函数，若关于的方程，恰有个实数根，则称函数为“”函数．①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有________个．
二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13．设，是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
14．已知函数，下列说法中正确的是（ ）．
A．函数的图像关于点中心对称；
B．函数的图像关于直线对称；
C．函数的图像可由的图像向右平移个单位得到；
D．方程在上有两个不相等的实数根．
15．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A．与是对立事件 B．与是互斥事件
C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件
16．已知函数的定义域为，集合．若函数使得，则（ ）．
A．可能为奇函数 B．可能在处取最小值
C．可能是增函数 D．可能在处取极小值
三、解答题（14+14+14+18+18）
17（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知．
（1）若函数的图象过点，解不等式；
（2）存在实数使得、、成等差数列，求的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
“堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且．
（1）当米时，求的长；
（2）当点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．
（1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标；
（2）若，证明：；
（3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“-距离”．
（1）若，请直接写出相应的集合；
（2）设，且存在实数，使得直线的“-距离”不小于1，求的取值范围；
（3）设的导函数在上严格增，若对任意，都有且直线与的“距离”相等，证明：是偶函数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.C 14.D 15.D 16.B
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）米 （2）在弧中点位置时，的面积最大，最大值为平方米
20．（1）
（2）证明：因为，设的方程为，
直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以
，
因为，
所以，
同理得，因为，所以，
因为，所以，则；
（3）证明：设直线的方程为，
因为直线过点，所以，①
设，直线的方程为，
因为直线过点，所以，②
直线的方程为，
联立①②，可得，所以，
此时直线的方程为即
则直线恒过点．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）的值域是，即对任意
若，当时，，
会存在使，不满足成立；
当时，，也会存在使，不满足条件，所以，
当时，要对任意恒成立，因最小值为-1，故，
则；
（2）由题意，直线的距离为函数的最小值，
令，则，故当时函数严格递增，无最小值．
从而，且当时严格递减，当时严格递增．
因此直线的距离为．
令，则，同上可知当时最大，
从而,；
（3）证明：对任意给定的，
记其中常数，
则由严格递增，
当时，严格递减；当时，严格递增，
故，即恒成立，
所以是直线的－距离．
于是且是直线的距离．
记，则恒成立，
于是，即，故．
由的任意性知，，故，即是偶函数．

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