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市二2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
2025.9
一、填空题
1．已知集合，，则________．
2．已知集合,，则________．
3．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则________．
4．已知，则________．（请用含的代数式表达）
5．，则的解集为________．
6．已知，，若，则满足条件的的取值范围是________．
7．已知，，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为________．
8．已知，集合，，若且，则实数的取值范围为________．
9．已知集合．现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），集合中的最大元素小于集合中的最小元素的概率为________．
10．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________．
11．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是________．
12．已知函数，存在实数，，…，使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是________．
二、选择题
A． B． C． D．以上都不对
14．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（ ）．
A． B． C． D．
15．已知集合，若对于任意实数对，存在，
使成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①；②；③；④；其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．设函数，，对于实数、，给出以下命题：
命题；命题；命题．下列选项中正确的是（ ）
A．、中仅是的充分条件； B．、中仅是的充分条件
C．、都不是的充分条件； D．、都是的充分条件
三、解答题
17．记函数的定义域为，的定义域为．
（1）求集合；
（2）若，求，的取值范围．
18．记代数式，．
（1）当时，求使代数式有意义的实数的集合；
（2）若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围．
19．如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线，为公园边界．已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米），曲线的轨迹方程为：．计划修一条与湖边相切于点的又有直路（宽度不计），直路与公园边界交于点两点，把人工湖围成一片景区．
（1）若点坐标为（1，3），计算直路的长度；（精确到0.1千米）
（2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值．（精确到0.1平方千米）
20．已知函数（为常数），。
（1）若，写出函数的定义域及单调减区间；
（2）当时，若，，试用，表示；
（3）已知，当且仅当时，等号成立．设，证明：存在唯一的正实数，使得．
21．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”，
（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为对于任意，都有
所以，即
故令函数，
所以函数在区间上单调递增，
所以当，显然满足，
当时，函数的对称轴为，故需满足，解得，
当函数的对称轴为，故需满足3，解得，
综上，实数的取值范围是，
12．已知函数，存在实数，，…，使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】设
，则，
当时，，，则，显然存在任意正整数使得成立；
当时，，则，要使得正整数的最大值为8，
则，解得；
当时，，
则，显然存在任意正整数使得成立；
当时，，则，要使得正整数的最大值为8，则,解得．
综上，实数的取值范围是．
二、选择题
13.C 14.B 15.D 16.D
15．已知集合，若对于任意实数对，存在，
使成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①；②；③；④；其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意知，若集合是＂垂直对点集＂，
则对于任意，存在，，使成立，
因此①，
其图象向左向右和轴无限接近，向上和轴无限接近，
据幕函数的图象和性质可知，在图象上取一点，连，过原点作的垂线必与的图象相交，即一定存在点，使得成立，
故是＂垂直对点集＂；
②，取，则不存在点，
满足，因此不是＂垂直对点集＂；
③，其图象过点，且向右向上无限延展，向左向下无限延展，据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点，连，过原点作的垂线必与的图象相交，即一定存在点，使得成立，
故是＂垂直对点集＂；
④，在图象上任取一点，连，过原点作直线的垂线，因为的图象沿轴向左向右无限延展，且与轴相切，
因此直线总会与的图象相交，
故是＂垂直对点集＂，
综上可得：只有（1）（3）（4）是＂垂直对点集＂．故选：D．
16．设函数，，对于实数、，给出以下命题：
命题；命题；命题．下列选项中正确的是（ ）
A．、中仅是的充分条件； B．、中仅是的充分条件
C．、都不是的充分条件； D．、都是的充分条件
【答案】D
【解析】令，．
易知，是奇函数，在上单调递增，是偶函数，在上单调递增，
在上单调递减，且．
命题：当，即时，0．
由，得是的充分条件．
命题：当，即时，，即，
此时根据命题，可以推出；
当，即时，易知当时，为增函数，
∴当时，，
又
综上，是的充分条件，故选D.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）5.6千米 （2）6.2平方千米
20．已知函数（为常数），。
（1）若，写出函数的定义域及单调减区间；
（2）当时，若，，试用，表示；
（3）已知，当且仅当时，等号成立．设，证明：存在唯一的正实数，使得．
【答案】（1）定义域，单调减区间为
（2） （3）证明见解析
【解析】（1）当时，
根据对数函数的定义域，可得，即（，解得或
所以函数的定义域为.令，则.
因为在上单调递增，所以求的单调减区间，
即求在定义域内的单调减区间.
对求导，得.令，即，解得.
结合函数的定义域，可得的单调减区间为
（2）当时，，因为，所以5，
根据对数的运算性质，可得
因为，所以
（3）已知，其定义域为
对求导，得
令，即，解得，
当时，单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，
又因为，
所以在上存在唯一的正实数，使得
21．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”，
（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是 （2） （3）
【解析】（1）时，，
此时不存在，使得，
故根据＂2阶自伴函数＂的定义可知，不是区间上的＂2阶自伴函数＂；
（2）由函数为区间上的＂1阶自伴函数＂，所以，且对任意，总存在唯一的，使得成立，即2成立，则，所以，
所以，解得；
（3）由函数在上的值域为
因为是在区间上的＂2阶伴随函数＂，则对任意的，总存在唯一的时，使得成立，
所以，即在区间上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的．
又因为函数开口向上，对称轴为，
①当时，在上单调递增，所以，解得；
②当时，在上单调递减，所以，解得；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
综上，的取值范围是．

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