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闵中东校2025-2026学年第一学期高一年级数学月考
2025.9
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知全集，则 ．
2．已知集合，则 ．
3．不等式的解集为 ．
4．＂＂是＂＂的 条件．（填＂充分不必要＂或＂必要不充分＂或＂充要＂或＂既不充分也不必要＂）
5．不等式的解集为，则 ．
6．已知全集，集合，则下列文氏图中阴影部分的集合为 ．
7．已知集合，集合，若，则实数的值是 ．
8．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
9．若集合，且，则所有取值构成的集合为 ．
10．若关于的不等式组的解集不是空集，则满足条件的最大整数 ．
11．已知集合，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．
12．用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，若，则的所有可能取值构成集合，则 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．下列说法正确的是（ ）.
A． B． C． D．
14．己知，则下列不等式中一定成立的是（ ）.
A． B． C． D．
15．已知方程的两根分别为，则（ ）.
A． B．1 C． D．
16．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为（ ）.
A．508 B．512 C．1020 D．1024
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第2小题5分）
设全集，求
（1）； （2）； （3）．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合．
（1）若，求；
（2）若＂＂是＂＂成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少0.1万件．设销售单价为元．第一年获利万元．（年获利年销售额-生产成本-投资）
（1）试写出与之间的函数关系式；
（2）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于11.3万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知．
（1）当时，求时的取值范围；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（3）当时，解关于的不等式；
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知集合为非空数集，定义：
（1）若集合，求集合：
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.充分不必要; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知集合，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．
【答案】
【解析】因为，则只需考虑下列三种情况：
因为，则，
又因为，则
因为，则且，可得，
所以，解得．故答案为：．
12．用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，若，则的所有可能取值构成集合，则 ．
【答案】
【解析】由得或，即，
因为，所以或，
方程可整理为
当时，即方程组只有一个解，则即,当时，即方程组有三个解，显然时不成立，所以，即方程有两个不同的解，
①当方程只有一个实根时，，解得，
②当方程有两个不同实根时，，
解得或，显然不是的实根，
则是方程其中一个实根，则，
解得，综上所述，.故．故答案为5．
二、选择题
13.C 14.C 15.B 16.B
15．已知方程的两根分别为，则（ ）.
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】据题意得，所以.故选：B.
三、解答题
17.（1） （2） （3）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知．
（1）当时，求时的取值范围；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（3）当时，解关于的不等式；
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）当时，时，则，解得,
所以的取值范围是；
（2）①当，即时，原不等式化为，
所以解集为，不合题意；
②当，即时，即的解集为，
则有，解得，所以的取值范围是；
（3）不等式
即，即
当时，即时，不等式化为，解得；
当时，有，解方程，得或1；
①当，又，得时，即时，有，
则解不等式，得或；
②当，即时有，
解不等式，得；
所以，当时，解集为或;当时，解集为；
当时，解集为．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知集合为非空数集，定义：
（1）若集合，求集合：
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值．
【答案】（1），； （2）证明见解析 （3）最大值为1350．
【解析】（1）由的定义，可得，；
（2）证明：取，则，而且
故又而均为中元素且非零，
故即，故；
（3）设，其中，不妨设，
则
所以，因为
又因为，所以中最小的元素为0，最大的元素为，，所以，，
实际上当时满足题意.
证明如下：设，
则，，
由题意可得，解得，故的最小值为675，
于是当时，中元素最多，即时满足题意．
综上，可得集合中元素的个数的最大值为1350．

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