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高桥高中2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
2025.9
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设集合，，则________
2．已知，且在第一象限，则________．
3．复数（为虚数单位），则________．
4．在二项式的展开式中，的系数为________．
5．已知随机变量服从正态分布，且，则________．
6．不等式的解集是________．
7．已知，，且，则的最大值为________．
8．从1，2，3，…，15中甲、乙两人各任取一数（不重复），甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是________．
9．若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________．
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于、两点（在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为________．
11．设函数，则使得成立的实数的取值范围________．
12．已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．
13．观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（ ）
A．①②③ B．①③② C．③①② D．②①③
14．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．充要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要
15．对于函数，给出下列结论：
（1）函数的图像的关于点对称；（2）函数在区间上严格增；（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数为偶函数，则，；（4）曲线在处的切线的斜率为1，则所有正确的结论有（ ）个
A．0 B．1 C．3 D．4
16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响。书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺．
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
18．已知在中，角、、的对边分别为、、，若且．
（1）求角、、的大小；
（2）设函数，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离．
19．某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“A通识通关—B综合拓展—C创新提升”三层动态题库，且A，B，C三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同．
（1）现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作合，求这4人中至少有2人的选题来自Ｂ层的概率；
（2）先采用分层抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步以编，记录老师选到A层题的题数为，求的分布与期望．
20．已知抛物线的焦点恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长等于．
（1）求抛物线及椭圆的标准方程；
（2）过点作两条直线，，且，的斜率之积为．
①设直线交抛物线于，两点，交抛物线于，两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另外一个交点分别为，，求面积的最大值．
21．已知曲线和，它们的图像分别为曲线和．
（1）求函数和的最大值；
（2）证明：曲线和有唯一交点；
（3）设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】解法一：设，
故
因为，所以，所以，
所以，故的取值范围是．
解法二：设，，在单位圆中作图如图所示，
将的起点放在圆心处，则的终点在弧上（不包含两点），计算可得，假设的终点分别与重合，此时取到临界值，
故的取值范围是．
解法三：
．
因为，所以，则，
故，又，所以，则，
所以，故的取值范围是．
二、选择题
13.B 14.B 15.C 16.C
16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响。书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，
所以外接球的半径为，外接球的表面积．
故选：C．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）分布列如下，
20．已知抛物线的焦点恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长等于．
（1）求抛物线及椭圆的标准方程；
（2）过点作两条直线，，且，的斜率之积为．
①设直线交抛物线于，两点，交抛物线于，两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另外一个交点分别为，，求面积的最大值．
【答案】（1） （2）① ②
【解析】（1）因为，所以右顶点为
即抛物线的焦点，则，故抛物线方程为．
因为抛物线的通径的长等于，所以，
则，即，则椭圆的标准方程为，
（2）①设，代入，消元得
设，则
则
又同理可得
②设人，代入椭圆方程
消元得，即
则
同理得，
所以
因为当且仅当时，等号成立），
令，则，
所以
对于在上是增函数，
则当，即时，，则，
即面积的最大值为．
21．已知曲线和，它们的图像分别为曲线和．
（1）求函数和的最大值；
（2）证明：曲线和有唯一交点；
（3）设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列．
【答案】（1）最大值为的最大值为 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）对求导，根据求导公式，其中，
可得
令，即，因为，所以1，解得
当时，单调递增；
当时，单调递减
所以在处取得极大值，也是最大值，
对求导，根据求导公式，其中，
可得
令，即，因为，所以，解得
当时，单调递增；
当时，单调递减
所以在处取得极大值，也是最大值，
因此，的最大值为的最大值为
（2）令，其定义域为
对求导，
当时，；当时，
由零点存在定理可知，在上存在零点
又因为在上单调递减，所以在，上有且仅有一个零点，
即曲线和有唯一交点.因此，曲线和有唯一交点.
（3）因为直线与曲线共有三个不同交点，所以
由可得，即
由可得，因为，所以
又因为，所以，两式相除可得
所以，即成等比数列.因此，成等比数列

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