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1.1 集合的概念
第1课时　集合的概念
学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义,能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
知识归纳
知识点一　元素与集合的概念
1.元素:一般地,我们把 统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些 组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是 的.
集合中的元素特征
(1)确定性:给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
(3)无序性:集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换.
知识点二　元素与集合的关系
1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 .
2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作 .
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 有理 数集
符号 N 或N+ Z Q R
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写.
(2)0∈N.
基础自测
1.下列各项中,不能组成集合的是(　　)
[A]所有正数
[B]方程x2=1的实数根
[C]接近于0的数
[D]不等于0的偶数
2.(人教A版必修第一册P5练习T2改编)下列给出的元素与集合的关系,其中正确的个数为(　　)
①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
3.若“maths”中的字母构成一个集合,则该集合中的元素有 个;若“element”中的字母构成一个集合,该集合中的元素有 个.
4.已知集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若集合P与Q相等,则a= .
题型一　集合的基本概念
[例1] (多选)考查下列每组对象,能构成集合的是(　　)
[A]中国各地的美丽的乡村
[B]直角坐标系中横、纵坐标相等的点
[C]不小于3的自然数
[D]我省2025年参加高考的学生
(1)判断研究对象是否能构成集合,关键在于能否满足确定性、互异性、无序性,同时还要注意集合中的元素具有广泛性,即任何一组确定的对象都可以组成集合,数、式、图形等都可以作为集合中的元素.
(2)若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中元素的顺序不一定一一
对应.
[变式训练] (多选)下列各组中集合P与Q相等的是(　　)
[A]P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
[B]P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
[C]P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
[D]P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x(x+1)(x-1)=0的解构成的
集合
题型二　元素与集合的关系
[例2] (多选)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项中属于集合M的是(　　)
[A]0 [B]
[C] [D]3-1
判断元素与集合的关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
[变式训练] 用符号“∈”或“ ”填空:
(1)0 N*, N*,(-1)0 N*;
(2)设集合B是由小于的全体实数构成的集合,则2 B,1+ B;
(3)若面积为2的正方形的边长为a,则a Q.
题型三　由集合中元素的特征求参数
[例3] 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-2是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
由集合中元素的特征求参数的一般步骤
(1)根据集合中元素的确定性,解出参数的所有值.
(2)根据集合中元素的互异性,对解出的值进行检验,舍去不符合题意的参数取值.
(3)写出所有符合题意的参数取值.
[变式训练] 已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2∈A,求实数x的值.第2课时　集合的表示
学习目标　1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
知识归纳
知识点一　列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
(1)元素间用“,”隔开.
(2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可.
(3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
知识点二　描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
(1)写清集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)语言简明、准确,不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}.
(4)对于元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系看,若x∈R是明确的,则x∈R可以省略,只写其元素x.如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1或x>1}.
(6)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集},{R}都是错误的.
(7)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数},{实数}等.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P5习题1.1 T2改编)方程x2-3x+2=0的所有实数根组成的集合为(　　)
[A]{x=1,y=2} [B](1,2)
[C]{1,2} [D]{(1,2)}
【答案】 C
【解析】 解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,解集为{1,2}.故选C.
2.已知集合M={1,5,9,13,17},则M=(　　)
[A]{x|x=2n+1,n∈N,n≤8}
[B]{x|x=2n-1,n∈N,n≤9}
[C]{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}
[D]{x|x=4n-3,n∈N,n≤5}
【答案】 C
【解析】 因为集合M={1,5,9,13,17},根据集合中5个元素的特点知x=1+4n,n∈N,n≤4,所以{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}.故选C.
3.若集合A={-a,|a|},则a应满足(　　)
[A]a>0 [B]a<0
[C]a=0 [D]a≤0
【答案】 A
【解析】 由元素的互异性可知|a|≠-a,所以a>0.故选A.
4.已知集合M={(2,-2),2,-2},则集合M中元素的个数是　　　　.
【答案】 3
【解析】 集合M中有3个元素,分别是(2,-2),2,-2,注意(2,-2)是一个元素.
题型一　用列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合:
(1)不小于-5的所有负整数组成的集合A;
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合B;
(3)直线y=2x+2与x轴的交点所组成的集合C;
(4)由所有正奇数组成的集合D.
【解】 (1)A={-5,-4,-3,-2,-1}.
(2)因为方程x2+x=0的解为x=-1或x=0,所以B={-1,0}.
(3)由得即所求交点为(-1,0),所以C={(-1,0)}.
(4)正奇数有1,3,5,7,…,所以D={1,3,5,7,…}.
适合用列举法表示的集合的特征
(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,但排列呈现有一定规律的集合.
(3)元素特征不容易统一表述的集合,例如{2,x2+3,π}.
[变式训练] 用列举法表示下列集合(只写出结果):
(1)中国国旗的颜色名称组成的集合;
(2)满足-3≤x<3且x∈Z的元素x组成的集合;
(3)15的正约数组成的集合;
(4)方程组的解集.
【解】 (1){红色,黄色}.
(2){-3,-2,-1,0,1,2}.
(3){1,3,5,15}.
(4){(1,2)}.
题型二　用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)在自然数集内,小于1 000的奇数组成的集合;
(2)二次函数y=2x2+1的图象上所有的点组成的集合;
(3)二次函数y=2x2+1的函数值组成的集合;
(4)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合.
【解】 (1){x|x=2n+1且x<1 000,n∈N}.
(2){(x,y)|y=2x2+1,x∈R}.
(3){y|y≥1,y∈R}.
(4){(x,y)|x<0且y>0,x∈R,y∈R}.
用描述法表示集合的步骤
(1)写出代表元素:弄清楚集合的元素是数、点还是其他形式,一般地,数用字母表示,点用有序实数对表示.
(2)明确元素的特征:语言力求简明、准确,对代表元素以外的字母要指出其含义或取值范围.
(3)用花括号括起来:一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
(2)不等式2x-3>5的解集.
【解】 (1)设大于1的偶数为x,并且满足条件x>1,x=2k,k∈N.
因此,这个集合表示为A={x|x>1,x=2k,k∈N}.
(2)由2x-3>5可得x>4,故不等式2x-3>5的解集为{x∈R|x>4}.
题型三　由集合元素个数求参数
[例3] 已知集合A={x∈R|(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
【解】 (1)若A中只有一个元素,则方程(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0有且只有一个实数根.
①若解得a=1,此时方程为4x+1=0,解得x=-,即集合A中的元素是-.
②若无解.
综上所述,若A中只有一个元素,则a=1,此时集合A中的元素是-.
(2)由(1)知,当集合A中只有一个元素时,a=1;当集合A中有两个元素时,
解得a>-1,且a≠1.
综上,a的取值范围是{a|a>-1}.
此类问题往往用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根,若是求解一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解.
[变式训练] 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,求k的取值范围.
【解】 因为集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,
当k=0时,A={x|-8x+16=0}={2},符合题意;
当k≠0时,则Δ=64-64k≤0,解得k≥1.
综上所述,k的取值范围为{k|k≥1或k=0}.第2课时　集合的表示
学习目标　1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
知识归纳
知识点一　列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
(1)元素间用“,”隔开.
(2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可.
(3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
知识点二　描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
(1)写清集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)语言简明、准确,不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}.
(4)对于元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系看,若x∈R是明确的,则x∈R可以省略,只写其元素x.如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1或x>1}.
(6)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集},{R}都是错误的.
(7)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数},{实数}等.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P5习题1.1 T2改编)方程x2-3x+2=0的所有实数根组成的集合为(　　)
[A]{x=1,y=2} [B](1,2)
[C]{1,2} [D]{(1,2)}
2.已知集合M={1,5,9,13,17},则M=(　　)
[A]{x|x=2n+1,n∈N,n≤8}
[B]{x|x=2n-1,n∈N,n≤9}
[C]{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}
[D]{x|x=4n-3,n∈N,n≤5}
3.若集合A={-a,|a|},则a应满足(　　)
[A]a>0 [B]a<0
[C]a=0 [D]a≤0
4.已知集合M={(2,-2),2,-2},则集合M中元素的个数是　　　　.
题型一　用列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合:
(1)不小于-5的所有负整数组成的集合A;
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合B;
(3)直线y=2x+2与x轴的交点所组成的集合C;
(4)由所有正奇数组成的集合D.
适合用列举法表示的集合的特征
(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,但排列呈现有一定规律的集合.
(3)元素特征不容易统一表述的集合,例如{2,x2+3,π}.
[变式训练] 用列举法表示下列集合(只写出结果):
(1)中国国旗的颜色名称组成的集合;
(2)满足-3≤x<3且x∈Z的元素x组成的集合;
(3)15的正约数组成的集合;
(4)方程组的解集.
题型二　用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)在自然数集内,小于1 000的奇数组成的集合;
(2)二次函数y=2x2+1的图象上所有的点组成的集合;
(3)二次函数y=2x2+1的函数值组成的集合;
(4)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合.
用描述法表示集合的步骤
(1)写出代表元素:弄清楚集合的元素是数、点还是其他形式,一般地,数用字母表示,点用有序实数对表示.
(2)明确元素的特征:语言力求简明、准确,对代表元素以外的字母要指出其含义或取值范围.
(3)用花括号括起来:一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
(2)不等式2x-3>5的解集.
题型三　由集合元素个数求参数
[例3] 已知集合A={x∈R|(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
此类问题往往用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根,若是求解一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解.
[变式训练] 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,求k的取值范围.1.1 集合的概念
第1课时　集合的概念
学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义,能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
知识归纳
知识点一　元素与集合的概念
1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的.
集合中的元素特征
(1)确定性:给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
(3)无序性:集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换.
知识点二　元素与集合的关系
1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 a∈A.
2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作 a A.
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*或N+ Z Q R
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写.
(2)0∈N.
基础自测
1.下列各项中,不能组成集合的是(　　)
[A]所有正数
[B]方程x2=1的实数根
[C]接近于0的数
[D]不等于0的偶数
【答案】 C
【解析】 “接近于0的数”是不确定的元素,故不能组成集合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P5练习T2改编)下列给出的元素与集合的关系,其中正确的个数为(　　)
①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 R表示实数集,①正确;Z表示整数集,②正确;N*表示正整数集,③错误;Q表示有理数集,④错误.故选B.
3.若“maths”中的字母构成一个集合,则该集合中的元素有　　　　个;若“element”中的字母构成一个集合,该集合中的元素有　　　　个.
【答案】 5　5
【解析】 “maths”中5个字母互不相同,共有5个元素m,a,t,h,s;“element”中的字母“e”重复出现3次,只能算1个元素,所以共有5个元素e,l,m,n,t.
4.已知集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若集合P与Q相等,则a=　 .
【答案】 ±2
【解析】 由题意得a2=4,a=±2.
题型一　集合的基本概念
[例1] (多选)考查下列每组对象,能构成集合的是(　　)
[A]中国各地的美丽的乡村
[B]直角坐标系中横、纵坐标相等的点
[C]不小于3的自然数
[D]我省2025年参加高考的学生
【答案】 BCD
【解析】 对于A,“美丽的”标准不明确,不符合确定性,无法构成集合,A错误;对于B,直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性,可以构成集合,B正确;对于C,不小于3的自然数具有确定性,可以构成集合,C正确;对于D,我省2025年参加高考的学生具有确定性,可以构成集合,D正确.故选BCD.
(1)判断研究对象是否能构成集合,关键在于能否满足确定性、互异性、无序性,同时还要注意集合中的元素具有广泛性,即任何一组确定的对象都可以组成集合,数、式、图形等都可以作为集合中的元素.
(2)若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中元素的顺序不一定一一
对应.
[变式训练] (多选)下列各组中集合P与Q相等的是(　　)
[A]P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
[B]P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
[C]P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
[D]P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x(x+1)(x-1)=0的解构成的
集合
【答案】 AD
【解析】 由于A,D中P,Q的元素完全相同,所以集合P与Q相等,而B,C中P,Q的元素不相同,所以集合P与Q不相等.故选AD.
题型二　元素与集合的关系
[例2] (多选)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项中属于集合M的是(　　)
[A]0 [B]
[C] [D]3-1
【答案】 ACD
【解析】 当a=b=0时,x=0,所以0∈M,A正确;当a=-1,b=-1时,x=-1-=∈M,C正确;当a=-1,b=3时,x=3-1∈M,D正确;因为a∈Z,b∈Z,故x=a+b≠, M,B错误.故选ACD.
判断元素与集合的关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
[变式训练] 用符号“∈”或“ ”填空:
(1)0　　　N*,　　　N*,(-1)0　　　N*;
(2)设集合B是由小于的全体实数构成的集合,则2　　　　B,1+　　　　B;
(3)若面积为2的正方形的边长为a,则a　　　Q.
【答案】 (1) 　 　∈　(2) 　∈　(3)
【解析】 (1)0不是正整数,不是正整数,(-1)0=1是正整数,故依次填 , ,∈.
(2)2=>,由=3+2<11,得1+<,故依次填 ,∈.
(3)因为正方形的面积为2,所以a2=2,a>0,所以a=,所以a是无理数,所以a Q.
题型三　由集合中元素的特征求参数
[例3] 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-2是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
【解】 (1)因为-2∈A,所以-2=a-3或-2=2a-1,所以a=1或a=-.当a=1时,集合A中含有两个元素-2,1,符合要求;当a=-时,集合A中含有两个元素-,-2,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为1或-.
(2)不能.理由如下:若-5∈A,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-2-3=-5,不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
由集合中元素的特征求参数的一般步骤
(1)根据集合中元素的确定性,解出参数的所有值.
(2)根据集合中元素的互异性,对解出的值进行检验,舍去不符合题意的参数取值.
(3)写出所有符合题意的参数取值.
[变式训练] 已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2∈A,求实数x的值.
【解】 (1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由(1)(2)可知都不符合题意.
综上,x=-1.

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