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1.5.1　全称量词与存在量词
学习目标　1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,提升数学抽象的核心素养.2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法,提升逻辑推理的核心素养.
知识归纳
知识点一　全称量词与全称量词命题
全称 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示
全称 量词 命题 定义 含有 量词的命题,叫做全称量词命题
一般形式 对M中 x,p(x)成立
符号表示 ,p(x)
知识点二　存在量词与存在量词命题
存在 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示
存在量 词命题 定义 含有 量词的命题,叫做存在量词命题
一般形式 M中的元素x,p(x)成立
符号表示 ,p(x)
从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的.存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题.
基础自测
1.下列命题中的存在量词命题是(　　)
[A]所有能被3整除的整数都是奇数
[B]每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
[C]有的三角形是等边三角形
[D]任意两个等边三角形都相似
2.(人教A版必修第一册P28练习T1改编)下列命题为全称量词命题的是(　　)
[A]有一个偶数是素数
[B]有的有理数的立方是无理数
[C]存在一个三角形,它的三个角都是锐角
[D]任意三角形的内角和都是180°
3.下列命题与“ x∈R,x2+1≥1”的表述意义一致的是(　　)
[A]有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立
[B]有些实数x,使得x2+1≥1成立
[C]不存在实数x,使得x2+1<1成立
[D]有无数个实数x,使得x2+1≥1成立
4.将“存在一个实数x,使2x2-1≥0”用“ ”或“ ”符号简记为 .
题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)有些实数是无理数;
(2)每一个正方形都是平行四边形;
(3) x∈R,x2+4x+4≤0;
(4) x∈N,2x是偶数;
(5)方程2x+1=0有整数解.
(1)判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有全称量词还是存在量词.
(2)要注意有些全称量词命题与存在量词命题中的量词是省略的,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.
[变式训练] 指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)任意实数x都能使|x|+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)至少有一个实数m,使得m与m的倒数之和等于1.
题型二　全称量词命题与存在量词命题真假的判断
[例2] (湘教版必修第一册P20~21例7和例8)判断下列命题的真假:
(1) x∈R,x2+2>0;
(2) x∈N,x4≥1;
(3) a∈Z,a2=3a-2;
(4) a≥3,a2=3a-2;
(5)设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点,在该平面上存在某个点P,使得PA=PB=PC.
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需找出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
[变式训练] (多选)下列命题为真命题的是(　　)
[A] x∈Q,|x| Z
[B] x∈Z,使x同时被3和4整除
[C] x∈R,|x+1|>1
[D] x∈N,2x2-3x+1=0
题型三　由含量词命题的真假求参数
[例3] (1)已知命题p: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)已知命题q: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若q为真命题,求实数a的取值范围.
求解含量词命题中的参数取值范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M,a>y(或aymin(或a(3)有些命题的真假问题转化为集合间的关系后求解更加简单.
(4)与二次函数有关的问题可以结合图象,利用判别式求解.
[变式训练] 已知关于x的方程ax2-(a2+2a-1)x-a-2=0.
(1)若命题“ a∈R,使方程只有一个实数根”为真命题,求a的值;
(2)若命题“ a∈M,方程至少有一个大于1的根”为真命题,求集合M.1.5.1　全称量词与存在量词
学习目标　1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,提升数学抽象的核心素养.2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法,提升逻辑推理的核心素养.
知识归纳
知识点一　全称量词与全称量词命题
全称 量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示
全称 量词 命题 定义 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题
一般形式 对M中任意一个x,p(x)成立
符号表示 x∈M,p(x)
知识点二　存在量词与存在量词命题
存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示
存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题
一般形式 存在M中的元素x,p(x)成立
符号表示 x∈M,p(x)
从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的.存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题.
基础自测
1.下列命题中的存在量词命题是(　　)
[A]所有能被3整除的整数都是奇数
[B]每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
[C]有的三角形是等边三角形
[D]任意两个等边三角形都相似
【答案】 C
【解析】 对于A,含有量词“所有”,为全称量词命题,故A错误;对于B,含有量词“每一个”,为全称量词命题,故B错误;对于C,含有量词“有的”,为存在量词命题,故C正确;对于D,含有量词“任意”,为全称量词命题,故D错误.故选C.
2.(人教A版必修第一册P28练习T1改编)下列命题为全称量词命题的是(　　)
[A]有一个偶数是素数
[B]有的有理数的立方是无理数
[C]存在一个三角形,它的三个角都是锐角
[D]任意三角形的内角和都是180°
【答案】 D
【解析】 对于选项A,为存在量词命题;对于选项B,为存在量词命题;对于选项C,为存在量词命题;对于选项D,为全称量词命题.故选D.
3.下列命题与“ x∈R,x2+1≥1”的表述意义一致的是(　　)
[A]有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立
[B]有些实数x,使得x2+1≥1成立
[C]不存在实数x,使得x2+1<1成立
[D]有无数个实数x,使得x2+1≥1成立
【答案】 C
【解析】 与“ x∈R,x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数x,使得x2+1<1成立”.故选C.
4.将“存在一个实数x,使2x2-1≥0”用“ ”或“ ”符号简记为　　　　　　　.
【答案】 x∈R,2x2-1≥0
【解析】 含有存在量词,选择符号“ ”,简记为 x∈R,2x2-1≥0.
题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)有些实数是无理数;
(2)每一个正方形都是平行四边形;
(3) x∈R,x2+4x+4≤0;
(4) x∈N,2x是偶数;
(5)方程2x+1=0有整数解.
【解】 (1)含有存在量词“有些”,所以命题(1)是存在量词命题.
(2)含有全称量词“每一个”,所以命题(2)是全称量词命题.
(3)含有存在量词“ ”,所以命题(3)是存在量词命题.
(4)含有全称量词“ ”,所以命题(4)是全称量词命题.
(5)省略存在量词,可以改写为“ x∈Z,2x+1=0”,所以命题(5)是存在量词命题.
(1)判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有全称量词还是存在量词.
(2)要注意有些全称量词命题与存在量词命题中的量词是省略的,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.
[变式训练] 指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)任意实数x都能使|x|+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)至少有一个实数m,使得m与m的倒数之和等于1.
【解】 (1)“任意”是全称量词; x∈R,|x|+1>0.
(2)“所有”是全称量词; a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)“存在”是存在量词; x,y∈Z,3x-2y=10.
(4)“至少有一个”是存在量词; m∈R,m+=1.
题型二　全称量词命题与存在量词命题真假的判断
[例2] (湘教版必修第一册P20~21例7和例8)判断下列命题的真假:
(1) x∈R,x2+2>0;
(2) x∈N,x4≥1;
(3) a∈Z,a2=3a-2;
(4) a≥3,a2=3a-2;
(5)设A,B,C是平面上不在同一直线上的三点,在该平面上存在某个点P,使得PA=PB=PC.
【解】 (1)因为 x∈R,x2≥0,从而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.因此(1)是真命题.
(2)因为0∈N,且当x=0时,x4≥1不成立,因此(2)是假命题.
(3)因为1∈Z且12=3×1-2,因此(3)是真命题.
(4)因为a2=3a-2只有两个实数根a=1或a=2,所以当a≥3时a2≠3a-2.因此(4)是假命题.
(5)以A,B,C为顶点构成一个三角形,三角形总有外接圆,设P是△ABC的外心,则PA=PB=PC.因此(5)是真命题.
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需找出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
[变式训练] (多选)下列命题为真命题的是(　　)
[A] x∈Q,|x| Z
[B] x∈Z,使x同时被3和4整除
[C] x∈R,|x+1|>1
[D] x∈N,2x2-3x+1=0
【答案】 BD
【解析】 对于A,当x=1时,|x|=1∈Z,故A错误;对于B,当x=12时,x可同时被3和4整除,B正确;对于C,当x=0时,|x+1|=1,故C错误;对于D,当x=1时,2x2-3x+1=0,故D正确.故选BD.
题型三　由含量词命题的真假求参数
[例3] (1)已知命题p: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)已知命题q: x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若q为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)法一　命题p为真命题,转化为当x∈{x|1≤x≤4}时,x≥a恒成立,
因此x min≥a,即a≤1.
故实数a的取值范围为{a|a≤1}.
法二　命题p为真命题,转化为{x|1≤x≤4} {x|x≥a},所以a≤1.
故实数a的取值范围为{a|a≤1}.
(2)法一　命题q为真命题,转化为x≥a在x∈{x|1≤x≤4}上有解,因此xmax≥a,即a≤4.
故实数a的取值范围为{a|a≤4}.
法二　命题q为真命题,转化为{x|1≤x≤4}∩{x|x≥a}≠ ,所以a≤4.
故实数a的取值范围为{a|a≤4}.
求解含量词命题中的参数取值范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M,a>y(或aymin(或a(3)有些命题的真假问题转化为集合间的关系后求解更加简单.
(4)与二次函数有关的问题可以结合图象,利用判别式求解.
[变式训练] 已知关于x的方程ax2-(a2+2a-1)x-a-2=0.
(1)若命题“ a∈R,使方程只有一个实数根”为真命题,求a的值;
(2)若命题“ a∈M,方程至少有一个大于1的根”为真命题,求集合M.
【解】 (1)由题知,方程ax2-(a2+2a-1)x-a-2=0只有一个实数根,
当a=0时,解得x=2,符合题意;
当a≠0时,分解因式得(ax+1)[x-(a+2)]=0,解得x=-或x=a+2,则有-=a+2,得a=-1.
综上,a=0或a=-1.
(2)当a=0时,x=2,符合题意;
当a≠0时,由(1)可知,方程的两根为-,a+2,因为方程至少有一个大于1的根,
所以->1或a+2>1,解得-1-1,且a≠0.
综上,M={a|a>-1}.

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