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第2课时　基本不等式的应用
【学习目标】　1.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
题型一　利用基本不等式证明不等式
[例1] (北师大版必修第一册P27例4)已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥++.
【证明】 因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式,得a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立;
b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立;
a+c≥2,当且仅当a=c时,等号成立.
上面三式相加,得 2a+2b+2c≥2+2+2,即a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时,等号成立.
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是:所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练] 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证:
(1)(-1)(-1)(-1)≥8;
(2)++≥9.
【证明】 (1)因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,所以-1==≥>0,
同理-1≥>0,-1≥>0.
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得(-1)·(-1)(-1)≥··=8,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
(2)++=++=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
题型二　基本不等式的应用
[例2] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为900 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C,D四个矩形区域将种植鲜花(其中A,B,C,D大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,矩形A的一条边长为a m.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花的种植面积最大,并求出面积的最大值.
【解】 (1)由阴影部分是宽度为1 m的小路,可得2a+3=,则a=-,则a关于x的关系式为a=-,3(2)由(1)知,a=-,设鲜花的种植面积为S,
则S=4··a=(2x-6)a=(2x-6)·(-)=909-(3x+)≤909-2=729,
当且仅当3x=,即x=30时,等号成立,
所以当x=30时,才能使鲜花的种植面积最大,且最大值为729 m2.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义.
(2)构造定值,利用基本不等式求最值.
(3)检验等号成立的条件是否满足题意.
(4)得出结论.
[变式训练] 某种型号的特殊运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km,根据规定50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格为每升 6元,卡车每小时耗油(2+) L,司机的工资是每小时140元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低 (x精确到0.1 km/h,≈23.875)
【解】 (1)由题意得卡车行驶的时间为 h,
所以卡车这次行车的油费为[×(2+)×6]元,
司机的工资为(×140)元,
所以这次行车总费用为y=×(2+)×6+×140=260(+),50≤x≤100.
(2)因为+≥2=,当且仅当=,即x=4时,等号成立.
所以当x=4≈95.5时,这次行车的总费用最低.
培优拓展　基本不等式的推广
[典例] 利用二元基本不等式≤(a>0,b>0)证明三元基本不等式:如果a,b,c>0,那么(1)a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立);
(2)≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
【证明】 (1)因为a,b,c>0,所以a3+b3+c3+abc≥2+2=2(ab+c2)≥2·2=4abc,
所以a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).
(2)由(1)得()3+()3+()3≥3··=3,所以a+b+c≥3,
所以≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
[跟踪训练] (多选)三元基本不等式:“当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时,等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有(　　)
[A]若x>0,则x2+的最小值为3
[B]若0[C]若x>0,则2x+的最小值为3
[D]若0【答案】 AC
【解析】 对于A项,因为x>0,所以x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时,等号成立,A项正确;对于B项,因为00,所以2x+=x+x+≥3=3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,C项正确;对于D项,因为0·2x(1-x)(1-x)≤·()3=,当且仅当2x=1-x,即x=时,等号成立,D项错误.故选AC.2.2基本不等式
第1课时　基本不等式
【学习目标】　1.知道基本不等式≤(a>0,b>0)及其几何解释,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识归纳
知识点一　基本不等式及其几何解释
1.如果a>0,b>0,有 ,当且仅当 时,等号成立.通常称这个不等式为基本不等式.
2.当a>0,b>0时,叫做正数a,b的 ,叫做正数a,b的 .基本不等式表明:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
3.下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整.
如图所示,AB为☉O的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交☉O上半圆于点D,连接AD,BD,OD.由△ACD∽△DCB可得,CD=,而OD=,因为OD≥CD,所以 ,当且仅当点C与圆心O ,即当 时,等号成立.
(1)在基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立的条件为a=b.
(2)基本不等式也称为均值不等式.
(3)基本不等式的常见变形:当a>0,b>0时,有①a+b≥2;②ab≤()2.
知识拓展
　基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.
其中,即叫做a,b的调和平均数,叫做a,b的平方平均数.
知识点二　基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当 时,积xy取得最大值 .
(2)若xy=P(积为定值),则当 时,和x+y取得最小值 .
和定积最大,积定和最小.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] a,b∈R,≥成立
[B]若a>0,b>0,则a+b>2
[C] a,b∈R,a2+b2≥2ab
[D]若x>2,则x+≥2可以取等号
2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　)
[A]4 [B]4 [C]9 [D]18
3.已知a>0,则a+1+的最小值为(　　)
[A]-1 [B]3 [C]4 [D]5
4.(人教A版必修第一册P46练习T4改编)若0题型一　基本不等式的理解
[例1] (多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
[A]若ab>0,则+≥2=2
[B]若a∈R,a≠0,则+a≥2=4
[C]若x,y∈R,xy<0,则+=-(--)≥-2=-2
[D]|+|=||+||≥2=2
利用基本不等式≤(a>0,b>0)判断命题真假时,需要判断a,b是不是正数,如果不是正数,那么考虑用非正数作为特殊值,直接举反例说明不等式不能成立;如果是正数,那么继续使用基本不等式判断真假,注意检验等号是否成立.
[变式训练] 下列不等式正确的是(　　)
[A]a+≥2
[B](-a)+(-)≤-2
[C]a2+≥2
[D](-a)2+(-)2≤-2
题型二　直接利用基本不等式求最值
[例2] (1)已知x>0,求x+的最小值;
(2)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值;
(3)已知1≤x≤4,求(6-x)(x+2)的最大值.
利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则.
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.以上三点缺一不可.
[变式训练] (1)已知0(2)若a与b均为正数,且ab=4,求+的最小值.
题型三　配凑法求最值
[例3] (1)已知0(2)已知x<2,求x+的最大值.
配凑法求最值包括两个常见的类型:
(1)当代数式整体上是和的形式时,需要配凑两项的积为定值,此时,对于题目中的分式的分母一般需要“保护”,为了使另一项与这个项的积为定值,需要对另一项配凑常数,即采用“加上减去法”.
(2)当代数式整体上是积的形式时,需要配凑两项的和为定值,此时,对于题目中的某个因式中的项常需要配系数,即采用“乘上除去法”.
不管哪种类型,配凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,同时要注意验证等号成立的条件.
[变式训练] (1)已知-1(2)已知x>1,求y=4x+1+的最小值.2.2基本不等式
第1课时　基本不等式
【学习目标】　1.知道基本不等式≤(a>0,b>0)及其几何解释,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识归纳
知识点一　基本不等式及其几何解释
1.如果a>0,b>0,有≤,当且仅当 a=b时,等号成立.通常称这个不等式为基本不等式.
2.当a>0,b>0时,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整.
如图所示,AB为☉O的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交☉O上半圆于点D,连接AD,BD,OD.由△ACD∽△DCB可得,CD=,而OD=,因为OD≥CD,所以 ≥,当且仅当点C与圆心O重合,即当a=b 时,等号成立.
(1)在基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立的条件为a=b.
(2)基本不等式也称为均值不等式.
(3)基本不等式的常见变形:当a>0,b>0时,有①a+b≥2;②ab≤()2.
知识拓展
　基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.
其中,即叫做a,b的调和平均数,叫做a,b的平方平均数.
知识点二　基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当 x=y时,积xy取得最大值 S2.
(2)若xy=P(积为定值),则当 x=y时,和x+y取得最小值 2.
和定积最大,积定和最小.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] a,b∈R,≥成立
[B]若a>0,b>0,则a+b>2
[C] a,b∈R,a2+b2≥2ab
[D]若x>2,则x+≥2可以取等号
【答案】 C
【解析】 A项,当a=-1,b=-1时,不等式不成立;B项,当a=b时,a+b=2;D项,x+≥2=2,等号成立的条件为 无解,故不等式不可以取等号.故选C.
2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　)
[A]4 [B]4 [C]9 [D]18
【答案】 D
【解析】 因为m>0,n>0,mn=81,所以m+n≥2=18,当且仅当m=n=9时,等号成立.
故选D.
3.已知a>0,则a+1+的最小值为(　　)
[A]-1 [B]3 [C]4 [D]5
【答案】 D
【解析】 因为a>0,所以a+1+=a++1≥2+1=5,当且仅当a=,即a=2时,等号成立,所以a+1+的最小值为5.故选D.
4.(人教A版必修第一册P46练习T4改编)若0【答案】 　
【解析】 因为00,所以x(1-x)≤[]2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值.
题型一　基本不等式的理解
[例1] (多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
[A]若ab>0,则+≥2=2
[B]若a∈R,a≠0,则+a≥2=4
[C]若x,y∈R,xy<0,则+=-(--)≥-2=-2
[D]|+|=||+||≥2=2
【答案】 AD
【解析】 A中,因为ab>0,所以>0,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故A正确;B中,因为a∈R,a≠0,当a<0时,+a=-[(-)+(-a)]≤-2=-4,当且仅当-=-a,即a=-2时,等号成立,故B错误;C中,由xy<0,得->0,->0,则+=-[(-)+(-)],因为(-)+(-)≥2=2,所以+=-[(-)+(-)]≤-2,当且仅当-=-,即x=-y时,等号成立,故C错误;D中,,一定同号,所以|+|=||+||≥2=2,当且仅当||=||,即|a|=|b|时,等号成立,故D正确.故选AD.
利用基本不等式≤(a>0,b>0)判断命题真假时,需要判断a,b是不是正数,如果不是正数,那么考虑用非正数作为特殊值,直接举反例说明不等式不能成立;如果是正数,那么继续使用基本不等式判断真假,注意检验等号是否成立.
[变式训练] 下列不等式正确的是(　　)
[A]a+≥2
[B](-a)+(-)≤-2
[C]a2+≥2
[D](-a)2+(-)2≤-2
【答案】 C
【解析】 对于A,当a<0时,a+<0,故A错误;对于B,当a<0时,(-a)+(-)>0,故B错误;对于C,因为a2>0,所以a2+≥2,当且仅当a=±1时,等号成立,故C正确;对于D,因为a2>0,所以(-a)2+=a2+≥2,当且仅当a=±1时,等号成立,故D错误.故选C.
题型二　直接利用基本不等式求最值
[例2] (1)已知x>0,求x+的最小值;
(2)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值;
(3)已知1≤x≤4,求(6-x)(x+2)的最大值.
【解】 (1)因为x>0,所以x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时,等号成立,所以x+的最小值为6.
(2)因为x>0,y>0,xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2 时,等号成立.
所以2x+y的最小值为4.
(3)因为1≤x≤4,所以6-x>0,x+2>0,所以(6-x)(x+2)≤[]2=16,当且仅当6-x=x+2,
即x=2时,等号成立,所以(6-x)(x+2)的最大值为16.
利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则.
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.以上三点缺一不可.
[变式训练] (1)已知0(2)若a与b均为正数,且ab=4,求+的最小值.
【解】 (1)当00,则≤=1,当且仅当2-a=a,即a=1时,等号成立.所以的最大值为1.
(2)因为a与b均为正数,且ab=4,所以+≥2==3,当且仅当即a=,b=6时,等号成立.所以+的最小值为3.
题型三　配凑法求最值
[例3] (1)已知0(2)已知x<2,求x+的最大值.
【解】 (1)因为00,
所以4x·(3-2x)=2·2x·(3-2x)≤2·[]2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,所以所求的最大值为.
(2)因为x<2,所以x-2<0,所以2-x>0,
所以x+=x-2++2=-[(2-x)+]+2,
因为(2-x)+≥2=4,
当且仅当2-x=,即x=0时,等号成立.
所以-[(2-x)+]+2≤-4+2=-2,所以所求的最大值为-2.
配凑法求最值包括两个常见的类型:
(1)当代数式整体上是和的形式时,需要配凑两项的积为定值,此时,对于题目中的分式的分母一般需要“保护”,为了使另一项与这个项的积为定值,需要对另一项配凑常数,即采用“加上减去法”.
(2)当代数式整体上是积的形式时,需要配凑两项的和为定值,此时,对于题目中的某个因式中的项常需要配系数,即采用“乘上除去法”.
不管哪种类型,配凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,同时要注意验证等号成立的条件.
[变式训练] (1)已知-1(2)已知x>1,求y=4x+1+的最小值.
【解】 (1)因为-10,1-2x>0,
所以y=(1+x)(1-2x)=(2+2x)(1-2x)≤×[]2=,
当且仅当2+2x=1-2x,即x=-时,等号成立,所以y=(1+x)(1-2x)的最大值为.
(2)因为x>1,所以x-1>0,所以4x+1+=4(x-1)++5≥2+5=9,
当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立,所以y=4x+1+的最小值为9.第2课时　基本不等式的应用
【学习目标】　1.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
题型一　利用基本不等式证明不等式
[例1] (北师大版必修第一册P27例4)已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥++.
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是:所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练] 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证:
(1)(-1)(-1)(-1)≥8;
(2)++≥9.
题型二　基本不等式的应用
[例2] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为900 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C,D四个矩形区域将种植鲜花(其中A,B,C,D大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,矩形A的一条边长为a m.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花的种植面积最大,并求出面积的最大值.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义.
(2)构造定值,利用基本不等式求最值.
(3)检验等号成立的条件是否满足题意.
(4)得出结论.
[变式训练] 某种型号的特殊运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km,根据规定50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格为每升 6元,卡车每小时耗油(2+) L,司机的工资是每小时140元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低 (x精确到0.1 km/h,≈23.875)
培优拓展　基本不等式的推广
[典例] 利用二元基本不等式≤(a>0,b>0)证明三元基本不等式:如果a,b,c>0,那么(1)a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立);
(2)≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
[跟踪训练] (多选)三元基本不等式:“当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时,等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有(　　)
[A]若x>0,则x2+的最小值为3
[B]若0[C]若x>0,则2x+的最小值为3
[D]若0

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