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第2课时　一元二次不等式的应用
【学习目标】　1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型,解决实际问题.
题型一　解简单的分式不等式
[例1] 解下列不等式.
(1)>0;
(2)≤0;
(3)≤1.
【解】 (1)原不等式可化为(-2x+5)(x-2)>0,即(2x-5)(x-2)<0,所以2(2)原不等式可化为解得-2(3)原不等式可化为-1≤0,
即≤0,即≥0,
所以解得x<或x≥3.
所以原不等式的解集为{x}.
分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0(<0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:(ax+b)(cx+d)>0(<0)
≥0(≤0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:
>k ([变式训练] 解下列不等式.
(1)≥0;
(2)<3.
【解】 (1)原不等式等价于
解得x≤-1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)因为<3,所以-3<0,
整理得,<0,
所以原不等式等价于(x-1)(x+1)<0,
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1题型二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
[例2] 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是{x},求关于x的不等式ax2-bx+c>0(a≠0)的解集.
【解】 由条件知-2,-是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
所以-2-=-,-2×(-)=,
所以b=a,c=a.
从而不等式ax2-bx+c>0变为a(x2-x+1)>0.因为a<0,所以原不等式等价于2x2-5x+2<0,
即(x-2)(2x-1)<0,解得所以所求不等式的解集为{x}.
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
[变式训练] (多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程为x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则下列说法正确的是(　　)
[A]a>0
[B] m∈R,a+b≥am2+bm
[C]ax+c>0的解集为{x|x<3}
[D]cx2+bx+a<0的解集为{x}
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由图象开口向下,得a<0,故A错误;
对于B,对称轴方程为x=1,故对 m∈R,
ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确;对于C,图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,故c=-3a,由a<0,ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;对于D,因为b=-2a,c=-3a,由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,3x2+2x-1<0,解得-1题型三　一元二次不等式的实际应用
[例3] (湘教版必修第一册P56例8)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式:L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m 以外处停车,则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s)
解不等式应用题的步骤
[变式训练] (苏教版必修第一册P67例3)某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件(x∈N*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问:该厂日产量多大时,日获利不少于1 300元 (假设该厂每天生产的风衣可以全部售完)
【解】 由题意,得(160-2x)x-(500+30x)≥1 300,
化简,得x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
故该厂日产量在20件至45件时,日获利不少于 1 300元.2.3二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】　1.从函数观点看一元二次方程,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式,经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识归纳
知识点一　一元二次不等式
1.一般地,我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
3.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
(1)一元二次不等式需要从以下三个方面理解:
①一元即只含有一个未知数,其他字母均为常数或参数;
②未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0;
③必须是整式不等式.
(2)函数的零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,就是方程的根.
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象
ax2+bx+ c=0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+ c>0(a>0) 的解集 {x}
ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集
(1)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
基础自测
1.不等式x2≤9的解集为(　　)
[A]{x|x≤3}
[B]{x|-3[C]{x|-3≤x≤3}
[D]{x|x≥3或x≤-3}
2.不等式x2+4x+4<0的解集是(　　)
[A]{x|x≠-2} [B]{x|-2≤x≤2}
[C] [D]{x|x=-2}
3.(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x-3)(5-x)<0的解集为(　　)
[A]{x|3[B]{x|x<3或x>5}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>-3}
4.下列关于x的不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的是 .
题型一　解不含参数的一元二次不等式
[例1] (苏教版必修第一册P66例1)解下列不等式:
(1)x2-7x+12>0;
(2)-x2-2x+3≥0;
(3)x2-2x+1<0;
(4)x2-2x+2>0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,左侧二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式Δ.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式Δ说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程的根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
[变式训练] 解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-4x+5<0.
题型二　含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R).
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑.
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两个不同实根(Δ>0),两个相同实根(Δ=0),无实根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1[变式训练] 解关于x的不等式ax2+2x+1<0.第2课时　一元二次不等式的应用
【学习目标】　1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型,解决实际问题.
题型一　解简单的分式不等式
[例1] 解下列不等式.
(1)>0;
(2)≤0;
(3)≤1.
分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0(<0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:(ax+b)(cx+d)>0(<0)
≥0(≤0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:
>k ([变式训练] 解下列不等式.
(1)≥0;
(2)<3.
题型二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
[例2] 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是{x},求关于x的不等式ax2-bx+c>0(a≠0)的解集.
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
[变式训练] (多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程为x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则下列说法正确的是(　　)
[A]a>0
[B] m∈R,a+b≥am2+bm
[C]ax+c>0的解集为{x|x<3}
[D]cx2+bx+a<0的解集为{x}
题型三　一元二次不等式的实际应用
[例3] (湘教版必修第一册P56例8)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式:L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m 以外处停车,则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s)
解不等式应用题的步骤
[变式训练] (苏教版必修第一册P67例3)某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件(x∈N*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问:该厂日产量多大时,日获利不少于1 300元 (假设该厂每天生产的风衣可以全部售完)2.3二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】　1.从函数观点看一元二次方程,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式,经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识归纳
知识点一　一元二次不等式
1.一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
3.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
(1)一元二次不等式需要从以下三个方面理解:
①一元即只含有一个未知数,其他字母均为常数或参数;
②未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0;
③必须是整式不等式.
(2)函数的零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,就是方程的根.
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象
ax2+bx+ c=0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+ c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} {x} R
ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集 {x|x1(1)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
基础自测
1.不等式x2≤9的解集为(　　)
[A]{x|x≤3}
[B]{x|-3[C]{x|-3≤x≤3}
[D]{x|x≥3或x≤-3}
【答案】 C
【解析】 不等式x2≤9可化为(x+3)(x-3)≤0,解得-3≤x≤3,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤3}.故选C.
2.不等式x2+4x+4<0的解集是(　　)
[A]{x|x≠-2} [B]{x|-2≤x≤2}
[C] [D]{x|x=-2}
【答案】 C
【解析】 原不等式可化为(x+2)2<0,显然解集为 .故选C.
3.(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x-3)(5-x)<0的解集为(　　)
[A]{x|3[B]{x|x<3或x>5}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>-3}
【答案】 B
【解析】 由(x-3)(5-x)<0可得(x-3)(x-5)>0,解得x<3或x>5,故不等式的解集为{x|x<3或x>5}.故选B.
4.下列关于x的不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的是　　 　　.
【答案】 ①②
【解析】 由一元二次不等式的定义可知,①②是一元二次不等式.
题型一　解不含参数的一元二次不等式
[例1] (苏教版必修第一册P66例1)解下列不等式:
(1)x2-7x+12>0;
(2)-x2-2x+3≥0;
(3)x2-2x+1<0;
(4)x2-2x+2>0.
【解】 (1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.
根据y=x2-7x+12的图象(图①),可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}.
(2)不等式两边同乘以-1,得x2+2x-3≤0.
方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.
根据y=x2+2x-3的图象(图②),
可得原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
(3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.
根据y=x2-2x+1的图象(图③),可得原不等式的解集为 .
(4)因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.
根据y=x2-2x+2的图象(图④),
可得原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,左侧二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式Δ.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式Δ说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程的根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
[变式训练] 解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-4x+5<0.
【解】 (1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.根据y=2x2-3x-2的图象(如图①),原不等式的解集为{x或x>2}.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0,对应方程3x2-6x+2=0.因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程有两个不同的实数根,x1=1-,x2=1+.根据y=3x2-6x+2的图象(如图②),
原不等式的解集为{x(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,根据y=4x2-4x+1的图象(如图③),
原不等式的解集为{x}.
(4)因为x2-4x+5=0的判别式Δ<0,所以方程x2-4x+5=0无解.根据y=x2-4x+5的图象(如图④),原不等式的解集为 .
题型二　含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0.
(1)当a=0时,原不等式为-2(x-2)>0,
解得x<2.
(2)当a<0时,原不等式可化为(x-)(x-2)<0,因为<2,所以(3)当a>0时,原不等式可化为(x-)(x-2)>0.
①当a=1时,原不等式为(x-2)2>0,所以x≠2;
②当02,所以x<2或x>;
③当a>1时,<2,所以x<或x>2.
综上,当a<0时,原不等式的解集为{x当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};
当0当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当a>1时,原不等式的解集为{x或x>2}.
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑.
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两个不同实根(Δ>0),两个相同实根(Δ=0),无实根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1[变式训练] 解关于x的不等式ax2+2x+1<0.
【解】 当a=0时,2x+1<0,得x<-.
当a≠0时,Δ=4-4a=4(1-a).
(1)当Δ≤0,即a≥1时,不等式ax2+2x+1<0无解.
(2)当Δ>0,即0①当0②当a<0时,因为x1>x2,所以x>x1或x综上,当a=0时,原不等式的解集为{x};
当a<0时,原不等式的解集为{x或x<};
当0当a≥1时,原不等式的解集为 .

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