资源简介

第2课时　分段函数
【学习目标】　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
知识归纳
知识点　分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
(1)分段函数本质:函数在定义域不同的范围内,有着不同的对应关系.
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集,值域为各段上值域的并集.
基础自测
1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　)
[A]f(x)=
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=
【答案】 AD
【解析】 A,D是分段函数;B,C不满足函数的定义,不是分段函数.故选AD.
2.已知函数f(x)=则f(-1)-f(3)=(　　)
[A]-3 [B]3
[C]-4 [D]4
【答案】 A
【解析】 f(-1)=1+2=3,f(3)=32-2×3+3=6,f(-1)-f(3)=3-6=-3.故选A.
3.已知函数f(x)=则不等式f(x)<0的解集为(　　)
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](-1,0] [D][0,+∞)
【答案】 C
【解析】 当x≤0时,由x2-1<0得-1当x>0时,由<0得x<0,不等式无解.
综上可得,f(x)<0的解集为(-1,0].故选C.
4.(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数y=-|x|的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为y=-|x|=所以D选项正确.故选D.
题型一　分段函数求值(范围)
[例1] 已知函数f(x)=
(1)f(-5),f(-),f(f(-))的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>m,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由已知得f(-5)=-5+1=-4,f(-)=+2×(-)=3-2.
因为f(-)=-+1=-,所以f(f(-))=f(-)=+2×(-)=-.
(2)当a≤-2时,f(a)=a+1≤-1,f(a)=3无解;
当-2当a≥2时,f(a)=2a-1=3,解得a=2.
综上,a=2或a=1.
(3)当m≤-2时,f(m)=m+1>m恒成立,所以m≤-2;
当-2m,解得m<-1或m>0,所以-2当m≥2时,f(m)=2m-1>m,解得m>1,所以m≥2.
综上,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>0}.
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定所求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.
(3)解分段函数不等式的方法:在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将各段的解集取并集.
[变式训练] 已知函数
f(x)=
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)求f(f(1));
(3)解不等式f(x+1)>.
【解】 (1)f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2,)=(0,).
又由0(2)f(1)=-=,f(f(1))=f()=×=.
(3)f(x+1)>等价于①
或②
或③
解①得-所以f(x+1)> 的解集为(-,0)∪[0,1)∪=(-,1).
题型二　分段函数的图象
[例2] (湘教版必修第一册P75例8)画出函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图象.
【解】 为了去掉绝对值符号,需分段讨论:
当x<-1时,f(x)=(2-x)+(-x-1)=1-2x;
当-1≤x≤2时,f(x)=2-x+x+1=3;
当x>2时,f(x)=x-2+x+1=2x-1.
则f(x)=
分段画出f(x)的图象,如图所示.
分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
[变式训练] 某通讯公司欲采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(单位:min)与相应话费y(单位:元)之间的函数图象如图所示,则y与x之间的函数关系式为　 .
【答案】 y=
【解析】 由题图知,当0≤x≤100时,设函数为y=kx,则40=100k,得k=,所以y=x;
当x>100时,设函数为y=mx+n,则解得所以y=x+20.
综上,y与x之间的函数关系式为y=
题型三　分段函数的实际应用
[例3] 某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
【解】 (1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为41元时,一次订购量为x0个,则x0=
100+=650.
所以当一次订购量为650个时,零件的实际出厂单价降为41元.
(2)当0所以P=f(x)=
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画出.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
[变式训练] 下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/m3).
阶梯 户年 用水量 /m3 水价 其中
自来 水费 水资 源费 污水 处理费
第一 阶梯 0~ 180(含) 5.00 2.1 1.5 1.4
第二 阶梯 180~ 260(含) 7.00 4.1
第三 阶梯 260以上 9.00 6.1
(1)试写出用户所交水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)的函数关系式.
(2)若某户居民一年交水费1 110元,求其中水资源费和污水处理费分别为多少
【解】 (1)当0≤x≤180时,y=5x;
当180当x>260时,y=9(x-260)+900+560=9x-880.
综上,y=
(2)当0≤x≤180时,y∈[0,900],当180所以该户居民水资源费为315元,污水处理费为294元.第2课时　分段函数
【学习目标】　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
知识归纳
知识点　分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
(1)分段函数本质:函数在定义域不同的范围内,有着不同的对应关系.
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集,值域为各段上值域的并集.
基础自测
1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　)
[A]f(x)=
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=
2.已知函数f(x)=则f(-1)-f(3)=(　　)
[A]-3 [B]3
[C]-4 [D]4
3.已知函数f(x)=则不等式f(x)<0的解集为(　　)
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](-1,0] [D][0,+∞)
4.(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数y=-|x|的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型一　分段函数求值(范围)
[例1] 已知函数f(x)=
(1)f(-5),f(-),f(f(-))的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>m,求实数m的取值范围.
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定所求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.
(3)解分段函数不等式的方法:在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将各段的解集取并集.
[变式训练] 已知函数
f(x)=
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)求f(f(1));
(3)解不等式f(x+1)>.
题型二　分段函数的图象
[例2] (湘教版必修第一册P75例8)画出函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图象.
分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
[变式训练] 某通讯公司欲采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(单位:min)与相应话费y(单位:元)之间的函数图象如图所示,则y与x之间的函数关系式为　 .
题型三　分段函数的实际应用
[例3] 某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画出.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
[变式训练] 下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/m3).
阶梯 户年 用水量 /m3 水价 其中
自来 水费 水资 源费 污水 处理费
第一 阶梯 0~ 180(含) 5.00 2.1 1.5 1.4
第二 阶梯 180~ 260(含) 7.00 4.1
第三 阶梯 260以上 9.00 6.1
(1)试写出用户所交水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)的函数关系式.
(2)若某户居民一年交水费1 110元,求其中水资源费和污水处理费分别为多少 3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
【学习目标】　1.掌握函数的三种表示法.2.掌握函数图象的作法和应用.3.会求函数的解析式.
知识归纳
知识点　函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法,就是用解析式表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
这三种方法是常用的函数表示法.
三种表示法的区别与联系
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
基础自测
1.购买某种饮料x瓶,所需钱数为y元.若每瓶2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
[A]y=2x
[B]y=2x(x∈R)
[C]y=2x(x∈{1,2,3,…})
[D]y=2x(x∈{1,2,3,4})
【答案】 D
【解析】 题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},结合选项知D正确.故选D.
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]甲比乙先出发
[B]乙比甲跑的路程多
[C]甲、乙两人的速度相同
[D]甲先到达终点
【答案】 D
【解析】 当t=0时,s=0,甲、乙同时出发;甲、乙路程一样,故A,B错误;甲跑完全程s所用的时间少于乙跑完全程所用时间,故甲先到达终点,则甲速度比乙速度快,则C错误,D正确.故选D.
3.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 4 5 8 1 3 4
则f(f(1))的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]5
【答案】 C
【解析】 由题表可得,f(1)=7,所以f(f(1))=f(7)=4.故选C.
4.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T6改编)已知函数f(x)=kx+b为一次函数,且f(2)=-1,
f(4)=3,则f(-1)=(　　)
[A]3 [B]-3
[C]-7 [D]7
【答案】 C
【解析】 因为f(2)=-1,f(4)=3,所以解得所以f(x)=2x-5,所以f(-1)=2×(-1)-5=-7.故选C.
题型一　列表法表示函数
[例1] 已知函数f(x)如表所示,则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　)
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
[A]{1,2,0} [B]{-1,-2,0}
[C]{1,2} [D]{-1,-2}
【答案】 A
【解析】 由f(f(x))≥0,得f(x)=0或f(x)=-1 或f(x)=-2.当f(x)=0时,x=0;当f(x)=-1时,x=1;当f(x)=-2时,x=2.综上所述,不等式f(f(x))≥0的解集为{1,2,0}.故选A.
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
[变式训练] 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能满足g(f(x))[A]3 [B]4
[C]5 [D]7
【答案】 C
【解析】 对于A,当x=3时,f(3)无意义,A错误;对于B,当x=4时,f(4)=7,所以g(f(4))=g(7)无意义,B错误;对于C,当x=5时,f(5)=6,g(5)=5,所以g(f(5))=g(6)=4,f(g(5))=f(5)=6,则g(f(5))<
f(g(5)),C正确;对于D,当x=7时,g(7)无意义,D错误.故选C.
题型二　图象法表示函数
[例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域.
(1)y=-x-1,x∈{1,2,3,4};
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=(x-2)2.
【解】 (1)列表:
x 1 2 3 4
y -2 -3 -4 -5
描点作图,图象是一组离散的点,如图①所示,函数的值域为{-2,-3,-4,-5}.
(2)当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=图象的一部分,如图②所示,函数的值域为(0,1].
(3)法一(描点法)　利用描点法作出函数图象,图象是抛物线,如图③所示,函数的值域为[0,+∞).
法二(图象变换法)　先作出函数y=x2的图象,然后把它向右平移2个单位长度,就得到函数y=(x-2)2的图象,如图④所示,函数的值域为[0,+∞).
作函数y=f(x)图象的方法
(1)描点法:列表、描点、连线.
注意点:①要在定义域内作图;②要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
(2)图象变换法.
①左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
②上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
注意点:左右移动加减的是自变量,且不带系数与符号,上下移动加减的是函数值.
[变式训练] 函数y=的大致图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 法一　y=的定义域为{x|x≠-1},排除C,D;当x=0时,y=0,排除B.故选A.
法二　y==1-,所以将y=-的图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再将其向上平移1个单位长度得到所求图象.故选A.
题型三　求函数的解析式
[例3] (1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
【解】 (1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2,所以f(x)=x2+2x-2.
(2)法一(换元法)　令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
法二(配凑法)　f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.因为+1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
[典例迁移1] (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
【解】 (1)设f(x)=kx+b,k≠0,因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,即3k(x+1)+3b-(kx+b)=2x+9,
整理得2kx+3k+2b=2x+9,所以解得所以f(x)=x+3.
(2)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,因为f(0)=1,所以c=1,因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,整理得2ax+a+b=2x,所以
解得
所以f(x)=x2-x+1.
[典例迁移2] (1)已知f(x)+3f(-x)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(2)已知2f()+f(x)=x(x≠0),求f(x)的解析式.
【解】 (1)因为f(x)+3f(-x)=x2-2x,可得f(-x)+3f(x)=(-x)2-(-2x),即
消去f(-x)可得f(x)=x2+x.
(2)2f()+f(x)=x(x≠0),①
用替换x得2f(x)+f()=(x≠0),②
由②得f()=-2f(x),③
将③代入①得f(x)=-(x≠0).
求函数解析式的常用方法
(1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.换元时注意t的取值范围.
(2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替等式两边所有的g(x)即可.
(3)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,则可设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
注意:写解析式时,应注明定义域.3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
【学习目标】　1.掌握函数的三种表示法.2.掌握函数图象的作法和应用.3.会求函数的解析式.
知识归纳
知识点　函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是 来表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
这三种方法是常用的函数表示法.
三种表示法的区别与联系
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
基础自测
1.购买某种饮料x瓶,所需钱数为y元.若每瓶2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
[A]y=2x
[B]y=2x(x∈R)
[C]y=2x(x∈{1,2,3,…})
[D]y=2x(x∈{1,2,3,4})
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]甲比乙先出发
[B]乙比甲跑的路程多
[C]甲、乙两人的速度相同
[D]甲先到达终点
3.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 4 5 8 1 3 4
则f(f(1))的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]5
4.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T6改编)已知函数f(x)=kx+b为一次函数,且f(2)=-1,
f(4)=3,则f(-1)=(　　)
[A]3 [B]-3
[C]-7 [D]7
题型一　列表法表示函数
[例1] 已知函数f(x)如表所示,则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　)
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
[A]{1,2,0} [B]{-1,-2,0}
[C]{1,2} [D]{-1,-2}
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
[变式训练] 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能满足g(f(x))[A]3 [B]4
[C]5 [D]7
题型二　图象法表示函数
[例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域.
(1)y=-x-1,x∈{1,2,3,4};
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=(x-2)2.
作函数y=f(x)图象的方法
(1)描点法:列表、描点、连线.
注意点:①要在定义域内作图;②要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
(2)图象变换法.
①左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
②上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
注意点:左右移动加减的是自变量,且不带系数与符号,上下移动加减的是函数值.
[变式训练] 函数y=的大致图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型三　求函数的解析式
[例3] (1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
[典例迁移1] (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
[典例迁移2] (1)已知f(x)+3f(-x)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(2)已知2f()+f(x)=x(x≠0),求f(x)的解析式.
求函数解析式的常用方法
(1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.换元时注意t的取值范围.
(2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替等式两边所有的g(x)即可.
(3)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,则可设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
注意:写解析式时,应注明定义域.

展开更多......

收起↑