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第2课时　函数的最大(小)值
【学习目标】　1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题.
知识归纳
知识点　函数的最值
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x) M;
(2) x0∈D,使得 .
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x) M;
(2) x0∈D,使得 .
那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.
(1)最大(小)值的几何意义:函数图象上最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y=x,x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值,但取得最大(小)值时的x0可以有多个.
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M),那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值,只有同时满足定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值.
基础自测
1.已知f(x)是定义在R上的函数,那么“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
2.(人教A版必修第一册P81练习T3改编)已知函数f(x)=,x∈[0,3],则函数f(x)的最小值为(　　)
[A]-1 [B]
[C]1 [D]4
3.函数f(x)=x2-2x,x∈[-1,1)的值域是(　　)
[A][-1,3] [B](-1,3]
[C](-1,3) [D][-1,3)
4.函数f(x)=的最小值为(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
题型一　利用图象求函数的最值
[例1] 已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值.
利用图象求函数最值的方法
(1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象.
(2)根据图象找出最高点和最低点.
(3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
[变式训练] 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)=的大致图象,并根据函数图象写出f(x)的单调区间和值域.
题型二　利用函数的单调性求函数的最值
[例2] 已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求f(x)在区间[-1,5]上的最值.
(1)利用单调性求最值的一般步骤.
①判断函数的单调性;
②利用单调性写出最值.
(2)函数的最值与单调性的关系.
①若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);
②若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a);
③求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
[变式训练] 已知函数f(x)=2x-.
(1)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)求f(x)在(1,3]上的值域.
题型三　二次函数的最值
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4.
(1)若a=2,求f(x)在[-2,3]上的最值;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴方程为x=m为例,x∈[a,b].
(1)最小值:f(x)min=
(2)最大值:f(x)max=
当图象开口向下时,可用类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
[变式训练] 已知二次函数f(x)=x2-2x+3.
(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值;
(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
题型四　函数最值的实际应用
[例4] 某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y=f(x)(注明函数定义域);
(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润.
解应用题的步骤是①审清题意;②建立数学模型,将实际问题转化为数学问题;③总结结论,回归题意.
[变式训练] 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润L(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中x为销售量,单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)
[A]90万元 [B]60万元
[C]120万元 [D]120.25万元3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
【学习目标】　1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或单调递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性.
知识归纳
知识点一　函数的单调性
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D:如果 x1,x2∈I,当x1 x2时,都有f(x1) f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是 .
如果 x1,x2∈I,当x1 x2时,都有f(x1) f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是 .
(1)单调性定义中的三个性质:
①同区间性,即x1,x2∈I;②任意性,即不可以用区间I上的特殊值代替;③有序性,即要规定x1,x2的大小.
(2)“单调递增(递减)”“x1,x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”这三者可以知二求一.
(3)区间I可以是整个定义域D,也可以是定义域的非空真子集,即应在函数的定义域内研究其单调性.
(4)单调递增(递减)是函数的局部性质,增(减)函数是函数的整体性质.
(5)函数单调性的等价形式:对于定义域内的区间I上任意的x1,x2,且x1≠x2,若>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x) 在区间I上单调递增;若<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在区间I上单调递减.
知识点二　单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
基础自测
1.已知函数y=f(x)在[-1,2]上的图象如图,则函数的单调递增区间为(　　)
[A][-1,0] [B][0,1]
[C][-1,2] [D][1,2]
2.已知f(x)在(2,5)上单调递减, x1,x2∈(2,5),若x1[A]f(x1)[C]f(x1)>f(x2) [D]以上都可能
3.函数y=-的单调递增区间为(　　)
[A](-∞,+∞)
[B](0,+∞)
[C](-∞,0)∪(0,+∞)
[D](-∞,0),(0,+∞)
4.(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则(　　)
[A]m> [B]m<
[C]m>- [D]m<-
题型一　利用图象求函数的单调区间
[例1] 已知函数f(x)=x2-4|x|.
(1)将f(x)写成分段函数的形式,并作出函数的图象;
(2)写出其单调区间(不用证明).
(1)求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,则可根据其单调性写出函数的单调区间;若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出,则可作出其图象,根据图象写出其单调区间.
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”连接或用“,”分开.
[变式训练] 已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
[A](-∞,)
[B](,+∞)
[C](2,)和(3,+∞)
[D](-∞,2)和(,3)
题型二　函数单调性的证明
[例2] (北师大版必修第一册P64例5)试用函数单调性的定义证明:函数f(x)=x+在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值并规定大小:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,进行分类讨论.
(4)结论:根据定义确定单调性.
[变式训练] 证明:函数f(x)=3+在(1,+∞)上单调递减.
题型三　函数单调性的应用
[例3] 若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
[A][-3,0)
[B](-∞,-3]
[C][-2,0]
[D][-3,0]
[典例迁移1] 若函数f(x)=
是增函数,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-3,-2] [B](-3,-1]
[C][-2,-1] [D](-2,-1]
[典例迁移2] 已知f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(x-1)[A](,] [B](0,)
[C][0,) [D][0,]
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数:若为二次函数——判断其图象的开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件;若为一次函数——由单调性决定一次项系数的正负.若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小,探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,并注意函数的定义域.
培优拓展　复合函数的单调性
[典例] 函数y=的单调递增区间为(　　)
[A][-,+∞)
[B](-6,-]
[C][-,1)和(1,+∞)
[D](-∞,-6)∪(-6,-]
形如y=f(g(x))的函数为y=g(x),y=f(x)的复合函数,y=g(x)为内层函数,y=f(x)为外层函数.当y=g(x)单调递增,y=f(x)单调递增时,函数y=f(g(x))单调递增;当y=g(x)单调递增,y=f(x)单调递减时,函数y=f(g(x))单调递减;当y=g(x)单调递减,y=f(x)单调递增时,函数y=f(g(x))单调递减;当y=g(x)单调递减,y=f(x)单调递减时,函数y=f(g(x))单调递增.简称为“同增异减”.
[跟踪训练] 已知f(x)=x2,若g(x)=f(1-x2),则g(x)(　　)
[A]在区间(0,1)上单调递减
[B]在区间(-1,0)上单调递减
[C]在区间(-∞,0)上单调递增
[D]在区间(0,+∞)上单调递增第2课时　函数的最大(小)值
【学习目标】　1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题.
知识归纳
知识点　函数的最值
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x)≤M;
(2) x0∈D,使得f(x0)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x)≥M;
(2) x0∈D,使得f(x0)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.
(1)最大(小)值的几何意义:函数图象上最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y=x,x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值,但取得最大(小)值时的x0可以有多个.
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M),那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值,只有同时满足定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值.
基础自测
1.已知f(x)是定义在R上的函数,那么“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 只有“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”且“存在x0∈R,使得f(x0)=M”,这时f(x)的最大值才是M,所以充分性不满足;当f(x)的最大值是M时,对任意x∈R总有f(x)≤M恒成立,所以必要性满足,故“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的必要不充分条件.故选B.
2.(人教A版必修第一册P81练习T3改编)已知函数f(x)=,x∈[0,3],则函数f(x)的最小值为(　　)
[A]-1 [B]
[C]1 [D]4
【答案】 B
【解析】 因为y=x+1在[0,3]上单调递增,且恒大于0,所以f(x)=在[0,3]上单调递减,则f(x)min=f(3)=.故选B.
3.函数f(x)=x2-2x,x∈[-1,1)的值域是(　　)
[A][-1,3] [B](-1,3]
[C](-1,3) [D][-1,3)
【答案】 B
【解析】 由f(x)的解析式可知,对称轴方程为x=1,所以函数在[-1,1)上单调递减,又f(-1)=3,f(1)=-1,所以值域为(-1,3].故选B.
4.函数f(x)=的最小值为(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
【答案】 A
【解析】 由已知,当x≤1时,f(x)=-x单调递减,f(1)=-1,此时f(x)≥-1,当x>1时,f(x)=x2单调递增,且f(x)>1,所以f(x)min=f(1)=-1.故选A.
题型一　利用图象求函数的最值
[例1] 已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值.
【解】 作出函数f(x)的图象如图所示.由图象可知,当x=2时,f(x)取得最大值2;
当x=时,f(x)取得最小值-.
所以f(x)的最大值为2,最小值为-.
利用图象求函数最值的方法
(1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象.
(2)根据图象找出最高点和最低点.
(3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
[变式训练] 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)=的大致图象,并根据函数图象写出f(x)的单调区间和值域.
【解】 函数f(x)的大致图象如下:
由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为[0,+∞),值域为[-1,+∞).
题型二　利用函数的单调性求函数的最值
[例2] 已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求f(x)在区间[-1,5]上的最值.
【解】 (1)函数f(x)==3+在[-1,+∞)上单调递减.证明如下:
x1,x2∈[-1,+∞),x1f(x1)-f(x2)=-=,由-1≤x10,x1+2>0,x2+2>0,
则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在[-1,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知函数f(x)在[-1,5]上单调递减,f(x)max=f(-1)=8,f(x)min=f(5)=,
所以函数f(x)在区间[-1,5]上的最大值和最小值分别为8,.
(1)利用单调性求最值的一般步骤.
①判断函数的单调性;
②利用单调性写出最值.
(2)函数的最值与单调性的关系.
①若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);
②若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a);
③求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
[变式训练] 已知函数f(x)=2x-.
(1)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)求f(x)在(1,3]上的值域.
(1)【证明】 0由于00,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)递增.
(2)【解】 由(1)知f(x)在(1,3]上单调递增,所以f(x)>f(1)=1,
当x=3时,f(x)取得最大值f(3)=,所以f(x)在(1,3]上的值域为(1,].
题型三　二次函数的最值
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4.
(1)若a=2,求f(x)在[-2,3]上的最值;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
【解】 (1)当a=2时,f(x)=x2-2x+4,x∈[-2,3].
因为f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(x)在[-2,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.又f(-2)=12,f(1)=3,f(3)=7,
所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=3,当x=-2时,f(x)取得最大值f(-2)=12.
(2)二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4图象的对称轴为直线x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-2(a-1)+4=7-2a;
当1所以f(x)min=f(a-1)=(a-1)2-2(a-1)2+4=-a2+2a+3;
当a-1≥2,即a≥3时,f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=22-4(a-1)+4=12-4a.
综上,f(x)min=
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴方程为x=m为例,x∈[a,b].
(1)最小值:f(x)min=
(2)最大值:f(x)max=
当图象开口向下时,可用类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
[变式训练] 已知二次函数f(x)=x2-2x+3.
(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值;
(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
【解】 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.则f(x)的图象开口向上,其对称轴方程为x=1,
(1)f(x)在[-2,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=2.又因为f(-2)>f(3),所以f(x)max=f(-2)=11.
(2)①当t>1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以g(t)=f(t)=t2-2t+3;
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=2;
③当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,所以g(t)=f(t+1)=t2+2.
综上可得,g(t)=
题型四　函数最值的实际应用
[例4] 某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y=f(x)(注明函数定义域);
(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润.
【解】 (1)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),由表格得方程组
解得
所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,销售单价不低于进价,所以30≤x≤54,故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54].
(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].
当x=42时,日销售利润最大,最大值为432元,即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润.
解应用题的步骤是①审清题意;②建立数学模型,将实际问题转化为数学问题;③总结结论,回归题意.
[变式训练] 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润L(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中x为销售量,单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)
[A]90万元 [B]60万元
[C]120万元 [D]120.25万元
【答案】 C
【解析】 设该公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为L=-x2+21x+
2(15-x)=-x2+19x+30=-+30+,x∈N,所以当x=9或x=10时,L取得最大值,此时最大利润为120万元.故选C.3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
【学习目标】　1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或单调递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性.
知识归纳
知识点一　函数的单调性
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D:如果 x1,x2∈I,当x1如果 x1,x2∈I,当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.
(1)单调性定义中的三个性质:
①同区间性,即x1,x2∈I;②任意性,即不可以用区间I上的特殊值代替;③有序性,即要规定x1,x2的大小.
(2)“单调递增(递减)”“x1,x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”这三者可以知二求一.
(3)区间I可以是整个定义域D,也可以是定义域的非空真子集,即应在函数的定义域内研究其单调性.
(4)单调递增(递减)是函数的局部性质,增(减)函数是函数的整体性质.
(5)函数单调性的等价形式:对于定义域内的区间I上任意的x1,x2,且x1≠x2,若>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x) 在区间I上单调递增;若<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在区间I上单调递减.
知识点二　单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
基础自测
1.已知函数y=f(x)在[-1,2]上的图象如图,则函数的单调递增区间为(　　)
[A][-1,0] [B][0,1]
[C][-1,2] [D][1,2]
【答案】 B
【解析】 若函数单调递增,则对应图象为上升趋势,由题图可知y=f(x)的单调递增区间为[0,1].故选B.
2.已知f(x)在(2,5)上单调递减, x1,x2∈(2,5),若x1[A]f(x1)[C]f(x1)>f(x2) [D]以上都可能
【答案】 C
【解析】 因为f(x)在(2,5)上单调递减,所以 x1,x2∈(2,5),若x1f(x2).故选C.
3.函数y=-的单调递增区间为(　　)
[A](-∞,+∞)
[B](0,+∞)
[C](-∞,0)∪(0,+∞)
[D](-∞,0),(0,+∞)
【答案】 D
【解析】 由反比例函数的性质可得函数y=-的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞),且这两个单调区间不能用“∪”连接.故选D.
4.(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则(　　)
[A]m> [B]m<
[C]m>- [D]m<-
【答案】 B
【解析】 根据题意,函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则有2m-1<0,解得m<.故选B.
题型一　利用图象求函数的单调区间
[例1] 已知函数f(x)=x2-4|x|.
(1)将f(x)写成分段函数的形式,并作出函数的图象;
(2)写出其单调区间(不用证明).
【解】 (1)当x≥0时,f(x)=x2-4x,当x<0时,f(x)=x2+4x,
故f(x)=
f(x)的图象如图所示.
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为[-2,0],[2,+∞);单调递减区间为(-∞,-2],[0,2].
(1)求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,则可根据其单调性写出函数的单调区间;若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出,则可作出其图象,根据图象写出其单调区间.
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”连接或用“,”分开.
[变式训练] 已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
[A](-∞,)
[B](,+∞)
[C](2,)和(3,+∞)
[D](-∞,2)和(,3)
【答案】 C
【解析】 因为函数y=x2-5x+6图象的对称轴为直线x=,由x2-5x+6=0可得x=2或x=3,作出函数f(x)=|x2-5x+6|的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(2,)和(3,+∞).故选C.
题型二　函数单调性的证明
[例2] (北师大版必修第一册P64例5)试用函数单调性的定义证明:函数f(x)=x+在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
【证明】 任取x1,x2∈(0,1],且x1则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=x1-x2-=(x1-x2)(1-)=.
因为00,即f(x1)-f(x2)>0.
这表明函数f(x)=x+在区间(0,1]上单调递减.
同理可证,函数f(x)=x+在区间[1,+∞)上单调递增.
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值并规定大小:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,进行分类讨论.
(4)结论:根据定义确定单调性.
[变式训练] 证明:函数f(x)=3+在(1,+∞)上单调递减.
【证明】 x1,x2∈(1,+∞),且x1因为1所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
题型三　函数单调性的应用
[例3] 若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
[A][-3,0)
[B](-∞,-3]
[C][-2,0]
[D][-3,0]
【答案】 D
【解析】 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意;当a≠0时,f(x)图象的对称轴为直线x=,
由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知解得-3≤a<0.综上,实数a的取值范围为[-3,0].故选D.
[典例迁移1] 若函数f(x)=
是增函数,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-3,-2] [B](-3,-1]
[C][-2,-1] [D](-2,-1]
【答案】 C
【解析】 由题意得,
解得-2≤a≤-1.故选C.
[典例迁移2] 已知f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(x-1)[A](,] [B](0,)
[C][0,) [D][0,]
【答案】 A
【解析】 由题意,函数f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,由f(x-1)得 解得由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数:若为二次函数——判断其图象的开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件;若为一次函数——由单调性决定一次项系数的正负.若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小,探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,并注意函数的定义域.
培优拓展　复合函数的单调性
[典例] 函数y=的单调递增区间为(　　)
[A][-,+∞)
[B](-6,-]
[C][-,1)和(1,+∞)
[D](-∞,-6)∪(-6,-]
【答案】 C
【解析】 由6-5x-x2≠0,可得函数的定义域为{x|x≠-6 且x≠1},令t=-x2-5x+6=-+,则t∈(-∞,0)∪(0,],
由二次函数的性质可知t的单调递增区间为(-∞,-6),(-6,-];单调递减区间为[-,1),(1,+∞).又因为y=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,
由复合函数的单调性可知,函数y=的单调递增区间为[-,1)和(1,+∞).故选C.
形如y=f(g(x))的函数为y=g(x),y=f(x)的复合函数,y=g(x)为内层函数,y=f(x)为外层函数.当y=g(x)单调递增,y=f(x)单调递增时,函数y=f(g(x))单调递增;当y=g(x)单调递增,y=f(x)单调递减时,函数y=f(g(x))单调递减;当y=g(x)单调递减,y=f(x)单调递增时,函数y=f(g(x))单调递减;当y=g(x)单调递减,y=f(x)单调递减时,函数y=f(g(x))单调递增.简称为“同增异减”.
[跟踪训练] 已知f(x)=x2,若g(x)=f(1-x2),则g(x)(　　)
[A]在区间(0,1)上单调递减
[B]在区间(-1,0)上单调递减
[C]在区间(-∞,0)上单调递增
[D]在区间(0,+∞)上单调递增
【答案】 A
【解析】 g(x)=f(1-x2)是y=u2与u=1-x2的复合函数,列表如下:
x的取 值范围 u=1-x2的 单调性 u的取 值范围 y=u2的 单调性 g(x)=f(1-x2)=(1-x2)2的单调性
(-∞,-1) 单调 递增 (-∞,0) 单调 递减 单调递减
(-1, 0) 单调 递增 (0,1) 单调 递增 单调递增
(0,1) 单调 递减 (0,1) 单调 递增 单调递减
(1,+∞) 单调 递减 (-∞,0) 单调 递减 单调递增
由表可知,A正确.故选A.

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