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4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)loga=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
知识拓展
性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中N1,N2,…,Nk>0,k∈N*.
基础自测
1.计算log62+log63等于(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]3
【答案】 B
【解析】 log62+log63=log6(2×3)=log66=1.故选B.
2.计算log2等于(　　)
[A]-2 [B]- [C] [D]2
【答案】 A
【解析】 log2=log22-2=-2.故选A.
3.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T2(2))若lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,则(　　)
[A]a+b=0 [B]a-b=0
[C]ab=1 [D]=1
【答案】 C
【解析】 因为lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,所以lg a+lg b=lg (ab)=0,因此ab=1.故选C.
4.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 (　　)
[A]a-b [B]a-2b
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为lg 3=a,lg 7=b,所以lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.故选B.
题型一　对数运算性质的简单应用
[例1] 求下列各式的值:
(1)log3(9×27);
(2)lg +lg +lg 100;
(3)log7-log7;
(4)2log183+log182.
【解】 (1)log3(9×27)=log335=5.
(2)lg +lg +lg 100=lg (××100)=lg 1003=lg 106=6.
(3)log7-log7=log7(÷)=log7=log77-1=-1.
(4)2log183+log182=log189+log182=log1818=1.
对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg 20+lg 5;(2)log336-log312;
(3)lo;
(4)log535-log5-log514.
【解】 (1)lg 20+lg 5=lg 100=lg 102=2.
(2)log336-log312=log3=log33=1.
(3)lo=lo=lo=18.
(4)log535-log5-log514=log5(35÷÷14)=log5125=log553=3.
题型二　对数式的分拆
[例2] (北师大版必修第一册P102例2)已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式的值:
(1)log230;(2)log2;(3)log2.
【解】 (1)log230=log2(2×3×5)=log22+log23+log25=1+a+b.
(2)log2=log25-log29=log25-log232=log25-2log23=b-2a.
(3)log2=log21-log22=log215-log220=(log23+log25)-(log24+log25)=(a+b)-(2+b)=--1.
用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化.
[变式训练] (湘教版必修第一册P117例3)设A=logax,B=logay,C=logaz,用A,B,C表示下列各式:
(1)loga;(2)loga.
【解】 (1)loga=loga(xy2)-logaz3=logax+2logay-3logaz=A+2B-3C.
(2)loga=3logax+logay-logaz=3A+B-C.
题型三　利用对数的运算性质化简、求值
[例3] 计算下列各式的值:
(1)3log3-log3+log34+log37;
(2);
(3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
【解】 (1)法一　原式=log3-log3+log3+log37=log3-log3+log32+log37=log3=log327=log333=3.
法二　原式=3(1-log32)-(log37-2log32)+log32+log37=3.
(2)原式===.
(3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
利用对数的运算性质化简、求值
(1)“合”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg -lg +lg;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.
【解】 (1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
(2)原式=(1-lg 2)2+2lg 2-(lg 2)2=1-2lg 2+ (lg 2)2+2lg 2-(lg 2)2=1.
第2课时　换底公式
学习目标　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数换底公式
logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
知识拓展
对数换底公式的重要推论
(1)logaN=(N>0,且N≠1;a>0,且a≠1).
(2)lobm=logab(a>0,且a≠1;b>0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).特别地logab·logba=1.
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=(a>0,且a≠1;b>0).
基础自测
1.化简log832的值为(　　)
[A] [B]2 [C]4 [D]
【答案】 D
【解析】 法一　log832=lo25=log22=.故选D.
法二　log832===.故选D.
2.化简的值为 (　　)
[A] [B] [C]2 [D]3
【答案】 D
【解析】 =log327=3.故选D.
3.(人教A版必修第一册P126练习T3改编)化简log23×log34×log45×log58的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]8
【答案】 B
【解析】 由题意可得,log23×log34×log45×log58=×××===3.故选B.
4.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于 (　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 log36===.故选B.
题型一　对数换底公式的应用
[例1] (北师大版必修第一册P105例4)计算:
(1)log4+log23-log0.5;
(2)(log32+log23)2--.
【解】 根据对数的换底公式,得
(1)log4+log23-log0.5=+log23-=log2+log23-log25=log2(×3÷5)=log21=0.
(2)(log32+log23)2--=(+)2-×-×=()2+()2+2-()2-()2=2.
[典例迁移1] 计算的值.
【解】 原式=×=lo×lo9=lo×lo32=-×log32×3log23=-log32×=-.
[典例迁移2] 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
【解】 法一　因为18b=5,所以log185=b,于是log3645====.
法二　因为log189==a,所以lg 9=alg 18.因为18b=5,所以log185==b,所以lg 5=blg 18.又lg 18≠0,所以log3645=====.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
题型二　对数运算性质的综合运用
[例2] 已知x,y,z都是大于1的实数,m>0且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,求logzm的值.
【解】 因为logxm=24, logym=40, logxyzm=12,所以logmx==,同理可得logmy=,logm(xyz)=,所以logmz=logm(xyz)-logmx-logmy=--=,因此logzm==60.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[变式训练] 已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
【解】 令2x=3y=5z=k(k>0,且k≠1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,所以=logk2,=logk3,=logk5,所以++=logk2+logk3+logk5=logk30=1,解得k=30,
所以x=log230=log22+log215=1+log215,y=log330=log33+log310=1+log310,
z=log530=log55+log56=1+log56.
题型三　实际问题中的对数运算
[例3] 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为M=M0e-kt(其中M0,k是正常数).已知经过1 h,该设备可以过滤掉20%的污染物,则过滤一半的污染物需要的时间最接近(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]3 h [B]4 h [C]5 h [D]6 h
【答案】 A
【解析】 由题意可知(1-20%)M0=M0e-k,所以e-k=0.8.由(1-50%)M0=M0e-kt,所以0.5=e-kt==(0.8)t,所以t=log0.80.5=====≈≈3.103,比较接近3.故选A.
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
[变式训练] 假设学习的初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的=≈1 481倍.照此计算,当“进步者”是“退步者”的2倍时,大约经过天数为(参考数据:lg 1.01≈0.004 32,lg 0.99≈-0.004 36,lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]33 [B]35 [C]37 [D]39
【答案】 B
【解析】 假设经过n天,“进步者”是“退步者”的2倍,列方程得=2,
解得n=lo2=≈≈35.即经过约 35天,“进步者”是“退步者”的2倍.故选B.4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)= .
(2)loga= .
(3)logaMn= (n∈R).
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
知识拓展
性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中N1,N2,…,Nk>0,k∈N*.
基础自测
1.计算log62+log63等于(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]3
2.计算log2等于(　　)
[A]-2 [B]- [C] [D]2
3.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T2(2))若lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,则(　　)
[A]a+b=0 [B]a-b=0
[C]ab=1 [D]=1
4.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 (　　)
[A]a-b [B]a-2b
[C] [D]
题型一　对数运算性质的简单应用
[例1] 求下列各式的值:
(1)log3(9×27);
(2)lg +lg +lg 100;
(3)log7-log7;
(4)2log183+log182.
对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg 20+lg 5;(2)log336-log312;
(3)lo;
(4)log535-log5-log514.
题型二　对数式的分拆
[例2] (北师大版必修第一册P102例2)已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式的值:
(1)log230;(2)log2;(3)log2.
用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化.
[变式训练] (湘教版必修第一册P117例3)设A=logax,B=logay,C=logaz,用A,B,C表示下列各式:
(1)loga;(2)loga.
题型三　利用对数的运算性质化简、求值
[例3] 计算下列各式的值:
(1)3log3-log3+log34+log37;
(2);
(3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
利用对数的运算性质化简、求值
(1)“合”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg -lg +lg;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.
第2课时　换底公式
学习目标　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数换底公式
logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
知识拓展
对数换底公式的重要推论
(1)logaN=(N>0,且N≠1;a>0,且a≠1).
(2)lobm=logab(a>0,且a≠1;b>0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).特别地logab·logba=1.
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=(a>0,且a≠1;b>0).
基础自测
1.化简log832的值为(　　)
[A] [B]2 [C]4 [D]
2.化简的值为 (　　)
[A] [B] [C]2 [D]3
3.(人教A版必修第一册P126练习T3改编)化简log23×log34×log45×log58的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]8
4.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于 (　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型一　对数换底公式的应用
[例1] (北师大版必修第一册P105例4)计算:
(1)log4+log23-log0.5;
(2)(log32+log23)2--.
[典例迁移1] 计算的值.
[典例迁移2] 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
题型二　对数运算性质的综合运用
[例2] 已知x,y,z都是大于1的实数,m>0且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,求logzm的值.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[变式训练] 已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
题型三　实际问题中的对数运算
[例3] 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为M=M0e-kt(其中M0,k是正常数).已知经过1 h,该设备可以过滤掉20%的污染物,则过滤一半的污染物需要的时间最接近(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]3 h [B]4 h [C]5 h [D]6 h
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
[变式训练] 假设学习的初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的=≈1 481倍.照此计算,当“进步者”是“退步者”的2倍时,大约经过天数为(参考数据:lg 1.01≈0.004 32,lg 0.99≈-0.004 36,lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]33 [B]35 [C]37 [D]39

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