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4.4.3　不同函数增长的差异
学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.
知识归纳
知识点　三种常见函数模型的增长差异
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋 于稳定 增长速 度不变
续　表
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长幅度很大时,常常选用对数函数模型.
(3)一次函数增长速度不变,平稳变化.
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
基础自测
1.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)
[A]一次函数 [B]幂函数
[C]对数函数 [D]指数函数
【答案】 C
【解析】 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.故选C.
2.有三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四个选项错误的是(　　)
[A]f(x)的增长速度始终不变
[B]f(x)的增长速度越来越快
[C]g(x)的增长速度越来越快
[D]h(x)的增长速度越来越慢
【答案】 B
【解析】 作出三个函数的图象,由图可知A,C,D正确,B错误.故选B.
3.在一次物理实验中,某同学采集到如下一组数据:
x 0.5 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98 2.00
在下列四个函数模型中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
[A]y=2x [B]y=x2-1
[C]y=2x-2 [D]y=log2x
【答案】 D
【解析】 对于A,当x=0.5时,y=1,与-0.99相差过大,故排除;对于B,当x=2.01时,y=3.040 1,与0.98相差过大,故排除;对于C,当x=2.01时,y=2.02,与0.98相差过大,故排除;对于D,由对数函数性质知,表格里的数与y=log2x图象上的点相差较小,故正确.故选D.
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 在2 h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且函数单调递增,排除A;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C;停止注射后,血液中最终药物含量趋近于0,但不小于0,排除D;能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.
题型一　几类函数增长的差异
[例1] 三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
[A]y1,y2,y3 [B]y2,y1,y3
[C]y3,y2,y1 [D]y1,y3,y2
【答案】 C
【解析】 由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数变化;y1相对于y2增长得要慢一些,相当于y3增长得要快一些,故y1是直线型函数的变化.故选C.
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[变式训练] 下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是(　　)
[A]y=50 [B]y=1 000x
[C]y=2ln x [D]y=ex
【答案】 D
【解析】 依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数,故随着x的增长,y=ex的增长速度最快.故选D.
题型二　幂函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x,g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1【解】 由已知及f(1)=2>1=g(1),f(2)=4<8=g(2),f(9)=512<729=g(9),f(10)=1 024>1 000=g(10),
得1x2,观察题图知,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),则f(2 026)>g(2 026);
又g(2 026)>g(6),所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.特别的,呈直线上升的是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数;
(2)以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1;C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当0f(x);当x1g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
题型三　函数模型的选择
[例3] 某制造厂引进了一条装配流水线,本年第一季度统计数据如表所示.
月份 1月 2月 3月
产品数量x/件 30 60 80
创造的收益y/元 4 800 6 000 4 800
(1)根据表格数据,从下列三个函数模型:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b,选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的产品数量x(单位:件)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式.
(2)利用上述你选取的函数模型计算,若这家工厂希望在一月内利用这条流水线创收6 020元以上,那么它在一月内大约应生产多少件产品
【解】 (1)由题表可知,随着x的增大,y的值先增大后减小,而函数y=ax+b及y=ax+b均为单调函数,故不符合题意,所以选取②y=ax2+bx+c.由(30,4 800),(60,6 000),(80,4 800)三点,可得二次函数图象的对称轴为直线x==55,故可将函数解析式设为y=a(x-55)2+h,即得到
解得所以y=-2(x-55)2+6 050=-2x2+220x.
(2)设在一月内大约应生产x件产品,根据题意,可得-2x2+220x>6 020,即-2x2+220x-6 020>0,即x2-110x+3 010<0,解得55-建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论.
(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
[变式训练] 某科研小组自元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况,并测得最初绿球藻的生长面积为n(单位:m2),此后每隔一个月(每月月底)测量一次,一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了4 m2,二月底测得绿球藻的生长面积为(4+2) m2,科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢,绿球藻生长面积y(单位: m2)与时间x(单位:月)的关系有两个函数模型可供选择,一个是y=nax(n>0,a>1);另一个是y=p+n(p>0,n>0),记元旦最初测量时间x的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合,说明理由,并求出该函数模型的解析式.
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍
【解】 (1)函数模型y=nax(n>0,a>1),y=p+n(p>0,n>0)在[0,+∞)上都单调递增,y=nax(n>0,a>1)的函数值增加得越来越快,而y=p+n(p>0,n>0)的函数值增加得越来越慢,所以第二个函数模型y=p+n(p>0,n>0)满足要求.由题意知解得
所以y=4+2.
(2)由题意得4+2=2×7=14,解得x=9.
所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍.4.4.3　不同函数增长的差异
学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.
知识归纳
知识点　三种常见函数模型的增长差异
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
在(0,+∞) 上的增减性
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋 于稳定 增长速 度不变
续　表
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度;总会存在一个x0,当x>x0时,恒有
增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长幅度很大时,常常选用对数函数模型.
(3)一次函数增长速度不变,平稳变化.
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
基础自测
1.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)
[A]一次函数 [B]幂函数
[C]对数函数 [D]指数函数
2.有三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四个选项错误的是(　　)
[A]f(x)的增长速度始终不变
[B]f(x)的增长速度越来越快
[C]g(x)的增长速度越来越快
[D]h(x)的增长速度越来越慢
3.在一次物理实验中,某同学采集到如下一组数据:
x 0.5 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98 2.00
在下列四个函数模型中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
[A]y=2x [B]y=x2-1
[C]y=2x-2 [D]y=log2x
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型一　几类函数增长的差异
[例1] 三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
[A]y1,y2,y3 [B]y2,y1,y3
[C]y3,y2,y1 [D]y1,y3,y2
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[变式训练] 下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是(　　)
[A]y=50 [B]y=1 000x
[C]y=2ln x [D]y=ex
题型二　幂函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x,g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.特别的,呈直线上升的是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数;
(2)以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
题型三　函数模型的选择
[例3] 某制造厂引进了一条装配流水线,本年第一季度统计数据如表所示.
月份 1月 2月 3月
产品数量x/件 30 60 80
创造的收益y/元 4 800 6 000 4 800
(1)根据表格数据,从下列三个函数模型:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b,选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的产品数量x(单位:件)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式.
(2)利用上述你选取的函数模型计算,若这家工厂希望在一月内利用这条流水线创收6 020元以上,那么它在一月内大约应生产多少件产品
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论.
(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
[变式训练] 某科研小组自元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况,并测得最初绿球藻的生长面积为n(单位:m2),此后每隔一个月(每月月底)测量一次,一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了4 m2,二月底测得绿球藻的生长面积为(4+2) m2,科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢,绿球藻生长面积y(单位: m2)与时间x(单位:月)的关系有两个函数模型可供选择,一个是y=nax(n>0,a>1);另一个是y=p+n(p>0,n>0),记元旦最初测量时间x的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合,说明理由,并求出该函数模型的解析式.
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍

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