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5.1.2　弧度制
学习目标　1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
知识归纳
知识点一　角的单位制
1.角度制
角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的.用 作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制
长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角.以 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作 .
3.角的弧度数的求法
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=.
一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 .
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点二　角度与弧度的互化
1.角度与弧度的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=()°≈57.30°=57°18′
度数×=弧度数 弧度数×()°=度数
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 90° 120° 135° 150° 270° 360°
弧度 0 π
(1)弧度单位 rad可以省略.
(2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用.
知识点三　角度制、弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
度量制 公式
弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l= (0<α<2π) S= = αR2(0<α<2π)
基础自测
1.下列说法错误的是(　　)
[A]度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
[B]1度的角是周角的,1弧度的角是周角的
[C]根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
[D]不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关
2.-320°用弧度制表示为(　　)
[A]- [B]- [C]- [D]
3.若α=-3 rad,则它是(　　)
[A]第一象限角　 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
4.(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知扇形的圆心角为120°,半径为,则此扇形的面积为 ,周长为 .
题型一　弧度制的概念
[例1] (1)下列命题中,正确的是(　　)
[A]1弧度是1度的圆心角所对的弧
[B]1弧度是长度为半径长的弧
[C]1弧度是1度的弧与1度的角之和
[D]1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)
[A] [B] [C]3 [D]
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
[变式训练] 下列说法中,正确的是(　　)
[A]1弧度角的大小与圆的半径无关
[B]大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
[C]圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
[D]用弧度来表示的角都是正角
题型二　角度制与弧度制的相互转化
[例2] (1)(苏教版必修第一册P173例3)把下列各角从弧度化为度:
①;②3.5.
(2)(苏教版必修第一册P173例4)把下列各角从度化为弧度:
①252°;②11°15′.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×()°=度数.一般情况下,省略弧度单位rad.
[变式训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;
(3) rad;(4)- rad.
题型三　利用弧度表示角
[例3] 已知α=-1 520°.
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0.
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
[变式训练] (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
[A]{β}
[B]{β}
[C]{β}
[D]{β}
(2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(　　)
[A](,)　
[B][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
[C][,]
[D][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
题型四　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
[例4] 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
(1)记公式.面积公式:S=lR=αR2,弧长公式:l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键.涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
[变式训练] (多选)已知某扇形的弧长为3π,圆心角为,则(　　)
[A]该扇形的半径为6π
[B]该扇形的周长为9π
[C]该扇形的面积为9π　
[D]该扇形的面积为9π25.1.2　弧度制
学习目标　1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
知识归纳
知识点一　角的单位制
1.角度制
角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度.
3.角的弧度数的求法
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=.
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点二　角度与弧度的互化
1.角度与弧度的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=()°≈57.30°=57°18′
度数×=弧度数 弧度数×()°=度数
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
(1)弧度单位 rad可以省略.
(2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用.
知识点三　角度制、弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
度量制 公式
弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l=α·R (0<α<2π) S=lR= αR2(0<α<2π)
基础自测
1.下列说法错误的是(　　)
[A]度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
[B]1度的角是周角的,1弧度的角是周角的
[C]根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
[D]不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关
【答案】 D
【解析】 根据角度制和弧度制的定义可知,度与弧度是度量角的两种不同的度量单位,所以A正确;由圆周角的定义知,1度的角是周角的,1弧度的角是周角的,所以B正确;根据弧度的定义知,180°一定等于π弧度,所以C正确;无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短无关,只与弧长与半径的比值有关,所以D不正确.故选D.
2.-320°用弧度制表示为(　　)
[A]- [B]- [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 -320°=-320×=-.故选C.
3.若α=-3 rad,则它是(　　)
[A]第一象限角　 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
【答案】 C
【解析】 因为-π<-3<-,所以-3 rad是第三象限角.故选C.
4.(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知扇形的圆心角为120°,半径为,则此扇形的面积为　　　　,周长为　　　　.
【答案】 π　+2
【解析】 设扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,由题意可得α=,r=,所以扇形面积为S=αr2=××=π,扇形周长为αr+2r=×+2=+2.
题型一　弧度制的概念
[例1] (1)下列命题中,正确的是(　　)
[A]1弧度是1度的圆心角所对的弧
[B]1弧度是长度为半径长的弧
[C]1弧度是1度的弧与1度的角之和
[D]1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)
[A] [B] [C]3 [D]
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,所以选项A,B,C说法不正确,D正确.故选D.
(2)如图,等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则线段AB所对的圆心角∠AOB=,作OM⊥AB,垂足为M,在Rt△AOM 中,AO=r,∠AOM=,所以AM=r,AB=r,所以l=r,所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为α==.故选D.
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
[变式训练] 下列说法中,正确的是(　　)
[A]1弧度角的大小与圆的半径无关
[B]大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
[C]圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
[D]用弧度来表示的角都是正角
【答案】 A
【解析】 由弧度的定义得,弧度数的大小与圆的半径无关,它由比值唯一确定,故A正确;大圆中1弧度角与小圆中1弧度角的大小相等,故B错误;圆心角为1弧度的扇形的弧长与半径大小有关,半径不相等,则扇形的弧长不相等,故C错误;正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,故D错误.故选A.
题型二　角度制与弧度制的相互转化
[例2] (1)(苏教版必修第一册P173例3)把下列各角从弧度化为度:
①;②3.5.
(2)(苏教版必修第一册P173例4)把下列各角从度化为弧度:
①252°;②11°15′.
【解】 (1)① rad=×()°=108°.
②3.5 rad=3.5×()°≈200.54°.
(2)①252°=252× rad= rad.
②11°15′=11.25°=11.25× rad= rad.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×()°=度数.一般情况下,省略弧度单位rad.
[变式训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;
(3) rad;(4)- rad.
【解】 (1)20°=20× rad= rad.
(2)-15°=-15× rad=- rad.
(3) rad=×()°=105°.
(4)- rad=-×()°=-396°.
题型三　利用弧度表示角
[例3] 已知α=-1 520°.
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0.
【解】 (1)因为α=-1 520°=-360°×5+280°,280°==,所以α=-10π.因为<π<2π,所以α是第四象限角.
(2)α=-10π=-+2π-10π=--8π,所以与α终边相同的角可表示为θ=-+2kπ(k∈Z),令-4π≤-+2kπ<0,解得-≤k<(k∈Z),所以k=-1,0.当k=-1时,θ=--2π=-π;当k=0时,θ=-.所以θ=-π或θ=-.
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
[变式训练] (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
[A]{β}
[B]{β}
[C]{β}
[D]{β}
(2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(　　)
[A](,)　
[B][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
[C][,]
[D][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为150°=150×=,且角度和弧度不能在一个集合中同时使用,故与150°角的终边相同的角的集合为{β,k∈Z}.故选D.
(2)阴影部分的两条边界分别是,角的终边,所以α的取值范围是[2kπ+,2kπ+](k∈Z).故选D.
题型四　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
[例4] 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
【解】 (1)由题意知α=120°= rad,所以弧长l=α·R=×10=(cm).
(2)由题意得解得(舍去),
故扇形圆心角为 rad.
(3)由题意知l+2R=20,所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,
此时l=10 cm,α=2 rad.
(1)记公式.面积公式:S=lR=αR2,弧长公式:l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键.涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
[变式训练] (多选)已知某扇形的弧长为3π,圆心角为,则(　　)
[A]该扇形的半径为6π
[B]该扇形的周长为9π
[C]该扇形的面积为9π　
[D]该扇形的面积为9π2
【答案】 AD
【解析】 设该扇形所在圆的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则r===6π,A正确;该扇形的周长为6π+6π+3π=15π,该扇形的面积为××(6π)2=9π2,B,C错误,D正确.故选AD.

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