资源简介

5.2.1　三角函数的概念
学习目标　1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号.
知识归纳
知识点一　任意角的三角函数的定义
条件 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)
定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α
余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α
正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作 tan α,即=tan α(x≠0)
三角 函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数　y=sin x,x∈R; 余弦函数　y=cos x,x∈R; 正切函数　y=tan x,x∈{x|x≠+kπ(k∈Z)}
(1)三角函数值是比值,是一个实数.
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关.
(3)若角α的终边与单位圆交于一点P,则点P的坐标为P(cos α,sin α).
知识拓展
　若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0),r=,则sin α=,cos α=,tan α=.
知识点二　三角函数值的符号
如图所示.
正弦:第一、二象限为正,第三、四象限为负.余弦:第一、四象限为正,第二、三象限为负.正切:第一、三象限为正,第二、四象限为负.
知识点三　诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等.即
sin(α+k·2π)=sin α,
cos(α+k·2π)=cos α,
tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z.
基础自测
1.在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边与单位圆交于点(,-),则sin α等于(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 由题意sin α=-.故选C.
2.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点(-5,12),则cos α等于(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 C
【解析】 设点P(-5,12),则|OP|==13,故cos α==-.故选C.
3.若α=,则(　　)
[A]sin α>0且cos α>0
[B]sin α>0且cos α<0
[C]sin α<0且cos α>0
[D]sin α<0且cos α<0
【答案】 C
【解析】 由α==2π-,即α为第四象限角,所以sin α<0且cos α>0.故选C.
4.计算sin(-330°)cos 390°=　　　　.
【答案】
【解析】 由诱导公式一可得,sin(-330°)·cos 390°=sin(-360°+30°)cos(360°+30°)=sin 30°cos 30°=×=.
题型一　三角函数的定义及应用
[例1] 求的正弦、余弦和正切值.
【解】 在平面直角坐标系中,作∠AOB=(如图).
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(-,),所以sin =,cos =-,tan =-.
[典例迁移1] (苏教版必修第一册P178例1)如图,已知角α的终边经过点P(2,-3),求α的正弦、余弦、正切值.
【解】 因为x=2,y=-3,所以r==,
从而sin α===-,
cos α===,
tan α==-.
[典例迁移2] 若角α的终边经过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
【解】 因为r==5|a|,
①若a>0,则r=5a,角α是第二象限角,sin α===,cos α===-,所以2sin α+cos α=-=1.
②若a<0,则r=-5a,角α是第四象限角,sin α==-,cos α==,所以2sin α+cos α=-+=-1.
综上,2sin α+cos α的值为1或-1.
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角α的大小,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α=.
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r=,再求sin α=,
cos α=,tan α=.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
题型二　三角函数函数值的符号
[例2] (1)“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的(　　)
[A]充要条件
[B]必要不充分条件
[C]充分不必要条件
[D]既不充分也不必要条件
(2)(多选)给出的下列函数值中符号为负的是(　　)
[A]cos [B]sin(-1 000°)
[C]tan 2 [D]sin 5
【答案】 (1)A　(2)ACD
【解析】 (1)充分性:由cos θ<0可知+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,由tan θ>0可知2kπ<θ<+2kπ或π+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,综上,π+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,即θ为第三象限角.
必要性:若θ为第三象限角,则cos θ<0且tan θ>0.
所以“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的充要条件.故选A.
(2)因为=2π+,所以是第三象限角,所以cos <0,A项为负;因为-1 000°=-3×360°+80°,所以-1 000°是第一象限角,所以sin(-1 000°)>0,B项为正;因为<2<π,2弧度是第二象限角,所以tan 2<0,C项为负;因为<5<2π,5弧度是第四象限角,所以sin 5<0,D项为负.故选ACD.
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.
[变式训练] (1)已知点P(tan α,sin α)在第四象限,则角α在(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
(2)sin 2cos 3tan 4的值(　　)
[A]小于0　 [B]大于0
[C]等于0 [D]不存在
【答案】 (1)C　(2)A
【解析】 (1)因为点P(tan α,sin α)在第四象限,所以所以α在第三象限.故选C.
(2)因为<2<π,<3<π,π<4<,所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,
从而sin 2cos 3tan 4<0.故选A.
题型三　诱导公式一的应用
[例3] 计算下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)·sin 750°;
(2)sin(-)+cos tan 4π.
【解】 (1)原式=sin(-4×360°+45°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)·sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°·sin 30°=×+×=+=.
(2)原式=sin(-2π+)+cos(2π+)tan(4π+0)=sin +cos ×0=.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形:将已知的任意角写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中α∈[0,2π).
(2)转化:根据诱导公式一,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)tan 765°-sin 810°-cos 1 470°;
(2)sin tan(-).
【解】 (1)原式=tan(2×360°+45°)-sin(2×360°+90°)-cos(4×360°+30°)=tan 45°-sin 90°-
cos 30°=1-1-=-.
(2)原式=sin(+8π)tan(-4π)=sin tan =×1=.5.2.1　三角函数的概念
学习目标　1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号.
知识归纳
知识点一　任意角的三角函数的定义
条件 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)
定义 正弦 把点P的 叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=
余弦 把点P的 叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=
正切 把点P的 与 的比值叫做α的正切,记作 tan α,即= (x≠0)
三角 函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数　y=sin x,x∈R; 余弦函数　y=cos x,x∈R; 正切函数　y=tan x,x∈{x|x≠+kπ(k∈Z)}
(1)三角函数值是比值,是一个实数.
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关.
(3)若角α的终边与单位圆交于一点P,则点P的坐标为P(cos α,sin α).
知识拓展
　若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0),r=,则sin α=,cos α=,tan α=.
知识点二　三角函数值的符号
如图所示.
正弦:第 象限为正,第 象限为负.余弦:第 象限为正,第 象限为负.正切:第 象限为正,第 象限为负.
知识点三　诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值 .即
sin(α+k·2π)= ,
cos(α+k·2π)= ,
tan(α+k·2π)= ,其中k∈Z.
基础自测
1.在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边与单位圆交于点(,-),则sin α等于(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
2.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点(-5,12),则cos α等于(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
3.若α=,则(　　)
[A]sin α>0且cos α>0
[B]sin α>0且cos α<0
[C]sin α<0且cos α>0
[D]sin α<0且cos α<0
4.计算sin(-330°)cos 390°= .
题型一　三角函数的定义及应用
[例1] 求的正弦、余弦和正切值.
[典例迁移1] (苏教版必修第一册P178例1)如图,已知角α的终边经过点P(2,-3),求α的正弦、余弦、正切值.
[典例迁移2] 若角α的终边经过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角α的大小,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α=.
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r=,再求sin α=,
cos α=,tan α=.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
题型二　三角函数函数值的符号
[例2] (1)“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的(　　)
[A]充要条件
[B]必要不充分条件
[C]充分不必要条件
[D]既不充分也不必要条件
(2)(多选)给出的下列函数值中符号为负的是(　　)
[A]cos [B]sin(-1 000°)
[C]tan 2 [D]sin 5
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限:确定角α所在的象限.
(2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.
[变式训练] (1)已知点P(tan α,sin α)在第四象限,则角α在(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
(2)sin 2cos 3tan 4的值(　　)
[A]小于0　 [B]大于0
[C]等于0 [D]不存在
题型三　诱导公式一的应用
[例3] 计算下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)·sin 750°;
(2)sin(-)+cos tan 4π.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形:将已知的任意角写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中α∈[0,2π).
(2)转化:根据诱导公式一,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)tan 765°-sin 810°-cos 1 470°;
(2)sin tan(-).

展开更多......

收起↑