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5.2.2　同角三角函数的基本关系
学习目标　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
知识归纳
知识点　同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:=tan α.(α≠kπ+,k∈Z )
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
(1)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈{α+kπ(k∈Z)}成立.
(2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P184练习T1改编)已知α是第四象限角,若cos α=,则tan α等于(　　)
[A] [B]-
[C]2 [D]-2
【答案】 D
【解析】 因为cos α=,sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,因为α是第四象限角,所以 sin α<0,则sin α=-,所以tan α==-2.故选D.
2.已知tan α=3,则的值为(　　)
[A]- [B] [C]-2 [D]2
【答案】 A
【解析】 由tan α==3可得cos α≠0,分式的分子和分母同时除以cos α可得,===-.故选A.
3.已知=,则等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 A
【解析】 从=可得,cos x≠0,所以sin x≠±1,而====.故选A.
4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α=　　　　.
【答案】 1
【解析】 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
题型一　利用同角三角函数的基本关系求值
[例1] 根据下列条件,求三角函数值:
(1)已知sin α=,且α为第二象限角,求 cos α,tan α的值;
(2)已知tan α=-,求sin α,cos α的值.
【解】 (1)因为sin α=,且sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=,又α为第二象限角,所以cos α<0,所以cos α=-,tan α==-.
(2)因为tan α=-,所以sin α=-cos α,且α是第二或第四象限角;
联立得cos2α=.当α是第二象限角时,cos α=-,sin α=-cos α=;当α是第四象限角时,cos α=,sin α=-cos α=-.所以cos α=-,sin α=或cos α=,sin α=-.
[典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值.
(1)tan α;
(2);
(3).
【解】 (1)因为角α的终边过点P(-1,2),所以由三角函数定义可得tan α==-2.
(2)由(1)知,tan α=-2,所以===-.
(3)原式====-.
[典例迁移2] 已知=-1,求sin2α+sin αcos α+1的值.
【解】 法一(弦化切)　由==-1,得tan α=1,
所以sin2α+sin αcos α+1
=
=
=
===2.
法二　因为=-1,所以sin α=cos α,所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2.
(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”.
①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题.
(2)已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法.
①对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值;
②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值.
题型二　sin θ±cos θ型求值问题
[例2] 已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,求下列式子的值.
(1)sin θcos θ;
(2)sin θ-cos θ;
(3)sin θ和cos θ和tan θ.
【解】 (1)由sin θ+cos θ=,两边平方可得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-.
(2)由sin θcos θ=-<0,又θ∈(0,π),
所以sin θ>0,所以cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0,
所以sin θ-cos θ===.
(3)由
得tan θ==-.
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ.
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ.
(3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
(4)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2.
上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
[变式训练] (1)若sin θ-cos θ=,则tan θ+=　　　　.　
(2)已知x∈(-,0),sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=　　　　.
(3)已知1-sin α=cos α,α∈(-,),则tan α=　　　　.
【答案】 (1)-2　(2)-　(3)-
【解析】 (1)由已知得(sin θ-cos θ)2=2,所以sin θcos θ=-,所以tan θ+=+==-2.
(2)因为sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=,又x∈(-,0),所以sin x<0,cos x>0,即sin xcos x=-,sin x-cos x
=-
=-
=-=-.
(3)由题意1-sin α=cos α,所以(cos α+sin α)2=1=cos2α+sin2α,化简得cos2α+2cos αsin α=0,因为α∈(-,),所以cos α≠0,所以2tan α+1=0,解得tan α=-.
题型三　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
[例3] (1)化简:.
(2)证明:=.
(1)【解】 原式====1.
(2)【证明】 法一　
左边==
====右边.所以原等式成立.
法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α=sin αcos α+cos α-(1-sin2α)=cos α
(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)(cos α-1+sin α)=(1+sin α)(sin α+cos α-1),且sin α+
cos α-1≠0,cos α≠0,所以=.
(1)三角函数式的化简技巧.
①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化简的目的;
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的;
③对于含高次幂的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
(2)证明三角恒等式的常用方法.
①从左向右推导或从右向左推导;
②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;
④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc或证=等;
⑤比较法,即证明“左边-右边=0”或“=1”.
[变式训练] (1)化简:(1+tan2α)cos2α+.
(2)求证:=.
(1)【解】 因为(1+tan2α)cos2α
=(1+) cos2α=cos2α+sin2α=1.
=
==1.
所以(1+tan2α)cos2α+=1+1=2.
(2)【证明】 因为左边=
=
=
=,
右边=
=
=.
所以=.5.2.2　同角三角函数的基本关系
学习目标　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
知识归纳
知识点　同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α+cos2α= ;
商数关系:= .(α≠kπ+,k∈Z )
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
(1)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈{α+kπ(k∈Z)}成立.
(2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P184练习T1改编)已知α是第四象限角,若cos α=,则tan α等于(　　)
[A] [B]-
[C]2 [D]-2
2.已知tan α=3,则的值为(　　)
[A]- [B] [C]-2 [D]2
3.已知=,则等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α= .
题型一　利用同角三角函数的基本关系求值
[例1] 根据下列条件,求三角函数值:
(1)已知sin α=,且α为第二象限角,求 cos α,tan α的值;
(2)已知tan α=-,求sin α,cos α的值.
[典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值.
(1)tan α;
(2);
(3).
[典例迁移2] 已知=-1,求sin2α+sin αcos α+1的值.
(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”.
①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题.
(2)已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法.
①对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值;
②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值.
题型二　sin θ±cos θ型求值问题
[例2] 已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,求下列式子的值.
(1)sin θcos θ;
(2)sin θ-cos θ;
(3)sin θ和cos θ和tan θ.
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ.
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ.
(3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
(4)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2.
上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
[变式训练] (1)若sin θ-cos θ=,则tan θ+= .　
(2)已知x∈(-,0),sin4x+cos4x=,则sin x-cos x= .
(3)已知1-sin α=cos α,α∈(-,),则tan α= .
题型三　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
[例3] (1)化简:.
(2)证明:=.
(1)三角函数式的化简技巧.
①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化简的目的;
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的;
③对于含高次幂的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
(2)证明三角恒等式的常用方法.
①从左向右推导或从右向左推导;
②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;
④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc或证=等;
⑤比较法,即证明“左边-右边=0”或“=1”.
[变式训练] (1)化简:(1+tan2α)cos2α+.
(2)求证:=.

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