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5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
学习目标　1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.
知识归纳
知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y=sin x y=cos x
图象
图象 画法 五点法
关键 五点 ,(,1), ,(,-1), ,(,0), ,(,0),
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(2)余弦函数的图象叫做余弦曲线.
知识点二　正弦函数、余弦函数的图象的关系
将正弦函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数y=cos x的图象.
基础自测
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)
[A]重合
[B]形状相同,位置不同
[C]关于y轴对称
[D]形状不同,位置不同
2.用五点法作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标是(　　)
[A]0,,π,,2π
[B]0,,,,π
[C]0,π,2π,3π,4π
[D]0,,,,
3.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
[A]　　 　 [B]
[C]　 　　 [D]
4.(人教A版必修第一册P200练习T1改编)函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]的交点个数为 .
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
[例1] (多选)下列叙述正确的有(　　)
[A]y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
[B]y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
[C]正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
[D]正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
对于正弦、余弦函数的图象问题,要能画出正确的正弦曲线、余弦曲线,两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
[变式训练] (多选)关于函数y=cos x的图象,下列说法正确的是(　　)
[A]函数图象可以向左右无限延伸
[B]函数图象与x轴有无数个交点
[C]利用五点法画函数y=cos x的图象时,其中一个关键点为(,1)
[D]函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向下平移1个单位长度得到
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2] 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=+sin x,x∈[0,2π];
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤:
[变式训练] 用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=2-sin x,x∈[0,2π];
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π].
题型三　正弦函数、余弦函数图象的应用
[例3] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为 .
(2)不等式2sin x-1≥0,x∈R的解集为 .
(3)不等式[典例迁移1] 下列x的取值范围能使cos x[A][0,) [B](,)
[C](,) [D](,2π)
[典例迁移2](多选)关于函数f(x)=1+cos x,x∈(,2π)的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是(　　)
[A]当t<0或t≥2时,有0个交点
[B]当t=0或≤t<2时,有1个交点
[C]当0[D]当0[典例迁移3] 函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
(1)利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤.
①作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象;
②确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x的值;
③写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
④根据诱导公式一写出定义域内的解集.
(2)涉及y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象与y=t交点问题,一是直接作出y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象,也可以适当变形转化为作出y=sin x或y=cos x的图象,这时求t的范围需要求解关于t的方程或不等式.
(3)涉及y=sin x(或y=cos x)的图象与其他曲线的交点情况,常利用数形结合思想求解,注意计算一些关键点的纵坐标,以确定图象的交点情况.5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
学习目标　1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.
知识归纳
知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y=sin x y=cos x
图象
图象 画法 五点法
关键 五点 (0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0) (0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(2)余弦函数的图象叫做余弦曲线.
知识点二　正弦函数、余弦函数的图象的关系
将正弦函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数y=cos x的图象.
基础自测
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)
[A]重合
[B]形状相同,位置不同
[C]关于y轴对称
[D]形状不同,位置不同
【答案】 B
【解析】 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,但形状相同.故选B.
2.用五点法作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标是(　　)
[A]0,,π,,2π
[B]0,,,,π
[C]0,π,2π,3π,4π
[D]0,,,,
【答案】 A
【解析】 由五点作图法可知,首先描出的五个点的横坐标为x=0,,π,,2π.故选A.
3.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
[A]　　 　 [B]
[C]　 　　 [D]
【答案】 B
【解析】 由y=cos(-x)=cos x知,其图象和y=cos x 的图象相同.故选B.
4.(人教A版必修第一册P200练习T1改编)函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]的交点个数为　　　　.
【答案】 3
【解析】 分别作出f(x)=sin x,g(x)=cos x在区间[-2π,π]上的图象,如图所示,
由图象可知f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]上的交点个数为3.
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
[例1] (多选)下列叙述正确的有(　　)
[A]y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
[B]y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
[C]正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
[D]正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
【答案】 ABC
【解析】 分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象观察可知A,B,C均正确.故选ABC.
对于正弦、余弦函数的图象问题,要能画出正确的正弦曲线、余弦曲线,两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
[变式训练] (多选)关于函数y=cos x的图象,下列说法正确的是(　　)
[A]函数图象可以向左右无限延伸
[B]函数图象与x轴有无数个交点
[C]利用五点法画函数y=cos x的图象时,其中一个关键点为(,1)
[D]函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向下平移1个单位长度得到
【答案】 AB
【解析】 结合余弦函数y=cos x的图象可知A,B正确;利用五点法画函数y=cos x的图象时,其中一个关键点为(,0),故C错误;函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向上平移1个单位长度得到,故D错误.故选AB.
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2] 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=+sin x,x∈[0,2π];
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
【解】 (1)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
(2)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
1-cos x 0 1 2 1 0
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤:
[变式训练] 用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=2-sin x,x∈[0,2π];
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π].
【解】 (1)由题知y=2-sin x,x∈[0,2π],
列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y 2 1 2 3 2
根据表格画出图象如下:
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π],
列表如下:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
y=2cos x-1 1 -1 -3 -1 1
作出图象,如图所示.
题型三　正弦函数、余弦函数图象的应用
[例3] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为　　　　.
(2)不等式2sin x-1≥0,x∈R的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　.
(3)不等式【答案】 (1)[,]
(2){x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}
(3){x≤+2kπ或+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z}
【解析】 (1)因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.在同一平面直角坐标系下,作出函数y=sin x,x∈[0,2π]以及直线y=的图象,如图,由函数的图象知,sin =sin =.所以sin x≥的解集为[,].
(2)由(1)知不等式在x∈[0,2π]上的解集为[,].所以当x∈R时,不等式的解集为{x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.
(3)在同一平面直角坐标系下作出正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象和直线y=和y=的图象,如图所示.
由图可知,在[0,2π]上,当[典例迁移1] 下列x的取值范围能使cos x[A][0,) [B](,)
[C](,) [D](,2π)
【答案】 B
【解析】 如图分别为函数y=cos x,y=sin x在区间[0,2π]内的图象.当cos x=sin x 时,x=或x=,结合图象可知满足cos x[典例迁移2](多选)关于函数f(x)=1+cos x,x∈(,2π)的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是(　　)
[A]当t<0或t≥2时,有0个交点
[B]当t=0或≤t<2时,有1个交点
[C]当0[D]当0【答案】 AB
【解析】 根据函数的解析式作出函数f(x)的图象如图所示,对于选项A,当t<0或t≥2时,有0个交点,故A正确;对于选项B,当t=0或≤t<2时,有1个交点,故B正确;对于选项C,当t=时,只有1个交点,故C错误;对于选项D,当≤t<2时,只有1个交点,故D错误.故选AB.
[典例迁移3] 函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 画出图象如图所示,由lg 1=0,lg 10=1,cos x∈[-1,1],可得f(x)=lg x 与g(x)=cos x的图象的交点个数为3.故选C.
(1)利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤.
①作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象;
②确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x的值;
③写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
④根据诱导公式一写出定义域内的解集.
(2)涉及y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象与y=t交点问题,一是直接作出y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象,也可以适当变形转化为作出y=sin x或y=cos x的图象,这时求t的范围需要求解关于t的方程或不等式.
(3)涉及y=sin x(或y=cos x)的图象与其他曲线的交点情况,常利用数形结合思想求解,注意计算一些关键点的纵坐标,以确定图象的交点情况.

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