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2025-2026 学年陕西省西安市铁一中学高一（上）月考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | < 4}， = { 1,0,1,4,5}，则 ∩ 的元素个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.命题“ > 1， 2 > 1”的否定是( )
A. > 1， 2 ≤ 1 B. ≤ 1， 2 ≤ 1
C. > 1， 2 ≤ 1 D. ≤ 1， 2 ≤ 1
3 4.不等式 1 ≥ 2 解集是( )
A. { | 2 ≤ ≤ 1} B. { | ≤ 2} C. { | 2 ≤ < 1} D. { | > 1}
4.不等式 ( 2) < 0 成立的一个必要不充分条件是( )
A. 0 < < 2 B. 0 < < 1 C. ≥ 1 D. 1 < < 3
5.已知实数 > 0 1 9， > 0，且 + = 2，则 + 的最小值为( )
A. 8 B. 16 C. 5 D. 10
6.定义：差集 = { | ∈ 且 }.现有两个集合 、 ，则阴影部分表示的集合是( )
A. ( ) ∪ B. ( ) ∩
C. ( ) ∩ ( ) D. ( ) ∪ ( )
7.设集合 = { | = + 13 , ∈ }, = { | =

3 + 1, ∈ }，则( )
A. B. C. ∩ = D. ∩ ( ) =
8 1.“0 < < 1”是“函数 ( ) = 2 2 +1的定义域为 ”的( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 1 1若 < < 0，则 < B.若 1 < < 3， 1 < < 0，则 2 < < 3
C.若 > > 0， > 0 + ，则 < + D.若 < 0， >
2，则 2 > 2
10.下列说法错误的是( )
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A. + 1 的最小值是 2 B. (2 )(0 < < 2)的最大值是 1
C. 2 + 4 + 1 2的最小值是 2 D. 4 2
2+4
( > 1)的最大值为 0
+ 2, < 1
11.已知函数 ( ) = 2 + 3, ≥ 1，则( )
A. [ ( 3)] = 3 B.若 ( ) = 1，则 = 2 或 = 3
C. ( ) < 2 的解集为( ∞,0) ∪ (1, + ∞) D. ∈ ， > ( )，则 ≥ 3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
12.若命题：“ ∈ ，4 2 2 + = 0”为假命题，则实数 的取值范围为______．
13 1.已知函数 = ( 2 + 1)的定义域是[2,4]，则函数 ( ) = (2 )的定义域为______．
14 1 1 3.若函数 ( 2 ) = 2，则 ( 2 ) =______．
15 1.非空数集 如果满足：①0 ；②若对 ∈ ，有 ∈ ，则称 是“互倒集”.给出以下数集，①{ ∈ |
2 +
4 , ∈ [ 1 , 1)
+ 1 = 0}；②{ | 2 6 + 1 ≤ 0}；③{ | = 2 , ∈ [1,4]} { | =
2 +3 2
；④ 2 2 +17 }，其中“互倒
16 , ∈ [1,3]
集”的是______. (写出所有正确答案)
四、解答题：本题共 6 小题，共 54 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 8 分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 4}， = { | 1 < < }．
(1)当 = 2 时，求 ∩ ， ∪ ；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
17.(本小题 8 分)
比较下列两式大小：
(1) 2 + 2 + 1 与 2( + 1)；
2 2
(2) > > 0 时， 2+ 2与 + ．
18.(本小题 8 分)
(1)已知 ( + 2) = + 4 ，求函数 ( )的解析式；
(2)已知函数 ( )满足 ( ) + 3 ( ) = 2 2 4 ，求函数 ( )的解析式．
19.(本小题 9 分)
新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源(或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置)，综
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合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车
包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车
越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需
求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润 (单位：万元)与营运年数 ( 是正整数)成一元二次函数关系，营
运三年时总利润为 20 万元，营运六年时总利润最大，最大为 110 万元．
(1)求出 关于 的函数关系式；
(2)求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数)．
20.(本小题 10 分)
已知关于 的不等式 2 + + < 0 的解集为{ | 1 < < 3}．
(1)若 = 1，求 、 的值；
(2)解关于 的一元二次不等式 3 2 + 6 + 5 ≥ 0；
(3)解关于 的一元二次不等式 2 ( 2) 3 2 ≥ 0．
21.(本小题 11 分)
+ + 3
三元均值不等式：“当 、 、 均为正实数时， 3 ≥ ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何
平均数，当且仅当 = = 时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题：
(1) 1当 > 0 时，求 = 2 + 2最小值；
(2)当 0 < < 1 时，求 = (1 )2最大值；
3 3 3
(3)0 < ， ， < 2 且 = 1，证明：(2 )(2 )+ (2 )(2 ) + (2 )(2 ) ≥ 3．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 14 , + ∞)
13.[1, 32 ]
14.15 154或 4
15.②③④
16.解：(1) = 2 时， = { | 1 < < 2}，
则 ∩ = { | 1 < < 2}， ∪ = { | 1 ≤ ≤ 4}．
(2)若 ∪ = ，则以 ，
≠ > 1当 时，则 ≤ 4 ，则 1 < ≤ 4．
当 = 时，则 ≤ 1；
综上 的取值范围为{ | ≤ 4}．
17.(1) 2 + 2 + 1 2( + 1) = ( 1)2 + ( 1)2 + 1 > 0，
所以 2 + 2 + 1 > 2( + 1)；
2 2
(2) > > 0 ( )( + ) 时， 2+ 2 + = 2+ 2 +
2 2 2
= ( )( + 1 ( + ) 2 ( ) 2+ 2 + ) = ( + )( 2+ 2) × ( ) = ( + )( 2+ 2) > 0，
2 2
所以 2+ 2 > + ．
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18.解：(1)(方法一：换元法)：令 = + 2，
则 = ( 2)2， ≥ 2，
所以 ( ) = ( 2)2 + 4( 2) = 2 4( ≥ 2)，
所以函数的解析式为 ( ) = 2 4( ≥ 2)；
(方法二：配凑法)： ( + 2) = + 4 = + 4 + 4 4 = ( + 2)2 4，
因为 + 2 ≥ 2，
所以函数的解析式为 ( ) = 2 4( ≥ 2)；
(2)因为 ( ) + 3 ( ) = 2 2 4 ，①
所以 ( ) + 3 ( ) = 2( )2 4( ) = 2 2 + 4 ，②
② × 3 ①得 8 ( ) = 4 2 + 16 ，
故 ( ) = 1 22 + 2 ．
19.解：(1)已知公共充电桩的历年总利润 (单位：万元)与营运年数 ( 是正整数)成一元二次函数关系，营
运三年时总利润为 20 万元，营运六年时总利润最大，最大为 110 万元，
则二次函数的开口向下，且顶点坐标为(6,110)，
所以设该函数为 = ( 6)2 + 110( < 0)，
营运三年时总利润为 20 万元，
即 (3 6)2 + 110 = 20，
解得 = 10，
所以 = 10( 6)2 + 110 = 10 2 + 120 250( ∈ ).
即 = 10 2 + 120 250( ∈ ).
(2)由(1)知 = 10 2 + 120 250( ∈ )，
10 2+120 250 25 25
所以营运的年平均总利润为 = = 10( + ) + 120 ≤ 20 + 120 = 20，
25
当且仅当 = ，即 = 5 时，等号成立，
故营运的年平均总利润的最大值为 20 万元．
20.(1)因为不等式 2 + + < 0 的解集为{ | 1 < < 3}，
所以 1 和 3 是方程 2 + + = 0 的两根，
1 + 3 =
所以 1 × 3 = ，
解得 = 2， = 3．
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1+ 3 =
(2)由题设有 > 0 且 = 2 , = 3 ， 1 × 3 =
则 3 2 + 6 + 5 = 3 2 12 15 = 3 ( 2 4 5)，
所以 3 2 + 6 + 5 ≥ 0 等价于 2 4 5 ≥ 0，
解得 ≤ 1 或 ≥ 5，
则关于 的一元二次不等式 3 2 + 6 + 5 ≥ 0 的解集为{ | ≤ 1 或 ≥ 5}；
(3)由(2)可得 > 0， = 2 ， = 3 ，
则不等式 2 ( 2) 3 2 ≥ 0 等价于 2 2 ( 3 2) 3 2 ≥ 0，
即 2 2 (3 + 2) + 3 ≤ 0，即(2 3 )( 1) ≤ 0 3 ，即( 2 )( 1) ≤ 0，
3
当 2 = 1，即 =
2
3时，不等式即为( 1)
2 ≤ 0，此时不等式的解集为{1}；
3 2 2
当 2 > 1，即 > 3时，不等式的解集为{ |1 ≤ ≤ 3 }；
3 2 2
当 2 < 1，即 0 < < 3时，不等式的解集为{ | 3 ≤ ≤ 1}．
2
综上，当 = 23时，不等式即为( 1) ≤ 0，此时不等式的解集为{1}；
> 2 2当 3时，不等式的解集为{ |1 ≤ ≤ 3 }；
当 0 < < 2 23时，不等式的解集为{ | 3 ≤ ≤ 1}．
21. 3(1) 1解：当 > 0 时， = 2 + 2 = + +
1
2 ≥ 3
1
2 = 3，
1
当且仅当 = 2，即 = 1 时取等号，此时函数取得最小值 3；
(2) 1解：当 0 < < 1 时， = (1 )2 = 2 × 2 (1 )(1 ) ≤
1 × ( 2 +1 +1 )3 = 42 3 27，
1 4
当且仅当 2 = 1 ，即 = 3时取等号，此时函数取得最大值27；
(3)证明：由 0 < ， ， < 2 且 = 1，
3 3 3
得(2 )(2 )+ (2 ) + (2 ) ≥ 3 (2 )(2 ) (2 )(2 ) = 3 ，
3
当且仅当(2 )(2 ) = 2 = 2 时等号成立，
3 3
同理可得(2 )(2 ) + (2 ) + (2 ) ≥ 3 ，当且仅当(2 )(2 ) = 2 = 2 时等号成立，
3 3
(2 )(2 ) + (2 ) + (2 ) ≥ 3

，当且仅当(2 )(2 ) = 2 = 2 时等号成立，
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3 3+ +
3
累加得(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) + 12 2( + + ) ≥ 3( + + )，
3 3 3
即 3(2 )(2 )+ (2 )(2 ) + (2 )(2 ) ≥ 5( + + ) 12 ≥ 15 12 = 3，
当且仅当 = = = 1 时等号成立．
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