资源简介

2025-2026学年福建省厦门市集美中学高二（上）10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围可以是( )
A. B. C. 或 D.
5.设直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.正方体的棱长为，为棱中点，为正方形内含边界的动点，若，则动点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为线段的中点，在上，且满足，则直线到直线的距离为( )
A. B.
C. D.
8.如图，棱长为的正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，且点和点到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的是( )
A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B. 任何直线都存在斜率和倾斜角
C. 直线的一般式方程为
D. 任何一条直线至少要经过两个象限
10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱和的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
11.四棱锥的底面为正方形，面，，，动点在线段上，则( )
A. 四棱锥的外接球表面积为
B. 的最小值为
C. 不存在点，使得
D. 点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为______．
13.已知二面角的大小为，，，，，，且，，则 ______．
14.已知，，直线将分割成面积相等的两部分为坐标原点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，且．
求的值；
若与互相垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知的三个顶点的坐标为、、．
求边的垂直平分线的截距式方程；
求的平分线所在直线的一般式方程．
17.本小题分
如图，四棱柱中，平面，，，，．
求证：平面；
若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图，且二面角的大小为．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点．
证明：；
若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；
求平面与平面夹角余弦值的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
所以，解得：；
当时，，，
因为与互相垂直，
所以，解得：，
当时，，，
因为与互相垂直，
所以，解得：，
综上：．
16.的三个顶点的坐标为、、，
的中点为，
，线段边的垂直平分线的斜率为，
边的垂直平分线的一般式方程为：，
边的垂直平分线的截距式方程为；
，，
，，
，
即的平分线的一个方向向量为，
的平分线的斜率为，
的平分线所在直线的一般式方程：．
17.解：证明：在四棱锥中，，平面，
平面，平面，
，平面，平面，
平面，
又，平面平面，
平面，平面．
平面，，可得，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
与平面所成角为，，
，又，，
，
设平面的法向量，
，
，，
，令，得，，可得，
设平面的法向量，
，
，令，得，，
可得，
，
平面与平面夹角余弦值为．
18.

19.解：取的中点，连接，，
因为，，且的中点，
所以，，
又，，平面，
故AC平面，
由于平面，
故AC，
当时，由≌，则，
取的中点，连接，，
故到，，，四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，
因为，，故，，，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
由等体积法可得，
而，
由于，故，
所以，
从而，
故到平面的距离为．
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
，，
故B，，，，
，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
所以，
设平面的法向量为，
，，
则，
取，则，
则，
设平面平面与的夹角为，
故，
，
令，，
故，
由于，
故，
当且仅当，即时取等号，
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，
此时．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑