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2025-2026学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + + 1 = 0 的倾斜角为( )
A. 45° B. 45° C. 90° D. 135°
2.若空间中三个点 ( 1,0,0)， (0,1, 1)， ( 2, 1,2)，则直线 与直线 夹角的余弦值是( )
A. 2 2 B. 2 23 3 C.
1 D. 13 3
3.如图，在四面体 中，点 ， 分别为 ， 的中点，则 =( )
A. 1 1 + 1 2 2 2

B. 1 + 1 2 2
1 2

C. 1 + 12 2
+ 1 2
D. + + 1 2

4.已知向量 = ( 2,2,1), = (1,1,0)，则 在 方向上投影的数量为( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
5.已知 (3,2,3)是空间一点，直线 过点 (2,1,1)且一个方向向量为 = ( 1, 1,0)，则 到直线 的距离为
( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
6 2 3.甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为3，4， ，且他们是
1
否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过的概率为16，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为( )
A. 7 B. 3 C. 5 D. 68 4 8 7
7.已知 2 + 9 2 = 12， +2， > 0，则 +1 3 的最小值为( )
A. 6 B. 2 C. 1 D. 1
8.已知函数 ( ) = sin( 6 )( > 0)在区间( 3 , 2 )上单调递增且存在零点，则 的取值范围是( )
A. ( 1 , 43 3 ] ∪ [5,6] B. (
1 1
3 , 2 ) C. (
1
3 ,
1
2 ) ∪ [5,
16
3 ] D. [5,6]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.给出下列命题，其中正确的有( )
A.空间中任意两个向量一定共面
B.若空间向量 = (2,2, 3)， = (1,1,1)，则 与 的夹角为钝角
C.若{ , , }是空间的一个基底，则 ， ， 中任意两个向量不共线
D.若{ , , }是空间的一个基底，则{ , , }也是空间的一个基底
10.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则( )
A. ( ) 4 的图象关于直线 = 3对称
B. ( ) 的图象向左平移3个单位长度后得到函数 ( ) = 3 2
C. ( 12 )
5 11
的单调递增区间为[ 12 + , 12 + ]( ∈ )
D.若方程 ( ) = 32在(0, )上有且只有 6 个根，则 ∈ (3 ,
10
3 ]
11.如图，正方形 ， 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直，点 ， 分别在正方形对角线 ，
上移动，且 和 的长度保持相等.记 = ( ∈ [0,1])，则下列说法正确的是( )
A.当 = 1 53时， 的长为 3
B.当 = 14时，三棱锥
9
的体积是32
C. 2 2当 的长最小时，平面 与平面 所成二面角的正弦值为 3
D.存在 ，使得直线 与 3所成角的正弦值为5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.经过点(1,4)，斜率为 3 的直线方程为______．
13.已知 (0,0, )， (1, 2, 2)， ( , 2, 2)三点，点 在平面 内，点 是平面 外一点，且 = +
2 + 4 ，则 cos , = ______．
14.如图，在长方体 ′ ′ ′ ′中，点 ， 分别是棱 ， 上的
动点， = 4， = 3， ′ = 2 3，直线 ′与平面 ′所成的角为 30°，
则△ ′的面积的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知 = (2, 2,2), + = (6, 3,2)．
(1)求向量 的坐标；
(2)若( + )//( 2 )，求 的值．
16.(本小题 15 分)
某中学高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90)，
[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150].其中 = ，且 = 2 .该 50
名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 6 9 20 10 5
(1)根据频率分布直方图，求 ， ， 的值，并估计数学成绩的平均分(同一组数据用该区间的中点值代表)；
(2)若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于 90 分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”
的同学总数为 6 人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取 2 人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概
率．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 2 +
2 3
2 = 2 ．
(1)求证： + = 2 ；
(2)若 = 2， = 3，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， = = 2 = 2， 是 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
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(3)在棱 上是否存在一点 ，使直线 与平面 6所成角的正弦值为 3 ，若存在，求出求线段 的长；若
不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )， ∈ ，若存在 0 ∈ ，使得 ( 0) = 0，则称 0为函数 = ( )的不动点；已知函数 = ( )，
∈ .若存在 0 ∈ ，使得 ( ( 0)) = 0，则称 0为函数 = ( )的稳定点．
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点．
(2)已知函数 ( ) = 2 + ( 1) ，
( )当 = 1 时，求函数 ( )的不动点和稳定点；
( )若函数 ( )在区间[ 1,2]上存在 2 个不动点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 3 + 1
13.12
14.8
15.
16.解：(1)根据题意可得，
+ + 2 = 0.1 0.004 0.020 0.024 = 0.052，
又 + = 2 ， = 2 ，
解得 = 0.008， = 0.012， = 0.016，
∴数学成绩的平均分为：
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85 × 0.04 + 95 × 0.12 + 105 × 0.16 + 115 × 0.2 + 125 × 0.24 + 135 × 0.16 + 145 × 0.08 = 117.8；
(2)数学成绩为“优”的同学有 50 × 0.08 = 4 人，
物理成绩为“优”有 5 人，
∵至少有一个“优”的同学总数为 6 名同学，
∴两科均为“优”的人数为 3 人，
∴仅数学成绩为“优”的同学有 1 人，仅物理成绩为“优”有 2 人，
∴从 4 人中随机抽取 2 人的所有情况有 24 = 6 种，
而两人恰好均为物理成绩为“优”的情况有 23 = 3 种，
∴ 3 1两人恰好均为物理成绩“优”的概率为 = 6 = 2．
17.
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18.(1)证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，
点 是 的中点，点 是 的中点，
所以 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)解：如图，以向量 ， ， 为 ， ， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
即 (0,0,0)， (1,2,0)， (0,1,1)，
则 = (1,2,0), = (0,1,1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

则由 ⊥ ， ⊥
= + 2 = 0
，可得
，
= + = 0
令 = 1，得 = 2， = 1，
可得平面 的一个法向量为 = (2, 1,1)，
不妨取平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设平面 和平面 的夹角为 ，
= |cos , | = | | = 1 6则 | ，|| | 6 = 6
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 6；
6
(3)解：由(2)知 (0,0,0)， (1,2,0)， (0,1,1)， (0,0,2)，
则 = (1,1, 1)， = ( 1, 2,2)，
= = ( , 2 , 2 )(0 < < 1)，
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= + = (1,1, 1) + ( , 2 , 2 ) = (1 , 1 2 , 1 + 2 )，
由(2)知平面 的一个法向量为 = (2, 1,1)，
设直线 与平面 的夹角为 ，
= |cos , | = |2(1 ) (1 2 ) 1+2 | = 6则 3 , 0 < < 1(1 )2 ，+(1 2 )2+( 1+2 )2× 6
整理得 8 2 10 + 3 = 0，解得 = 12或 =
3
4，
1 3 3 9
故当 = 2时， = 2，当 = 4时， = 4，
则 3 9的长为2或4．
19.
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